2009屆高考數學第三輪復習精編模擬十
參考公式:
如果事件互斥,那么
球的表面積公式
如果事件相互獨立,那么
其中
表示球的半徑
球的體積公式
如果事件在一次試驗中發生的概率是
,那么
次獨立重復試驗中事件
恰好發生
次的概率
其中
表示球的半徑
第一部分 選擇題(共50分)
一.選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的
1、設其中i,j為互相垂直的單位向量,又
,則實數m =( )。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(A) 3 (B) 2 (C)-3 (D)-2
2、若則下列結論中不正確的是 ( )w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(A).; (B)
;
(C). ; (D).
3、方程=
的實根有 ( )
(A) 1個 (B) 2個 (C) 3個 (D) 無窮多個
4、過點(-1,3)且垂直于直線的直線方程為 ( )
A.;B.
;C.
; D.
(A)(-,-
) (B)(-
,0)
(C)(0,
) (D)(
,
)
6、已知復數z的模為2,則 |z-i| 的最大值為( )
A.1
B
7、已知過球面上A、B、C三點的截面和球心的距離等于球半徑的一半,且AB=BC=CA=2,則球面面積是( )
(A)π (B)
π (C)4π (D)
π
8、對任意θ∈(0,)都有( )
(A)sin(sinθ)<cosθ<cos(cosθ) (B) sin(sinθ)>cosθ>cos(cosθ)
(C)sin(cosθ)<cos(sinθ)<cosθ (D) sin(cosθ)<cosθ<cos(sinθ)
9、若.則下列結論中正確的是 ( )
10、在坐標平面內,與點A(1,2)距離為1,且與點B(3,1)距離為2的直線共有 。 )
A、1條 B、2條 C、3條 D、4條
第二部分 非選擇題(共100分)
二、填空題:本大題共5小題,其中14~15題是選做題,考生只能選做一題,兩題全答的,只計算前一題得分.每小題5分,滿分20分.
11、集合的真子集的個數是
12、如果函數,那么
13、 橢圓上的一點P到兩焦點的距離的乘積為m,則當m取最大值時,點P的坐標是_____________________.
14、(坐標系與參數方程選做題) 設M、N分別是曲線和
上的動點,則M、N的最小距離是
15.(幾何證明選講選做題) 如圖,圓
是
的外接圓,過點C的切線交
的延長線于點
,
,
。則
的長______________,
的長______________.
三.解答題:本大題共6小題,共80分,解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
16.(本小題滿分12分)
設是平面上的兩個向量,且
互相垂直.
(1)求λ的值;
(2)若求
的值.
17.(本小題滿分12分)
設和
分別是先后拋擲一枚骰子得到的點數,用隨機變量
表示方程
實根的個數(重根按一個計).
(Ⅰ)求方程有實根的概率;
(Ⅱ)求的分布列和數學期望;
(Ⅲ)求在先后兩次出現的點數中有5的條件下,方程有實根的概率.
18.(本小題滿分14分)
已知三次函數在
和
時取極值,且
.
(Ⅰ) 求函數的表達式;
(Ⅱ)求函數的單調區間和極值;
(Ⅲ)若函數在區間
上的值域為
,試求
、
應滿足的條件。
如圖,在四棱錐中,底面
是正方形,
底面
,
, 點
是
的中點,
,且交
于點
.
(I) 求證: 平面
;
(II) 求二面角的余弦值大;
(III)求證:平面⊥平面
.
20.(本小題滿分14分)
雙曲線M的中心在原點,并以橢圓的焦點為焦點,以拋物線
的準線為右準線.
(Ⅰ)求雙曲線M的方程;
(Ⅱ)設直線:
與雙曲線M相交于A、B兩點,O是原點.
① 當為何值時,使得
?
② 是否存在這樣的實數,使A、B兩點關于直線
對稱?若存在,求出
的值;若不存在,說明理由.
21.(本小題滿分14分)
把正奇數數列中的數按上小下大、左小右大的原則排成如下三角形數表:
1
3 5
7 9 11
― ― ― ―
― ― ― ― ―
設是位于這個三角形數表中從上往下數第行、從左往右數第個數。
(I)若,求的值;
(II)已知函數的反函數為 ,若記三角形數表中從上往下數第n行各數的和為,求數列的前n項和。
一.選擇題:DDCAB DDDAB
解析:1:∵
,
∴
∴,
而i,j為互相垂直的單位向量,故可得∴
。故選
2:∵ ∴0<b<a<1. 由指數函數的單調性可知:
,又∵
∴選(D)
3:作y=與y=
的圖象,從圖中可以看出:兩曲線有3個交點,即方程有3個實根.選(C)
![]() |
4:由斜率去篩選,則可排除(C)、(D);再用點(-1,3)去篩選,代入(A)成立,
∴應選(A).
5:取α= ±、±
,代入求出sinα、tanα
、cotα 的值,易知α=-
適合題設條件,∴應選(B).
M - i
2
6:由復數模的幾何意義,畫出右圖,可知當圓上的點到M的距離最大時即為|z-i|最大。所以選D
7: ∵球的半徑R不小于△ABC的外接圓半徑r=, 則S球=4πR2≥4πr2=
π>5π,故選(D).
8:當θ0時,sin(sinθ)
0,cosθ
1,cos(cosθ)
cos1,故排除A,B.
當θ時,cos(sinθ)
cos1,cosθ
0,故排除C,因此選D.
9:由于的含義是
于是若
成立,則有
成立;同理,若
成立,則
也成立,以上與指令“供選擇的答案中只有一個正確”相矛盾,故排除
.再考慮
,取
代入得
,顯然
,排除
.故選
.
10:選項暗示我們,只要判斷出直線的條數就行,無須具體求出直線方程。以A(1,2)為圓心,1為半徑作圓A,以B(3,1)為圓心,2為半徑作圓B。由平面幾何知識易知,滿足題意的直線是兩圓的公切線,而兩圓的位置關系是相交,只有兩條公切線。故選B。
二.填空題:11、;12、
; 13、
或
;14、-1;15、4,
;
解析:
11: ,顯然集合M中有90個元素,其真子集的個數是
,應填
.
12:容易發現,于是 原式=
,應填
13:記橢圓的二焦點為,有
則知
顯然當,即點P位于橢圓的短軸的頂點處時,m取得最大值25.
故應填或
14.(略)
15.(略)
三.解答題:
16.解:(1)由題設,得
-----------------3分
因為與
垂直
即
. 又
,故
,∴
的值為2. ------------------6分
(2)當垂直時,
------------------8分
,則
------------------10分
------------------12分
17.解:(I)基本事件總數為,
若使方程有實根,則,即
。------------------2分
當時,
; 當
時,
; ------------------3分
當時,
; 當
時,
; ------------------4分
當時,
; 當
時,
, ------------------5分
目標事件個數為
因此方程 有實根的概率為
------------------6分
(II)由題意知,,則
,
,
故的分布列為
0
1
2
P
的數學期望
------------------10分
(III)記“先后兩次出現的點數中有 有實根” 為事件N,則
,
,
.------------------12分
18.解:(Ⅰ),
由題意得,是
的兩個根,
解得,. ------------------2分
再由可得
.
∴. ------------------4分
(Ⅱ),
當時,
;當
時,
;------------------5分
當時,
;當
時,
;------------------6分
當時,
.∴函數
在區間
上是增函數;------------------7分
在區間上是減函數;在區間
上是增函數.
函數的極大值是
,極小值是
. ------------------9分
(Ⅲ)函數的圖象是由
的圖象向右平移
個單位,向上平移4
個單位得到,
所以,函數在區間
上的值域為
(
).-------------10分
而,∴
,即
.
于是,函數在區間
上的值域為
.------------------12分
令得
或
.
由的單調性知,
,即
.
綜上所述,、
應滿足的條件是:
,且
------------------14分
19.(Ⅰ)證明:連結交
于
,連結
.
是正方形,∴
是
的中點. ----------1分
是
的中點, ∴
是
的中位線. ∴
. ----------2分
又∵平面
,
平面
, ----------3分
∴平面
.------------------4分
(II)如圖,以A為坐標原點,建立空間直角坐標系,
由故設
,則
. ----------6分
底面
,
∴是平面
的法向量,
.----------7分
設平面的法向量為
,
,
則 即
∴ 令
,則
. ----------9分
∴,
∴二面角的余弦值為
. ------------------10分
(III),
,
----------11分
又
且
.----------12分
. 又
平面
----------13分
∴平面⊥平面
. ------------------14分
20.解:(Ⅰ)易知,橢圓的半焦距為:
,
又拋物線的準線為:
. ----------2分
設雙曲線M的方程為,依題意有
,
故,又
.
∴雙曲線M的方程為. ----------4分
(Ⅱ)設直線與雙曲線M的交點為
、
兩點
聯立方程組 消去y得
,-------5分
∵、
兩點的橫坐標是上述方程的兩個不同實根, ∴
∴,
從而有,
. ----------7分
又,
∴.
①
若,則有
,即
.
∴當時,使得
. ----------10分
② 若存在實數,使A、B兩點關于直線
對稱,則必有
,
因此,當m=0時,不存在滿足條件的k;
當時,由
得
∵A、B中點在直線
上,
∴,代入上式得
,又
, ∴
----------13分
將代入并注意到
,得
.
∴當時,存在實數
,使A、B兩點關于直線
對稱----------14分
21.解(I)三角形數表中前行共有個數,
第行最后一個數應當是所給奇數列中的第項。
故第行最后一個數是
因此,使得的m是不等式的最小正整數解。----------4分
由得
----------6分
于是,第45行第一個數是
----------7分
(II),。
故 ----------9分
第n行最后一個數是,且有n個數,若將看成第n行第一個數,則第n行各數成公差為-2的等差數列,故。
故
,
兩式相減得:
----------13分
----------14分
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