2009年高考數學難點突破專題輔導三十四

難點34  導數的運算法則及基本公式應用

導數是中學限選內容中較為重要的知識，本節內容主要是在導數的定義，常用求等公式.四則運算求導法則和復合函數求導法則等問題上對考生進行訓練與指導.

●難點磁場

(★★★★★)已知曲線C：y=x³－3x²+2x,直線l:y=kx,且l與C切于點(x₀,y₀)(x₀≠0)，求直線l的方程及切點坐標.

●案例探究

［例1］求函數的導數：

命題意圖：本題3個小題分別考查了導數的四則運算法則，復合函數求導的方法，以及抽象函數求導的思想方法.這是導數中比較典型的求導類型，屬于★★★★級題目.

知識依托：解答本題的閃光點是要分析函數的結構和特征，挖掘量的隱含條件，將問題轉化為基本函數的導數.

錯解分析：本題難點在求導過程中符號判斷不清，復合函數的結構分解為基本函數出差錯.

技巧與方法：先分析函數式結構，找準復合函數的式子特征，按照求導法則進行求導.

(2)解：y=μ³,μ=ax－bsin²ωx,μ=av－by

v=x,y=sinγ  γ=ωx

y′=(μ³)′=3μ²?μ′=3μ²(av－by)′

=3μ²(av′－by′)=3μ²(av′－by′γ′)

=3(ax－bsin²ωx)²(a－bωsin2ωx)

(3)解法一：設y=f(μ),μ=,v=x²+1,則

y′_x=y′_μμ′_v?v′_x=f′(μ)?v^－?2x

=f′()??2x

=

解法二：y′=［f()］′=f′()?()′

=f′()?(x²+1)?(x²+1)′

=f′()?(x²+1) ?2x

=f′()

［例2］利用導數求和

(1)S_n=1+2x+3x²+…+nx^n－1(x≠0,n∈N^*)

(2)S_n=C+2C+3C+…+nC,(n∈N^*)

命題意圖：培養考生的思維的靈活性以及在建立知識體系中知識點靈活融合的能力.屬

★★★★級題目.

知識依托：通過對數列的通項進行聯想，合理運用逆向思維.由求導公式(xⁿ)′=nx^n－1,可聯想到它們是另外一個和式的導數.關鍵要抓住數列通項的形式結構.

錯解分析：本題難點是考生易犯思維定勢的錯誤，受此影響而不善于聯想.

技巧與方法：第(1)題要分x=1和x≠1討論，等式兩邊都求導.

解：(1)當x=1時

S_n=1+2+3+…+n=n(n+1);

當x≠1時，

∵x+x²+x³+…+xⁿ=,

兩邊都是關于x的函數，求導得

(x+x²+x³+…+xⁿ)′=()′

即S_n=1+2x+3x²+…+nx^n－1=

(2)∵(1+x)ⁿ=1+Cx+Cx²+…+Cxⁿ,

兩邊都是關于x的可導函數，求導得

n(1+x)^n－1=C+2Cx+3Cx²+…+nCx^n－1,

令x=1得，n?2^n－1=C+2C+3C+…+nC,

即S_n=C+2C+…+nC=n?2^n－1?

●錦囊妙計

1.深刻理解導數的概念，了解用定義求簡單的導數.

表示函數的平均改變量，它是Δx的函數，而f′(x₀)表示一個數值，即f′(x)=，知道導數的等價形式：.?

2.求導其本質是求極限，在求極限的過程中，力求使所求極限的結構形式轉化為已知極限的形式，即導數的定義，這是順利求導的關鍵.

3.對于函數求導，一般要遵循先化簡，再求導的基本原則，求導時，不但要重視求導法則的應用，而且要特別注意求導法則對求導的制約作用，在實施化簡時，首先必須注意變換的等價性，避免不必要的運算失誤.

4.復合函數求導法則，像鏈條一樣，必須一環一環套下去，而不能丟掉其中的一環.必須正確分析復合函數是由哪些基本函數經過怎樣的順序復合而成的，分清其間的復合關系.

●殲滅難點訓練

一、選擇題

試題詳情

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二、填空題

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三、解答題

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難點磁場

解：由l過原點，知k=(x₀≠0),點(x₀,y₀)在曲線C上，y₀=x₀³－3x₀²+2x₀,

∴=x₀²－3x₀+2

y′=3x²－6x+2,k=3x₀²－6x₀+2

又k=,∴3x₀²－6x₀+2=x₀²－3x₀+2

2x₀²－3x₀=0,∴x₀=0或x₀=

由x≠0,知x₀=

∴y₀=()³－3()²+2?=－

∴k==－

∴l方程y=－x 切點(，－)

殲滅難點訓練

一、1.解析：y′=e^sinx［cosxcos(sinx)－cosxsin(sinx)］,y′(0)=e⁰(1－0)=1

答案：B

2.解析：設切點為(x₀,y₀),則切線的斜率為k=,另一方面，y′=()′=,故

y′(x₀)=k,即或x₀²+18x₀+45=0得x₀⁽¹⁾=－3,y₀⁽²⁾=－15,對應有y₀⁽¹⁾=3,y₀⁽²⁾=,因此得兩個切點A(－3，3)或B(－15,),從而得y′(A)= =－1及y′(B)=  ,由于切線過原點，故得切線：l_A:y=－x或l_B:y=－.

答案：A

二、3.解析：根據導數的定義：f′(x₀)=(這時)

答案：－1

4.解析：設g(x)=(x+1)(x+2)……(x+n),則f(x)=xg(x),于是f′(x)=g(x)+xg′(x),f′(0)=g(0)+0?g′(0)=g(0)=1?2?…n=n！

答案：n!

三、5.解：設l與C₁相切于點P(x₁,x₁²),與C₂相切于Q(x₂,－(x₂－2)²)

對于C₁：y′=2x,則與C₁相切于點P的切線方程為

y－x₁²=2x₁(x－x₁),即y=2x₁x－x₁²                                                                                                                                              ①

對于C₂：y′=－2(x－2),與C₂相切于點Q的切線方程為y+(x₂－2)²=－2(x₂－2)(x－x₂),即y=－2(x₂－2)x+x₂²－4                                                                                             ②

∵兩切線重合，∴2x₁=－2(x₂－2)且－x₁²=x₂²－4,解得x₁=0,x₂=2或x₁=2,x₂=0

∴直線l方程為y=0或y=4x－4

6.解：(1)注意到y＞0,兩端取對數，得

lny=ln(x²－2x+3)+lne^2x=ln(x²－2x+3)+2x

 (2)兩端取對數，得

ln|y|=(ln|x|－ln|1－x|),

兩邊解x求導，得

7.解：設經時間t秒梯子上端下滑s米,則s=5－,當下端移開1.4 m時，t₀=,又s′=－ (25－9t²)?(－9?2t)=9t,所以s′(t₀)=9×=0.875(m/s)

8.解：(1)當x=1時，S_n=1²+2²+3²+…+n²=n(n+1)(2n+1),當x≠1時，1+2x+3x²+…+nx^n-1?=,兩邊同乘以x,得

x+2x²+3x²+…+nxⁿ=兩邊對x求導，得

S_n=1²+2²x²+3²x²+…+n²x^n-1?

=