絕密★啟用前
濟南市2009年2月高三統一考試
數學試題(理工類)
本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分.第Ⅰ卷1至2頁，第Ⅱ卷3至8頁.共150分.測試時間120分鐘.第Ⅰ卷(選擇題共60分)。
注意事項：
1. 答第Ⅰ卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考試科目用鉛筆涂寫在答題卡上.
2. 每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案.不能答在測試卷上.
第Ⅰ卷(選擇題 共60分)
一、 選擇題：本大題共12個小題.每小題5分；共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1． 設復數
對應的點在
軸負半軸上,則實數
的值是( )．
2．如圖幾何體的主視圖和左視圖都正確的是（�。�
3．已知
,則
的值等于( )
4．若
,則( )
5．在空間中,給出下面四個命題,則其中正確命題的個數為( )
① 過平面
外的兩點,有且只有一個平面與平面垂直；
② 若平面
內有不共線三點到平面的距離都相等，則
；
③ 若直線
與平面內的無數條直線垂直，則
；
④ 兩條異面直線在同一平面內的射影一定是兩條平行線；
6．設集合
，集合
，如果
，則由實數
組成的集合中所有元素的和與積分別為
和 
和 和 
和
7．函數
的曲線如圖所示，那么函數
的曲線是
8．對某種有
件正品和
件次品的產品進行檢測，任取件，則其中一件是正品，另一件為次品的概率為
9．設
是雙曲線
的兩個焦點，
在雙曲線上，若
，
為半焦距），則雙曲線的離心率為
10．在
中，
，面積為
，則
11．已知
，那么“
”是“
”的
充要條件 必要不充分條件 充分不必要條件 既不充分也不必要條件
12．定義在
上的函數
滿足
，當
時，單調遞增，如果
，且
，則
的值為
恒小于 恒大于 可能為 可正可負
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濟南市2009年2月高三統一考試
數學試題(理工類)
第Ⅱ卷(非選擇題 共90分)
注意事項：
1. 第Ⅱ卷共4頁,必須使用0.5毫米的的黑色墨水簽字筆書寫,作圖時,可用2B鉛筆，要字體工整，筆跡清晰.在草稿紙上答題無效.
2. 答卷前將密封線內的項目填寫清楚.
二、 填空題：本大題共4個小題.每小題4分；共16分；把答案填在題中橫線上.
13．下面的程序框圖表示的算法的結果是＿＿＿＿＿＿＿＿
14．已知數列
中，
，則
＿＿＿＿＿＿＿
15．由曲線
和
圍成圖形的面積為＿＿＿＿＿＿－
16．已知過點
的直線與拋物線
僅有一個交點，則滿足該條件的直線共有＿＿＿＿＿條．
三、 解答題：本大題共6個小題.共74分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
17．(本小題滿分12分)
已知函數
，且
，
．
（１）求實數
的值；
（２）求函數的最大值及取得最大值時
的值；
18．(本小題滿分12分)
盒子中放了
個乒乓球，其中
個是新球，個是舊球（即至少用過一次的球），每次比賽，都拿出其中個球用，用完后全部放回．
（1）設第一次比賽取出的兩個球中新球的個數為
，求隨機變量的分布列和數學期望；
（2）求第二次比賽任取球都是新球的概率．
19．(本小題滿分12分)
已知等差數列的前四項的和為
，第二項與第四項的和為
，等比數列
的前四項的和為
，第二項與第四項的和為
．
（１）求數列，的通項公式；
�。ǎ玻┰O
，則數列
中的每一項是否都是數列中的項，給出你的結論，并說明理由．
20．(本小題滿分12分)
如圖，直三棱柱
中，是等腰直角三角形，且
，為
中點，
（1）求證：
平面
；
（2）求二面角
的大�。�
21．(本小題滿分12分)
已知平面上一定點
和一定直線
，為該平面上一動點，作
，垂足為
，且
，
（1）求點的軌跡方程；
（2）點
是坐標原點，過點的直線與點的軌跡交于
兩點，求
的取值范圍．
22．(本小題滿分14分)
設
，函數
，其中
是自然對數的底數，
（1）判斷在上的單調性；
（2）當
時，求在
上的最小值．
濟南市2009年2月高三統一考試
一、 選擇題：1. A 2. B 3. D 4. B 5. A 6. A 7. C 8. C 9. D 10. C
11. C 12. B
二、 填空題：13. 7；14. 111；15. 323；16. 3
三、 解答題：
17. 解：(1) ∵f(0)=8，
∴
………………2分
即
∴
………………………6分
(2) 由(1)知：
…………………7分
……………………8分
…………………9分
………………………10分
∴
，此時
(k∈Z)………………………11分
即
(k∈Z）時，.……………………………12分
18. 解：(1) 
，
…3分
∴分布列為：
0
1
2
………………………………………………5分
∴
……………………………7分
(2) 
……………………12分
19. 解：(1) 設數列
的前n項和為
，由題意知：
即?
，兩式相減可得：
………………………2分
∴
(n∈
)…………………………4分
設數列
的前n項和為
，由題意知：
，即
兩式相除可得：
，則
………………………6分
∴
(n∈)………………………8分
(2) 假設存在，則
，
為正整數.
故存在p，滿足
………………12分
20. 解法一：(1) 連結
交BD于F.
∵D為
中點，
，
∴
，
Rt△BCD∽Rt△
，∴∠
=∠CDB，
∴
⊥BD………………2分
∵直三棱柱
中，平面ABC⊥平面
，
又AC⊥BC，∴AC⊥平面，∴AC⊥BD，
AC∩=C，BD⊥平面
，∴
⊥BD…………………4分
又在正方形
中，⊥
…………………………………5分
∴⊥平面
.……………………………6分
(2) 設與交于點M，AC=1，連結AF、MF，
由(1)知BD⊥平面，∴MF⊥BD，AF⊥BD，
∴∠AFM是二面角A-BD-
的平面角………………………9分
在Rt△AFB中，AB=
，BF=
，∠AFB
= 90°，
∴AF=
，又
，∠AMF
= 90°，∴sin∠AFM=
，∴∠AFM=
，
故二面角A-BD-的大小為.…………………………12分
方法二：直三棱柱中，∠ACB=90°，
以C為原點O，CB、、CA分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系如圖，設AC=2，
則B(2,0,0)，
,
,A(0,0,2),D(0, ,0)…………………2分
(1) 
，
，
，
，
，…………………4分
∴⊥BD，⊥
，又∩BD=D，
∴⊥平面；……………………………6分
(2) 由(1)知⊥平面，且，…8分
設
，且
⊥
，⊥
∵
,，
∴
,
，即2x-2z=0，-2x+2y=0，令x=1，
得平面ABD的一法向量
，………………10分
又，∴
，
∴二面角
的大小為.…………………………………12分
21. 解：(1) 設P(x,y)代入
得點P的軌跡方程為
.……5分
(2) 設過點C的直線斜率存在時的方程為
，且A(
),B(
)在上，則由代入得
.…………………6分
∴
，
.
∴
.………………8分
令
，∴＝
.…8分
∵
≥0，∴
≤
＜0，∴
.………………10分
當過點C的直線斜率不存在時，其方程為x=-1，解得
,
.此時
.11分
所以
的取值范圍為
.………………12分
22. 解:(1) 
……3分
∵
＞0.以下討論函數
的情況.
① 當a≥0時，
≤-1＜0，即
＜0.
所以
在R上是單調遞減的.…………………………5分
② 當a＜0時，
的兩根分別為
且
＜
.
在（-∞, ）和（,+∞）上＞0，即＞0.
所以函數的遞增區間為（-∞, ）和（,+∞）；
同理函數f(x)的遞減區間為（，）.………………9分
綜上所述：當a≥0時，在R上是單調遞減的；
當a＜0時，在（-∞, ）和（,+∞）上單調遞增，
在（，）上是單調遞減的.………………………10分
(2) 當-1＜a＜0時，
＜1, =
＞2,………12分
∴當x∈［1,2］時，是單調遞減的.………………13分
∴
. ………………………………14分
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