2009年高考數學難點突破專題輔導二十九

難點29  排列、組合的應用問題

排列、組合是每年高考必定考查的內容之一，縱觀全國高考數學題，每年都有1～2道排列組合題，考查排列組合的基礎知識、思維能力.

●難點磁場

(★★★★★)有五張卡片，它們的正、反面分別寫0與1，2與3，4與5，6與7，8與9，將其中任意三張并排放在一起組成三位數，共可組成多少個不同的三位數？

●案例探究

［例1］在∠AOB的OA邊上取m個點，在OB邊上取n個點(均除O點外)，連同O點共m+n+1個點，現任取其中三個點為頂點作三角形，可作的三角形有(    )

命題意圖：考查組合的概念及加法原理，屬★★★★★級題目.

知識依托：法一分成三類方法；法二，間接法，去掉三點共線的組合.

錯解分析：A中含有構不成三角形的組合，如：CC中，包括O、B_i、B_j;CC中，包含O、A_p、A_q，其中A_p、A_q,B_i、B_j分別表示OA、OB邊上不同于O的點；B漏掉△A_iOB_j；D有重復的三角形.如CC中有△A_iOB_j,CC中也有△A_iOB_j.

技巧與方法：分類討論思想及間接法.

解法一：第一類辦法：從OA邊上(不包括O)中任取一點與從OB邊上(不包括O)中任取兩點，可構造一個三角形，有CC個；第二類辦法：從OA邊上(不包括O)中任取兩點與OB邊上(不包括O)中任取一點，與O點可構造一個三角形，有CC個；第三類辦法：從OA邊上(不包括O)任取一點與OB邊上(不包括O)中任取一點，與O點可構造一個三角形，有CC個.由加法原理共有N=CC+CC+CC個三角形.

解法二：從m+n+1中任取三點共有C個，其中三點均在射線OA(包括O點)，有C個，三點均在射線OB(包括O點)，有C個.所以，個數為N=C－C－C個.

答案：C

［例2］四名優等生保送到三所學校去，每所學校至少得一名，則不同的保送方案的總數是_________.

命題意圖：本題主要考查排列、組合、乘法原理概念，以及靈活應用上述概念處理數學問題的能力，屬★★★★級題目.

知識依托：排列、組合、乘法原理的概念.

錯解分析：根據題目要求每所學校至少接納一位優等生，常采用先安排每學校一人，而后將剩的一人送到一所學校，故有3A種.忽略此種辦法是：將同在一所學校的兩名學生按進入學校的前后順序，分為兩種方案，而實際題目中對進入同一所學校的兩名學生是無順序要求的.

技巧與方法：解法一，采用處理分堆問題的方法.解法二，分兩次安排優等生，但是進入同一所學校的兩名優等生是不考慮順序的.

解法一：分兩步：先將四名優等生分成2，1，1三組，共有C種；而后，對三組學生安排三所學校，即進行全排列，有A³₃種.依乘法原理，共有N=C =36(種).

解法二：分兩步：從每個學校至少有一名學生，每人進一所學校，共有A種；而后，再將剩余的一名學生送到三所學校中的一所學校，有3種.值得注意的是：同在一所學校的兩名學生是不考慮進入的前后順序的.因此，共有N=A?3=36(種).

答案：36

●錦囊妙記

排列與組合的應用題，是高考常見題型，其中主要考查有附加條件的應用問題.解決這類問題通常有三種途徑：(1)以元素為主，應先滿足特殊元素的要求，再考慮其他元素.(2)以位置為主考慮，即先滿足特殊位置的要求，再考慮其他位置.(3)先不考慮附加條件，計算出排列或組合數，再減去不符合要求的排列數或組合數.前兩種方式叫直接解法，后一種方式叫間接解法.

在求解排列與組合應用問題時，應注意：

(1)把具體問題轉化或歸結為排列或組合問題；

(2)通過分析確定運用分類計數原理還是分步計數原理；

(3)分析題目條件，避免“選取”時重復和遺漏；

(4)列出式子計算和作答.

解排列與組合應用題常用的方法有：直接計算法與間接計算法；分類法與分步法；元素分析法和位置分析法；插空法和捆綁法等八種.

經常運用的數學思想是：

①分類討論思想；②轉化思想；③對稱思想.

●殲滅難點訓練

一、填空題

試題詳情

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二、解答題

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難點磁場

解：(間接法)：任取三張卡片可以組成不同三位數C?2³?A(個)，其中0在百位的有C?2²?A (個)，這是不合題意的，故共有不同三位數：C?2³?A－C?2²?A=432(個）.

殲滅難點訓練

一、1.解析：因為直線過原點，所以C=0，從1，2，3，5，7，11這6個數中任取2個作為A、B兩數的順序不同，表示的直線不同，所以直線的條數為A=30.

答案：30

2.解析：2n個等分點可作出n條直徑，從中任選一條直徑共有C種方法；再從以下的(2n－2)個等分點中任選一個點，共有C種方法，根據乘法原理：直角三角形的個數為：C?C=2n(n－1)個.

答案：2n(n－1)

二、3.解：出牌的方法可分為以下幾類：

(1)5張牌全部分開出，有A種方法；

(2)2張2一起出，3張A一起出，有A種方法；

(3)2張2一起出，3張A一起出，有A種方法；

(4)2張2一起出，3張A分兩次出，有CA種方法；

(5)2張2分開出，3張A一起出，有A種方法；

(6)2張2分開出，3張A分兩次出，有CA種方法.

因此，共有不同的出牌方法A+A+A+AA+A+CA=860種.

4.解：由圖形特征分析，a＞0,開口向上，坐標原點在內部f(0)=c＜0;a＜0,開口向下，原點在內部f(0)=c＞0,所以對于拋物線y=ax²+bx+c來講，原點在其內部af(0)=ac＜0,則確定拋物線時，可先定一正一負的a和c，再確定b,故滿足題設的拋物線共有CCAA=144條.

5.解：(1)利用元素分析法，甲為特殊元素，故先安排甲左、右、中共三個位置可供甲選擇.有A種，其余6人全排列，有A種.由乘法原理得AA=2160種.

(2)位置分析法.先排最右邊，除去甲外，有A種，余下的6個位置全排有A種，但應剔除乙在最右邊的排法數AA種.則符合條件的排法共有AA－AA=3720種.

(3)捆綁法.將男生看成一個整體，進行全排列.再與其他元素進行全排列.共有AA=720種.

(4)插空法.先排好男生，然后將女生插入其中的四個空位，共有AA=144種.

(5)插空法.先排女生，然后在空位中插入男生，共有AA=1440種.

(6)定序排列.第一步，設固定甲、乙、丙從左至右順序的排列總數為N，第二步，對甲、乙、丙進行全排列，則為七個人的全排列，因此A=N×A，∴N== 840種.?

(7)與無任何限制的排列相同，有A=5040種.

(8)從除甲、乙以外的5人中選3人排在甲、乙中間的排法有A種，甲、乙和其余2人排成一排且甲、乙相鄰的排法有AA.最后再把選出的3人的排列插入到甲、乙之間即可.共有A×A×A=720種.

6.解：首先按每個盒子的編號放入1個、2個、3個小球，然后將剩余的14個小球排成一排，如圖，|O|O|O|O|O|O|O|O|O|O|O|O|O|O|，有15個空檔，其中“O”表示小球，“|”表示空檔.將求小球裝入盒中的方案數，可轉化為將三個小盒插入15個空檔的排列數.對應關系是：以插入兩個空檔的小盒之間的“O”個數，表示右側空檔上的小盒所裝有小球數.最左側的空檔可以同時插入兩個小盒.而其余空檔只可插入一個小盒，最右側空檔必插入小盒，于是，若有兩個小盒插入最左側空檔，有C種；若恰有一個小盒插入最左側空檔，有種；若沒有小盒插入最左側空檔，有C種.由加法原理，有N==120種排列方案，即有120種放法.

7.解：按排列中相鄰問題處理.(1)(4)或(2)(4).可以涂相同的顏色.分類：若(1)(4)同色，有A種，若(2)(4)同色，有A種，若(1)(2)(3)(4)均不同色，有A種.由加法原理，共有N=2A+A=240種.

8.解：每人隨意值兩天，共有CCC個；甲必值周一，有CCC個；乙必值周六，有CCC個；甲必值周一且乙必值周六，有CCC個.所以每人值兩天，且甲必不值周一、乙必不值周六的值班表數，有N=CCC－2CCC+ CCC=90－2×5×6+12=42個.