2009屆高考數學第三輪復習精編模擬三
參考公式:
如果事件互斥,那么
球的表面積公式
如果事件相互獨立,那么
其中
表示球的半徑
球的體積公式
如果事件在一次試驗中發生的概率是
,那么
次獨立重復試驗中事件
恰好發生
次的概率
其中
表示球的半徑
第一部分 選擇題(共50分)
一.選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的
1、設集合和
都是自然數集合
,映射
把集合
中的元素
映射到集合
中的元素
,則在映射
下,象20的原象是 ( )w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
2、已知、
均為單位向量,它們的夾角為60°,那么|
+3
|= 。ā 。
A.
B
C.
D.4
3、向高為
的水瓶中注水,注滿為止,如果注水量
與水深
的函數關系的圖象如右圖所示,那么水瓶的形狀是 ( )
4、若x為三角形中的最小內角,則函數y=sinx+cosx的值域是( )
A.(1, B.(0,
C.[
,
] D.(
,
5、原市話資費為每3分鐘0.18元,現調整為前3分鐘資費為0.22元,超過3分鐘的,每分鐘按0.11元計算,與調整前相比,一次通話提價的百分率( )
A.不會提高70% B.會高于70%,但不會高于90%
C.不會低于10% D.高于30%,但低于100%
6、已知{an}是等差數列,a1=-9,S3=S7,那么使其前n項和Sn最小的n是( )
A.4 B.
7、設a,b是滿足ab<0的實數,那么 。 )
A.|a+b|>|a-b| B.|a+b|<|a-b|
C.|a-b|<|a|-|b| D.|a-b|<|a|+|b|
8、棱長都為的四面體的四個頂點在同一球面上,則此球的表面積為( 。
A、 B、
C、
D、
9、給定四條曲線:①,②
,③
,④
,其中與直線
僅有一個交點的曲線是( )
A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①③④
10、定義函數,若存在常數C,對任意的
,存在唯一的
,使得
,則稱函數
在D上的均值為C。已知
,則函數
上的均值為( )
A、 B、
C、
D、10
第二部分 非選擇題(共100分)
二、填空題:本大題共5小題,其中14~15題是選做題,考生只能選做一題,兩題全答的,只計算前一題得分.每小題5分,滿分20分.
11、不等式的解集是______。
12、已知0<t<1,、
,則
與
的大小關系為______.
13、不論k為何實數,直線與曲線
恒有交點,則實數a的取值范圍是 。
14、(坐標系與參數方程選做題) 在極坐標系中,已知直線過點(1,0),且其向上的方向與極軸的正方向所成的最小正角為,則直線的極坐標方程為______________.
15.(幾何證明選講選做題) 已知是半圓
的直徑,點
在半圓上,
于點
,且
,設
,則
=
.
三.解答題:本大題共6小題,共80分,解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
16.(本小題滿分12分)
設全集,函數
的定義域為A,函數
的定義域為B
(Ⅰ)求集合與
;
(Ⅱ)求、
17.(本小題滿分12分)
已知數列{an}、{bn}滿足:a1=1,a2=a(a為實數),且,其中n=1,2,3,…
(Ⅰ)求證:“若數列{an}是等比數列,則數列{bn}也是等比數列”是真命題;
(Ⅱ)寫出(Ⅰ)中命題的逆命題;判斷它是真命題還是假命題,并說明理由.
18.(本小題滿分14分)
在一次考試中共有8道選擇題,每道選擇題都有4個選項,其中有且只有一個選項是正確的.評分標準規定:“每題只選一個選項,選對得5分,不選或選錯得0分”.某考生已確定有4道題答案是正確的,其余題中:有兩道只能分別判斷2個選項是錯誤的,有一道僅能判斷1個選項是錯誤的,還有一道因不理解題意只好亂猜,求:
(1)該考生得40分的概率;
(2)該考生得多少分的可能性最大?
(3)該考生所得分數的數學期望.
19. (本小題滿分14分)
已知圓C:,圓C關于直線
對稱,圓心在第二象限,半徑為
(Ⅰ)求圓C的方程;
(Ⅱ)已知不過原點的直線與圓C相切,且在x軸、y軸上的截距相等,求直線
的方程。
20. (本小題滿分14分)
如圖,已知正方體
的棱長為2,E、F分別是
、
的中點,過
、E、F作平面
交
于G..
(Ⅰ)求證:∥
;
(Ⅱ)求二面角的余弦值;
(Ⅲ)求正方體被平面所截得的幾何體
的體積.
21.(本小題滿分14分)
對于定義域為D的函數,若同時滿足下列條件:
①在D內單調遞增或單調遞減;
②存在區間[]
,使
在[
]上的值域為[
];那么把
(
)叫閉函數。
(Ⅰ)求閉函數符合條件②的區間[
];
(Ⅱ)判斷函數是否為閉函數?并說明理由;
(Ⅲ)若是閉函數,求實數
的取值范圍。
一.選擇題:CCBAB BBADA
解析:1:由映射概念可知可得
.故選
.
2:如圖,+3
=
,在
中,
由余弦定理得|
+3
|=|
|=
,故選C。
3:取,由圖象可知,此時注水量
大于容器容積的
,故選B。
4:因為三角形中的最小內角,故
,由此可得y=sinx+cosx>1,排除B,C,D,故應選A。
5:取x=4,y=?100%≈-8.3%,排除C、D;取x=30,y = ?100%≈77.2%,排除A,故選B。
6:等差數列的前n項和Sn=
n2+(a1-
)n可表示為過原點的拋物線,又本題中a1=-9<0,
S3=S7,可表示如圖,由圖可知,n=
,是拋物線的對稱軸,所以n=5是拋物線的對稱軸,所以n=5時Sn最小,故選B。
7:∵A,B是一對矛盾命題,故必有一真,從而排除錯誤支C,D。又由ab<0,可令a=1,b= -1,代入知B為真,故選B。
8:借助立體幾何的兩個熟知的結論:(1)一個正方體可以內接一個正四面體;(2)若正方體的頂點都在一個球面上,則正方體的對角線就是球的直徑。可以快速算出球的半徑,從而求出球的表面積為
,故選A。
9:分析選擇支可知,四條曲線中有且只有一條曲線不符合要求,故可考慮找不符合條件的曲線從而篩選,而在四條曲線中②是一個面積最大的橢圓,故可先看②,顯然直線和曲線是相交的,因為直線上的點
在橢圓內,對照選項故選D。
10:,從而對任意的
,存在唯一的
,使得
為常數。充分利用題中給出的常數10,100。令
,當
時,
,由此得
故選A。
二.填空題:11、; 12、
; 13、
;
14、; 15、
;
解析:11:不等式等價于
,也就是
,所以
,從而應填
.
12: ,不論
的值如何,
與
同號,所以
13:題設條件等價于點(0,1)在圓內或圓上,或等價于點(0,1)到圓的圓心的距離不超過半徑,∴
。
14.解:由正弦定理得即
,∴所求直線的極坐標方程為
.
15.解:即
,
三.解答題:
16.解:(Ⅰ)函數 要有意義需滿足:
即
,解得
,
…………………………………3分
函數要有意義需滿足
,即
,
解得或
…………………………………6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,
,
,
………………………12分
17.解:(I)因為是等比數列,
又…………………………………………2分
∴是以a為首項,
為公比的等比數列.………………………………6分
(II)(I)中命題的逆命題是:若是等比數列,則
也是等比數列,是假命題.
……………………………………………………………8分
設的公比為
則
又
是以1為首項,q為公比的等比數列,
是以
為首項,q為公比的等比數列.……………………10分
即為1,a,q,aq,q2,aq2,…
但當q≠a2時,不是等比數列
故逆命題是假命題.……………………………………………………………………12分
另解:取a=2,q=1時,
因此是等比數列,而
不是等比數列.
故逆命題是假命題.……………………………………………………………………12分
18.解:(1)設選對一道“可判斷2個選項是錯誤的”題目為事件A,“可判斷1個選項是錯誤的”該題選對為事件B,“不能理解題意的”該題選對為事件C.則---
所以得40分的概率………………………………4分
(2) 該考生得20分的概率=
……………………5分
該考生得25分的概率:
= ……………………6分
該考生得30分的概率:=
=
--------------7分
該考生得35分的概率:
=
……………………9分
∵ ∴該考生得25分或30分的可能性最大………………………………11分
(3)該考生所得分數的數學期望=
………………………………14分
19.解:(Ⅰ)由知圓心C的坐標為
--------------(1分)
∵圓C關于直線對稱
∴點在直線
上 -----------------(2分)
即D+E=-2,------------①且-----------------②-----------------(3分)
又∵圓心C在第二象限 ∴
-----------------(4分)
由①②解得D=2,E=-4 -----------------(5分)
∴所求圓C的方程為:
------------------(6分)
(Ⅱ)切線在兩坐標軸上的截距相等且不為零,設
:
-----------(7分)
圓C:
圓心
到切線的距離等于半徑
,
即
。
------------------(12分)
所求切線方程 ------------------(14分)
20.(Ⅰ)證明:在正方體中,∵平面
∥平面
平面平面
,平面
平面
∴
∥
.-------------------------------------3分
(Ⅱ)解:如圖,以D為原點分別以DA、DC、DD1為
x、y、z軸,建立空間直角坐標系,則有
D1(0,0,2),E(2,1,2),F(0,2,1),
∴,
設平面的法向量為
則由,和
,得
,
取,得
,
,∴
------------------------------6分
又平面的法向量為
(0,0,2)
故;
∴截面與底面
所成二面角的余弦值為
. ------------------9分
(Ⅲ)解:設所求幾何體的體積為V,
∵~
,
,
,
∴,
,
∴,
--------------------------11分
故V棱臺
∴V=V正方體-V棱臺. ------------------14分
21.解:(Ⅰ)由題意,在[
]上遞減,則
解得
所以,所求的區間為[-1,1] ………………………4分
(Ⅱ)取則
,即
不是
上的減函數。
取,
即不是
上的增函數
所以,函數在定義域內不單調遞增或單調遞減,從而該函數不是閉函數。-------9分
(Ⅲ)若是閉函數,則存在區間[
],在區間[
]上,函數
的值域為[
],即
,
為方程
的兩個實數根,
即方程有兩個不等的實根。
當時,有
,解得
。
當時,有
,無解。
綜上所述,---------------------------------------------14分
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