廣東省2009屆高三數學一模試題分類匯編――概率理

珠海市第四中學 邱金龍

1、(2009廣州一模)甲、乙兩名同學參加一項射擊游戲,兩人約定,其中任何一人每射擊一次,

擊中目標得2分,未擊中目標得0分.若甲、乙兩名同學射擊的命中率分別

和p ,且甲、乙兩人各射擊一次所得分數之和為2的概率為,假設

甲、乙兩人射擊互不影響

(1)求p的值;

(2) 記甲、乙兩人各射擊一次所得分數之和為ξ,求ξ的分布列和數學期望.

(本題主要考查概率、隨機變量的分布列及其數學期望等基礎知識,考查運算求解能力)

解:(1)設“甲射擊一次,擊中目標”為事件A,“乙射擊一次,擊中目標”為事件B,“甲射擊一次,未擊中目標”為事件,“乙射擊一次,未擊中目標”為事件,則

……1分

依題意得,                            ……3分

解得,故p的值為.                               ……5分

(2)ξ的取值分別為0,2,4.                               ……6分

,             ……8分

,                                       

 ,           ……10分

∴ξ的分布列為

ξ

0

2

4

P

……12分

∴Eξ=                     ……14分

2、(2009廣東三校一模)如圖,兩點有5條連線并聯,它們在單位時間能通過的信息量依次為.現從中任取三條線且記在單位時間內通過的信息總量為.

(1)寫出信息總量的分布列;

(2)求信息總量的數學期望.

(1)由已知,的取值為 .                     2分                  

,

                     8分

7

8

9

10

的分布列為:

 

 

 

                                                          9分

 

(2)    11分      

        12分

3、(2009東莞一模)某公司有10萬元資金用于投資,如果投資甲項目,根據市場分析知道:一年后可能獲利10?,可能損失10?,可能不賠不賺,這三種情況發生的概率分別為,,;如果投資乙項目,一年后可能獲利20?,也可能損失20?,這兩種情況發生的概率分別為.

(1)如果把10萬元投資甲項目,用表示投資收益(收益=回收資金-投資資金),求的概率分布及

(2)若把10萬元投資投資乙項目的平均收益不低于投資甲項目的平均收益,求的取值范圍.

解:(1)依題意,的可能取值為1,0,-1      ………1分

的分布列為            …4分

1

0

p

==…………6分

(2)設表示10萬元投資乙項目的收益,則的分布列為……8分

2

…………10分

依題意要求…  11分

………12分   

注:只寫出扣1分

4、(2009番禺一模)某射擊測試規則為:每人最多有3次射擊機會,射手不放過每次機會,擊中目標即終止射擊,第次擊中目標得分,3次均未擊中目標得0分.已知某射手每次擊中目標的概率為0.8,其各次射擊結果互不影響.

(1)求該射手恰好射擊兩次的概率;

(2)該射手的得分記為,求隨機變量的分布列及數學期望.

解(1)設該射手第次擊中目標的事件為,則,…1分

該射手恰好射擊2次,則第1次沒擊中目標,第2次擊中目標,表示的事件為, ……2分

由于,相互獨立,則 .             ……4分

即該射手恰好射擊兩次的概率為;                                          ……5分  

(2)可能取的值為0,1,2,3.                                             ……6分

 由于                  ……7分

;        ……8分

;                   ……9分

                                               ……10分

的分布列為                          

0

1

2

3

0.008

0.032

0.16

0.8

 

 

 

 

                                                                        ……11分

的數學期望為.     ……12分

5、(2009茂名一模)旅游公司為3個旅游團提供4條旅游線路,每個旅游團任選其中一條.

  (Ⅰ)求3個旅游團選擇3條不同的線路的概率;

  (Ⅱ)求選擇甲線路旅游團數的分布列和期望.

解:1)3個旅游團選擇3條不同線路的概率為:P1=6ec8aac122bd4f6e  ……4分

  (2)設選擇甲線路旅游團數為ξ,則ξ=0,1,2,3………………5分

  P(ξ=0)=6ec8aac122bd4f6e Pξ=1)=6ec8aac122bd4f6e  Pξ=2)= 6ec8aac122bd4f6e  Pξ=3)= 6ec8aac122bd4f6e…9分

ξ

0

1

2

3

6ec8aac122bd4f6e

6ec8aac122bd4f6e

6ec8aac122bd4f6e

6ec8aac122bd4f6e                        

    ∴ξ的分布列為:

………………10分

 

    ∴期望Eξ=0×6ec8aac122bd4f6e+1×6ec8aac122bd4f6e+2×6ec8aac122bd4f6e+3×6ec8aac122bd4f6e=6ec8aac122bd4f6e………………12分

 

6、(2009汕頭一模)某電臺“挑戰主持人,’節目的挑戰者闖第一關需要回答三個問題,其中前兩個問題回答正確各得10分,回答不正確得0分,第三個題目,回答正確得20分,回答不正確得

一10分,總得分不少于30分即可過關。如果一位挑戰者回答前兩題正確的概率都是,回答第三題正確的概率為,且各題回答正確與否相互之間沒有影響。記這位挑戰者回答這三個問題的總得分為。

      (1)這位挑戰者過關的概率有多大?

(2)求的概率分布和數學期望。

解:(1)這位挑戰者有兩種情況能過關:

  ①第三個答對,前兩個一對一錯,得20+10+0=30分,………………1分

  ②三個題目均答對,得10+10+20=40分,..................2分

 其概率分別為..................3分

 這位挑戰者過關的概率為

 

(2)如果三個題目均答錯,得0+0+(-10)=-10分,

  如果前兩個中一對一錯,第二個錯,得10+0+(-10)=0分;............6分

    前兩個錯,第三個對,得0+0+20=20分;

  如果前兩個對,第三個錯,得10+10+(-10) =10分;..............7分

的可能取值為:-10, 0,10,20,30,40.......……8分

根據的概率分布,可得的期望

7、(2009韶關一模)有人預測:在2010年的廣州亞運會上,排球賽決賽將在中國隊與日本隊之間展開,據以往統計, 中國隊在每局比賽中勝日本隊的概率為,比賽采取五局三勝制,即誰先勝三局誰就獲勝,并停止比賽.

(Ⅰ)求中國隊以3:1獲勝的概率;

(Ⅱ).設表示比賽的局數,求的期望值.

 (Ⅰ)設中國隊以3:1獲勝的事件為A.

若中國隊以3:1獲勝,則前3局中國隊恰好勝2局,然后第4局勝. ………………………2分

所以, .. ………. ………………………………………5分

(Ⅱ)

;.. ………. ………………………………………7分

.. ………. ………………………………………9分

.. ………………………………………10分

所以所求的的期望值……………………………12分

 

8、(2009深圳一模)甲乙兩人進行圍棋比賽,約定每局勝者得1分,

負者得分,比賽進行到有一人比對方多分或打滿

局時停止.設甲在每局中獲勝的概率為,

且各局勝負相互獨立.已知第二局比賽結束時比賽

停止的概率為

若右圖為統計這次比賽的局數和甲、乙的總得

分數的程序框圖.其中如果甲獲勝,輸入

;如果乙獲勝,則輸入

(Ⅰ)在右圖中,第一、第二兩個判斷框應分別填

(Ⅱ)求的值;

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(Ⅲ)設表示比賽停止時已比賽的局數,求隨機變量

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的分布列和數學期望.      

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注:“”,即為“”或為“”.

 

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【解】(Ⅰ)程序框圖中的第一個條件框應填,第二個應填.……… 4分

注意:答案不唯一.

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如:第一個條件框填,第二個條件框填,或者第一、第二條件互換.都可以.

(Ⅱ)依題意,當甲連勝局或乙連勝局時,第二局比賽結束時比賽結束.

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.   

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 解得.             …………………………………6分

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,     .             ………………………… 7分

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(Ⅲ)(解法一)依題意知,的所有可能值為2,4,6.  ……………………… 8分

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設每兩局比賽為一輪,則該輪結束時比賽停止的概率為

若該輪結束時比賽還將繼續,則甲、乙在該輪中必是各得一分,此時,該輪比賽結果對下輪比賽是否停止沒有影響.

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從而有

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    ,

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隨機變量的分布列為:          …………………………… 12分

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.          …………………………… 14分

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 (解法二)依題意知,的所有可能值為2,4,6.         …………………  8分

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表示甲在第局比賽中獲勝,則表示乙在第局比賽中獲勝.

由獨立性與互不相容性得

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,

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              ,

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              .        …………………  12分

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隨機變量的分布列為:

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.        …………………  14分

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