專題二 集合 函數 不等式 導數

一 能力培養

 1,函數與方程思想;         2,數形結合思想;          3,分類討論思想;

4,運算能力;               5,轉化能力.

二 問題探討

[問題1] 已知,,分別就下面條件求的

取值范圍:

  (I);(II).

[問題2]求函數的單調區間,并給予證明.

[問題3]已知.

  (I)若在定義域R內單調遞增,求的取值范圍;

  (II)若在上單調遞減,在上單調遞增,求的值;

  (III)設在(II)的條件下,求證的圖象恒在圖象的下方.

[問題4]設.

  (I)試判斷的單調性;

  (II)若的反函數為,證明只有一個解;

  (III)解關于的不等式.

三 習題探討

選擇題

1已知函數,則的單調減區間是

A,      B,      C,      D,

2已知集合M={,N={,下列法則不能構成M到N的映射的是

A,       B,     C,   D,

3已知函數，奇函數在處有定義，且時,

，則方程?的解的個數有

A,4個            B,2個          C,1個          D,0個

4如果偶函數在上的圖象如右圖,則在

上,=

A,      B,     C,      D,

5設函數,已知,則的取值范圍為

A,      B,      C,     D,

6對于函數,有下列命題:①是增函數,無極值;②是減函數,

無極值;③的增區間是,,的減區間是(0,2);④是極

大值,是極小值.其中正確的命題有

 A,一個              B,二個             C,三個             D,四個

填空題

7函數的定義域是                    .

8已知,則                 .

9函數單調遞增區間是                       .

10若不等式對滿足的恒成立,則實數

的取值范圍是                      .

11在點M(1,0)處的切線方程是                      .

解答題

12函數的定義域為集合A,函數的定義域

 集合B,當時,求實數的取值范圍.

13已知定點A(0,1),B(2,3),若拋物線與線段AB有兩個不同的

 交點,求的取值范圍.

14已知定義在R上的函數,滿足:,且時,,

 .

 (I)求證:是奇函數;  (II)求在上的最大值和最小值.

15通過研究學生的學習行為,心理學家發現,學生的接受能力依賴于老師引入概念和

描述問題所用的時間,講座開始時,學生的興趣激增;中間有一段不太長的時間,學生的

興趣保持較理想的狀態,隨后學生的注意力開始分散,分析結果和實驗表明,用表

示學生掌握和接受概念的能力(值越大,表示接受的能力越強),表示提出和講授

概念的時間(單位:分),可有以下公式:

  (I)開講后多少分鐘,學生的接受能力最強?能維持多少時間?

  (II)開講后5分鐘與開講后20分鐘比較,學生的接受接受能力何時強一些?

  (III)一個數學難題,需要55的接受能力以及13分鐘時間,老師能否及時在學生一直

  達到所需接受能力的狀態下講授完這個難題?

16已知函數,其中,為自然對數的底數.

(I)討論函數的單調性;(II)求函數在區間[0,1]上的最大值.

問題1:

,.

由有

 得  與,矛盾!

故當時,的取值范圍是;

(II)解:,

,

由必有,得

或

得 (舍去)或

得

故當時, 的取值范圍是.

溫馨提示:在處理集合的問題中,別忘了我們的好朋友      空集.

問題2:解:(1)當時,,     令,得

它的定義域是,                得的單調增區間是,

   它分別在,上為增函數. 的單調減區間是.

(2)當時,的定義域是,    (3)當時,的定義域是,

 令,得或      得的單調增區間是.

溫馨提示:①對參數進行分類討論,是處理含參數問題的常用方法,

         ②()為增(減)函數,反之不行;

         ③以上單調區的書寫格式,符合國際標準,請放心使用.

問題3:解:(I),得.

 在R上單調遞增,恒成立,即,恒成立

又時,,得.

(II),

而在上單調遞減,得在上恒成立,有,

 又當時, ,得          ①

又在上單調遞增,得在上恒成立,有,

 又當時,,得         ②

由①,②知.

(III)由(II)可知是的最小值,有,

而,

故,即的圖象恒在圖象的下方.

溫馨提示:恒成立時,轉化為進行考慮,合情合理.

問題4:(I)解:的定義域是,得

 所以在上是減函數.

(II)證明:假設存在且,使,,則有

 ,,于是得,與矛盾!

所以只有一個實根.

(III)解:由(II)得,即,

又=

而在上是減函數,得,有或.

即的解集是.

溫馨提示:為增(減)函數(),反之不行.

習題1,C.2,C.3,B.4,C.5,B.6,B.

1,,有,2,我們由映射的概念:每一個,有唯一的

由,得                    一個與它對應.知,A,B,D.都滿足.

函數為上的增函數,          而在C中,M中的1與對應,

求的單調減區間,                  但,在N中找不到了.選C.

即求的單調減區間,于是選C.

3,設,則,得=,有,

(1)當時,由,得

,解得,.

(2)當時,由,得,無解.

(3)當時,由,得,無解.選B.

4,由,,知只有C正確.

5,當與時,均合題意,而時,,不合題意,選B.6,③④正確.選B.

7,令,得,,得.

8,令,有,,得,[0,2].

9,令,得.而它在上遞增,在上遞減,

而當時,,ㄊ,ㄊ,ㄋ;當時,ㄊ,ㄊ,ㄊ;

當時,ㄊ,ㄋ,ㄋ.于是得遞增區間是.

10,設,,由題意,當時,的圖象總在的圖象的

下方.當時,顯然不合題意;當時,必有,,

得,又,于是.   11, =

=,得,有x+2y-1=0.

12,解:,而,

,

又由題意知,且,,

解得,故的取值范圍是.

溫馨提示:函數的定義域,值域,均為非空集.你留意到了沒有?

13,解:過A,B兩點的直線方程為,令,則這方程有兩相異實根

,且.設,則問題等價于

,解得.所以的取值范圍是.

14,解:(I)由,令,得,

又令,有,得,于是,.

所以是奇函數.

(II)又時,

設,則=

而,得,有,即

得在R上是減函數,于是它在上有最大值,最小值

而,=6.

所以在R上有最大值6,最小值.

15,解:(I)當時,

,得遞增, 最大值為59.

當時,遞減,

因此,開講后10分鐘,學生達到最強的接受能力(值為59),并維持6分鐘.

(II),

因此開講后5分鐘,學生的接受能力比開講后20分鐘強一些.

16,解:(I).

①當時,令,得.

若,則,從而在上單調遞增;

若,則,從而在上單調遞減;

②當時,令,得=0,有.

若或,則,從而在,上單調遞減;

若,則,從而在上單調遞增;

(II)①當時,在區間上的最大值是;

②當時,在區間上的最大值是;

③當時,在區間上的最大值是.