2009年遼寧省撫順市普通高中應屆畢業生高考模擬考試
數 學 試 卷（理科）
本試卷分第Ⅰ卷 (選擇題)和第Ⅱ卷 (非選擇題)兩部分.共150 分.考試用時 120 分鐘.
題號
一
二
三
總分
17
18
19
20
21
選做題
得分
第Ⅰ卷 (選擇題 共60分)
參考公式:
樣本數據
，
，
，
的標準差 錐體體積公式
其中
為樣本平均數 其中
為底面面積，
為高
柱體體積公式 球的表面積、體積公式
，
其中為底面面積，為高 其中
為球的半徑
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一個是符合題目要求的.
1．已知全集
，
，
，
或
，
，則下列結論正確的是（ ）
A．
B． 
C．
D． 
2．已知i是虛數單位，
和
都是實數，且有
，則復數
的倒數是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知命題
：
且
，命題
：一元二次方程
（）至少有一個負的實數根，則是的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
4．右圖給出的是計算
的值的
一個程序框圖，則其中空白的判斷框內，應填入
下列四個選項中的（ ）
A．
B．
C．
D．
5．在等差數列{
}中，
，
，
若此數列的前10項和
，前18項和
，則數列{
}的前18項和
的
值是（ ）
A．24 B．48
C．60 D．84
6．曲線
上的一個最大值點為
，一個最小值點為
，則、
兩點間的距離
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．設O為
ABC的外心，
于
，且
，
，則
的值是（ ）
A．1
B．
D．
8．科研室的老師為了研究某班學生數學成績
與英語成績
的相關性，對該班全體學生的某次
末檢測的數學成績和英語成績進行統計分析，利用相關系數公式
計算得
，并且計算得到線性回歸方程為
，其中
，
．由此得該班全體學生的數學成績與英語成績相關性的下列結論正確的是（ ）
A．相關性較強且正相關 B．相關性較弱且正相關
C．相關性較強且負相關 D．相關性較弱且負相關
9．過雙曲線
（
，
）上的點P（
，
）作圓
的切線，切點為A、B，若
，則該雙曲線的離心率的值是（ ）
A．4
B．
10．甲、乙兩人因工作需要每天都要上網查找資料，已知他們每天上網的時間都不超過2小時，則在某一天內，甲上網的時間不足乙上網時間的一半的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
11．設、是兩條不同的直線，
、
是兩個不同的平面，給出下列四個命題：
①若
，
，
，則
；②若
, 
，則
；
③若，，則或
；④若，，
，則．
則其中正確命題的個數為（ ）
A．0 B．
12．已知函數
是單調遞增函數，則的取值范圍是（ ）
A．
B．
C．
D．
第Ⅱ卷 （非選擇題 共90分）
本卷包括必考題和選考題兩部分．第13題~第21題為必考題，每個試題考生都必須做答．第22題~第24題為選考題，考生根據要求做答．
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案直接填在題中的橫線上.
13．已知函數
滿足
，則不等式
的解集是
．
14．如圖，是一個長方體ABCD―A1B
去“一個角”后的多面體的三視圖，在這個多
面體中，AB=3，BC=4，CC1=2．則這個多
面體的體積為 ．
15．如果
的展開式中各項系數之和為128，則展開式中
的系數是 ．
16．已知頂點在坐標原點的拋物線
的準線方程為
，直線
：
，則由拋物線及直線所圍成的平面圖形的面積是
．
三、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17．（本小題滿分12分）
已知各項為正數的數列{}滿足
，（
N*）．
（Ⅰ）求數列{}的前項和
；
（Ⅱ）記數列{
}的前項和為
，試用數學歸納法證明對任意N*，都有
．
18．（本小題滿分12分）
如圖，在直三棱柱ABC－A1B
,
AA1=3，M為側棱CC1上一點，
．
（Ⅰ）求證：AM^平面
；
（Ⅱ）求平面ABM與平面AB
19．（本小題滿分12分）
國際標準游泳池長50，寬至少21，深1.80以上，設8條泳道，每條泳道寬2.50，分道線由直徑5～10
的單個浮標連接而成．某位游泳教練員指導甲、乙兩名游泳運動員在這樣國際標準的游泳池內同時進行游泳訓練，甲、乙兩名運動員可以隨機的選擇不同的泳道進行訓練．
（Ⅰ）求甲、乙兩名運動員選擇的泳道相隔數的分布列和期望；
（Ⅱ）若教練員為避免甲、乙兩人訓練的相互干擾，要求兩人相隔的泳道數不少于2，為了同時計時的方便，又要求兩人相隔的泳道數不能超過4，求甲、乙兩名運動員隨機的選擇不同的泳道訓練恰好符合教練員的要求的概率．
20．（本小題滿分12分）
設橢圓
：
的離心率為
，點
（
，0），
（0，
），原點
到直線
的距離為
．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設直線：
與橢圓相交于、不同兩點，經過線段
上點
的直線與軸相交于點，且有
，
，試求
面積
的最大值．
21．（本小題滿分12分）
已知函數
，（為常數，
為自然對數的底）．
（Ⅰ）求函數的單調區間；
（Ⅱ）若
，且經過點（0，
）（
）有且只有一條直線與曲線相切，求的取值范圍．
※考生注意：請在第22、23、24題中任選一題做答，如果多做，則在所做的題中，按題號順序的第一題記分．做答時，用2B鉛筆把所選題目對應的題號涂黑．
22．（本小題滿分10分）選修4―1：幾何證明選講
如圖，⊙O是以為直徑的△ABC的外接圓，點是劣弧
的中點，連結
并延長，與過點的切線交于，
與
相交于點．
（Ⅰ）求證：
；
（Ⅱ）求證：
．
 |
23．（本小題滿分10分）選修4―4：坐標系與參數方程
在平面直角坐標系
中，曲線
的參數方程為
（
為參數，且
），點是曲線上的動點．
（Ⅰ）求線段
的中點的軌跡的直角坐標方程；
（Ⅱ）以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，若直線的極坐標方程為
（
），求點到直線距離的最大值．
24．（本小題滿分10分）選修4―5：不等式選講
已知函數
，
．
（Ⅰ）若函數的值不大于1，求的取值范圍；
（Ⅱ）若不等式
的解集為R，求的取值范圍．
一、選擇題（每小題5分，共60分）
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
B
A
B
C
D
A
D
C
C
D
B
二、填空題（每小題5分，共20分）
13、（1，2）； 14、20； 15、21；16、
．
三、解答題
17、解：（Ⅰ）當
時，有
，又
，所以
……1分
當
時，
=
所以
，且當時，
……3分
又
，因此數列{
}是以1為首項
且公差為2的等差數列，所以
……2分
（Ⅱ）證明：（1）當時，
，
，關系成立
……1分
（2）假設當
時，關系成立，即
，則
……1分 那么
，即當
時關系也成立
……3分 根據（1）和（2）知，關系式
對任意
N*都成立 ……1分
18、解：（Ⅰ）如圖，以C為原點，CA，CB，CC1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，則
，
，
，
，
，
……1分
設
，則
，
，
即AM⊥BC，又因為
，且
，
所以 AM^平面
……3分
（Ⅱ）
，因為，所以
，得
，
即
，可得平面
的一個法向量為
=
……3分
，設平面
的一個法向量為
，
則
且
，得
，
，令
，得平面的一個法向量為
=
……3分設平面ABM與平面AB
，
則
……2分
19、解：（Ⅰ）隨機變量甲、乙兩名運動員選擇的泳道相隔數X的分布列為：
X
0
1
2
3
4
5
6
……6分
泳道相隔數X的期望為：
E（X）=
……2分
（Ⅱ）
……4分
20、解：（Ⅰ）由
得
……2分
可得直線
的方程為
，于是
，
得
，
，
，所以橢圓
的方程為
……2分
（Ⅱ）設
，由方程組
得
，
所以有
，
，且
，即
……2分
……2分
因為
，所以
，又
，所以
是線段
的中點，
點的坐標為
，即的坐標是
，因此
直線
的方程為
，得點
的坐標為（0，
），
所以
……2分
因此
所以當
，即
時，取得最大值，最大值為
……2分
21、解：（Ⅰ）
……2分
若
，則
，
為R上的單調遞增函數；
若
，
的解為
或
，
的解為
，
此時在區間
單調遞增，在區間
單調遞減；
若
，的解為
或
，的解為
，
此時在區間
單調遞增，在區間
單調遞減……3分
（Ⅱ）當時，
，
，
因為
，所以點（0，
）不在曲線上，設過點的直線與曲線相切于點
，則切線方程為
，所以有
及
，得
……2分 令
，
則
，
令
，得
，
，
，可得
在區間
單調遞增，在區間
單調遞減，所以在
時取極大值
，
在
時取極小值
，在
時取極大值
，又
，
所以是的最大值
……3分
如圖，過點（0，）有且只有一條直線與曲線
相切等價于直線
與曲線
有且只有一個交點，又當
時，
，所以
或
……2分
22、（Ⅰ）證明：因為AB為⊙O直徑，
所以 ∠ACB＝90°，即 AC⊥BC，
因為D是弧
的中點，由垂徑定理
得OD⊥BC，因此OD∥AC ……3分
又因為點O為AB的中點，所以點E為
BC的中點，所以OE＝
AC ……2分
（Ⅱ）證明：連結CD，因為PC是⊙O的切線，所以∠PCD＝∠CAP，又∠P是公共角，所以 △PCD∽△PAC．得
，得
……3分
因為D是弧的中點，所以
，因此
……2分
23、解：（Ⅰ）曲線
上的動點的坐標為（
，
），坐標原點
（0，0），
設P的坐標為（
，
），則由中點坐標公式得
，
，所以點P 的坐標為（
，
）……3分
因此點的軌跡的參數方程為
（為參數，且
），
消去參數得點軌跡的直角坐標方程為
……2分
（Ⅱ）由直角坐標與極坐標關系
得直線
的直角坐標方程為
……2分 又由（Ⅰ）知點的軌跡為圓心在原點半徑為2的圓，
因為原點（0，0）到直線的距離為
所以點到直線距離的最大值
……3分
24、解：（Ⅰ）由題意得
，即
得
……2分
因為
所以的取值范圍是[0，6] ……3分
（Ⅱ）
，
因為對于
，由絕對值的三角不等式得
……3分
于是有
，得
，即
的取值范圍是
……2分
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