平面解析幾何測試題(文科) 2009-4
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，滿分60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
（1）
“”是“直線x+y=0和直線
互相垂直”的（ ）
A. 充分而不必要條件 B. 必要而不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
（2）設A、B是
軸上的兩點，點P的橫坐標為2，且
，若直線PA的方程為
，則直線PB 的方程是 （ ）
A．
B．
C．
D．
（3）直線
上的點到圓C：
的最近距離為（ ）
A. 1 B. 
C.
－1 D. 2－1
（4）直線
與圓
相切，則實數
等于（ ）
A．
或
B．或
C．
或 D．或
（5）若圓
的過點
的最長弦和最短弦分別為
和
，則四邊形
的面積為（ ）
A．
B．
C．
D．
（6）設橢圓
的焦點在軸上且長軸長為26，且離心率為
；曲線
上的點到橢圓的兩個焦點的距離的差的絕對值等于8，則曲線的標準方程為（ ）
A．
B．
C．
D．
（7）雙曲線
的虛軸長是實軸長的2倍，則
（ ）
A．
B．
C．
D．
（8）.拋物線
的準線方程是 （ ）
A.
B.
C.
D.
（9）若拋物線
的焦點與橢圓
的右焦點重合，則
的值為（ ）
A．
B．
C．
D．
（10）若點P在拋物線
上，則該點到點
的距離與到拋物線焦點距離之和取得最小值時的坐標為（ ）
A.
B.
C.
D.
（11）.我國于07年10月24日成功發射嫦娥一號衛星，并經四次變軌飛向月球.嫦娥一號繞地球運行的軌跡是以地球的地心為焦點的橢圓(地球半徑忽略不計).若第一次變軌前衛星的近地點到地心的距離為，遠地點到地心的距離為
，第二次變軌后兩距離分別為2、2（近地點是指衛星到地面的最近距離，遠地點是最遠距離），則第一次變軌前的橢圓的離心率比第二次變軌后的橢圓的離心率 （ ）
A.變大 B.變小 C.不變 D.以上都有可能
（12）已知橢圓
，長軸在
軸上. 若焦距為，則等于 （ ）
A..
B.
.
C.
.
D.
.
二、填空題：本大題共4小題, 每小題4分，共16分．
（13）已知實數
，直線
過點
，且垂直于向量
，若直線與圓
相交，則實數
的取值范圍是________________ .
（14）已知
為橢圓
的兩個焦點，過
的直線交橢圓于
兩點
若
，則
.
（15）在平面直角坐標系
中，已知拋物線關于軸對稱，頂點在原點
，且過點P(2，4)，則該拋物線的方程是
．
（16）已知雙曲線的頂點到漸近線的距離為2，焦點到漸近線的距離為6，則該雙曲線的離心率為 ．
（17）（本小題滿分12分）
三、解答題：本大題共6小題. 共74分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
已知圓C：
，直線：
.
(I) 當a為何值時，直線與圓C相切；
(Ⅱ) 當直線與圓C相交于A、B兩點，且
時，求直線的方程.
（18）（本小題滿分12分）
已知平面區域
恰好被面積最小的圓
及其內
部所覆蓋．
(Ⅰ)試求圓
的方程；
(Ⅱ)若斜率為1的直線與圓C交于不同兩點
，且滿足
,求直線的方程.
（19）（本小題滿分12分）
在平面直角坐標系中，直線
與拋物線
＝2相交于A、B兩點．
求證：“若直線過點T（3，0），則
＝3”是真命題.
（20）（本小題滿分12分）
已知直線
相交于A、B兩點，
是線段AB上的一點，
，且點在直線
上.
（Ⅰ）求橢圓的離心率；
（Ⅱ）若橢圓的焦點關于直線的對稱點在單位圓
上，求橢圓的方程.
（21）（本小題滿分12分）
在平面直角坐標系
中，經過點
且斜率為
的直線與橢圓
有兩個不同的交點
和
．
（I）求的取值范圍；
（II）設橢圓與軸正半軸、軸正半軸的交點分別為
，問：是否存在實數，使得向量
與
共線？給出判斷并說明理由.
（22）（本小題滿分14分）
如圖，已知
，直線
，為平面上的動點，過點作的垂線，垂足為點，且
（Ⅰ）求動點的軌跡的方程；
（Ⅱ）過點
的直線交軌跡于兩點，交直線于點．
（1）已知
，
，求
的值；
（2）求
的最小值．
一、選擇題：
CADCB AABBD CD
二、填空題
（13）
; （14）8; （15）
; （16）3.
三、解答題
（17）解：將圓C的方程
配方得標準方程為
，
則此圓的圓心為（0 , 4），半徑為2.
(Ⅰ) 若直線
與圓C相切，則有
. 解得
. ………………6分
(Ⅱ) 解：過圓心C作CD⊥AB，則根據題意和圓的性質，得
解得
.
∴直線的方程是
和
. ………………12分
（18）解:(Ⅰ)由題意知此平面區域表示的是以
構成的三角形及其內部,且△
是直角三角形, 所以覆蓋它的且面積最小的圓是其外接圓,故圓心是(2,1),半徑是
,
所以圓
的方程是
. ………………6分
(Ⅱ)設直線的方程是:
.
因為
,所以圓心到直線的距離是
, 即
.
解得:
. ………………………………11分
所以直線的方程是
. ………………12分
（19）解：設過點T(3,0)的直線
交拋物線
于點A
、B
.
（Ⅰ）當直線的鈄率不存在時,直線的方程為
,
此時, 直線與拋物線相交于點A(3,
)（）.B(3,－)，∴
=3. …….............4分
（Ⅱ）當直線的鈄率存在時,設直線的方程為
，
其中
，由
得 
.
…………………….….6分
又 ∵ 
， ∴
，
………………………………….10分
綜上所述，命題“若直線過點T(3,0)，則=3” 是真命題. ………………….12分
（20）解：（Ⅰ）由
知
是
的中點，
設A、B兩點的坐標分別為
由
.
，
∴點的坐標為
.
…………………………4分
又點在直線上， 
.
， 
………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
，不妨設橢圓的一個焦點坐標為
，
設關于直線
上的對稱點為
，
則有
. ………………10分
由已知
.
，∴所求的橢圓的方程為
. ………………12分
（21）解：（Ⅰ）由已知條件，直線的方程為
，
代入橢圓方程得
．
整理得
�、� ……………………………………3分
直線與橢圓有兩個不同的交點
和
等價于
，
解得
或
．即
的取值范圍為
．………………6分
（Ⅱ）設
，則
，
由方程①，
． �、�
又
． �、� …………………………………9分
而
．
所以
與
共線等價于
，
將②③代入上式，解得
．
由（Ⅰ）知或，故沒有符合題意的常數．………………12分
（22）解：（Ⅰ）設點
，則
，由
得：
，化簡得
．……4分
（Ⅱ）（1）設直線的方程為：
．
設
，
，又
聯立方程組
，消去
得：
，
，
……………………………………………7分
由
，
得：
，
，整理得：
，
，
．……10分
（2）解： 
．
當且僅當
，即
時等號成立，所以
最小值為
． ……14分
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