海南省海南中學2009屆高三第六次月考學科網
數學(理科)試題學科網
時間:120分鐘 滿分:150分學科網
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第Ⅰ卷學科網
一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分,在每小題給出的四個選項中,學科網
只有一項是符合題目要求的)學科網
1.設m,n是整數,則“m,n均為偶數”是“m+n是偶數”的( )學科網
A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 學科網
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件學科網
2.設有直線m、n和平面、
,下列四個命題中,正確的是( )
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A.若m∥,n∥
,則m∥n B. 若m
,n
,m∥
,n∥
,則
∥
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C.若,m
,則m
D.若
,m
,m
,則m∥
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3.若實數滿足
則
的最小值是( )
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A.0 B. D.9
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4.已知上是單調增函數,則a的最大值是( )
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A.0 B.學科網
5.已知雙曲線(a>0,b>0)的一條漸近線為
(k>0),
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離心率,則雙曲線方程為(
)
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A . -
=1
B.
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C. D.
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6.定義行列式運算=
.
將函數
的圖象向左
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平移(
)個單位,所得圖象對應的函數為偶函數,則
的最小值為 ( )
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A. B.
C.
D.
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7.長方體ABCD-A1B,
AA1=1,
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則頂點A、B間的球面距離是( )學科網
A..2 B..
C
.
D.
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8.若定義在R上的函數滿足:對任意
,
有
(
)
,
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則下列說法一定正確的是( )學科網
A .為奇函數 B .
為偶函數
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C . 為奇函數 D .
為偶函數
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9.一個正方體的展開圖如圖所示,
為原正方體的頂點,
為原正方體一條棱的中點。在原來的正方體中,
與
所成角的余弦值為(
)
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A. B.
C.
D.
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10.若直線和⊙
:
沒有交點,則過點(
的直線
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與橢圓的交點個數為( 。
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A.至多一個
B..2個 C.1個 D.0個學科網
11.如圖,在正三棱錐A-BCD中,E、F分別是AB、BC的中點,EF⊥DE,學科網
且BC=1,則正三棱錐A-BCD的體積是( )
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A. B.
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C. D.
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12.已知拋物線的焦點為
,準線與
軸的交點為
,點
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在上且
,則
的面積為( )
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A . B.
C.
D.
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第Ⅱ卷學科網
二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分,把答案填在題中橫線上)學科網
13.如圖,
到
的距離分別是
和
,
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與
所成的角分別是
和
,
在
內的射影分別是
和
,若
,
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則與
的大小關系及m與n的大小關系分別為
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14.已知向量,
,
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且
,則
= _____
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15.已知函數(x)=
,等差數列{ax}的公差為2,若
(a2+a4+a6+a8+a10)=
,則
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log2[f(a1)?f(a2)?f(a3)?…?f(a10)]=
.學科網
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16.某校數學課外小組在坐標紙上,為學校的一塊空地設計植樹方案如下:學科網
第棵樹種植在點
處,其中
,
,當
時,
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表示非負實數
的整數部分,例如
,
.
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按此方案,第6棵樹種植點的坐標應為
;第2008棵樹種植點的學科網
坐標應為 . 學科網
三、解答題(本大題共6小題,共70分,解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟,學科網
請把答案寫在答題紙的指定區域內)
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17.(本小題12分)已知中內角
的對邊分別為
,且
,
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向量,
且
∥
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(Ⅰ)求銳角的大小,
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(Ⅱ)求的面積
的取值范圍.
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18.(本小題12分)學科網
如圖,在三棱錐中,
,
,
,
.
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(Ⅰ)求證:;
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(Ⅱ)求二面角的余弦值;
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(Ⅲ)求點到平面
的距離.
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19.(本小題12分)在數列中,
,
.
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(Ⅰ)求的通項公式;(Ⅱ)令
,求數列
的前
項和
.
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(Ⅲ)求數列的前
項和
.
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20. (本小題12分)學科網
水庫的蓄水量隨時間而變化,現用t表示時間,以月為單位,年初為起點,根據歷年數據,某水庫的蓄水量(單位:億立方米)關于t的近似函數關系式為學科網
V(t)=學科網
(Ⅰ)該水庫的蓄水量小于50的時期稱為枯水期.以i-1<t<i表示第i月份(i=1,2,…,12),問一年內哪幾個月份是枯水期?(Ⅱ)求一年內該水庫的最大蓄水量(取e=2.7計算).學科網
21.(本小題12分)學科網
已知菱形的頂點
在橢圓
上,對角線
所在直線的斜率為1.
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(Ⅰ)當直線過點
時,求直線
的方程;
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(Ⅱ)當時,求菱形
面積的最大值.
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請考生在第22、23、24題中任選一題做答,如果多做,則按所做的第一題記分。學科網
22.(本小題10分)選修4-1:幾何證明選講
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從⊙O外一點P向圓引兩條切線PA、PB和割線PCD。從A點作弦AE平行于CD,結BE交CD于F。求證:BE平分CD.學科網
23.(本小題10分)選修4-4:坐標系與參數方程學科網
已知曲線C1:,曲線C2:
.
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(Ⅰ)指出C1,C2各是什么曲線,并說明C1與C2公共點的個數;學科網
(Ⅱ)若把C1,C2上各點的縱坐標都壓縮為原來的一半,分別得到曲線,
。寫出
,
的參數方程。
與
公共點的個數和C1與C2公共點的個數是否相同?說明你的理由.
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24.(本小題10分)選修4-5:不等式選講學科網
已知函數.
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(Ⅰ)作出函數的圖像;(Ⅱ)解不等式
.
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一、選擇題:1-5 :A D B D C 6-10: C C C
D B 11-12: B B學科網
二、填空題: 13, 14. 3 15.
16. (1,2),(3,402)
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三、解答題
三、解答題(本大題共6小題,共70分)
17.(12分)
解:(1)∥
2分
4分
又為銳角
6分
(Ⅱ) 由
得
又代入上式得:
(當且僅當
時等號成立。) 9分
(當且僅當
時等號成立。) 11分
的面積
的取值范圍為.
12分
18.(12分)
解法一:
(Ⅰ)取中點
,連結
.
,
.
,
.
,
平面
.
平面
,
.
(Ⅱ),
,
.
又,
.
又
,即
,且
,
平面
.
取中點
.連結
.
,
.
是
在平面
內的射影,
.
是二面角
的平面角.
在中,
,
,
,
.
二面角
的余弦值為
(Ⅲ)由(Ⅰ)知平面
,
平面
平面
.
過作
,垂足為
.
平面
平面
,
平面
.
的長即為點
到平面
的距離.
由(Ⅰ)知,又
,且
,
平面
.
平面
,
.
在中,
,
,
.
.
點
到平面
的距離為
.
解法二:
(Ⅰ),
,
.
又,
.
,
平面
.
平面
,
.
(Ⅱ)如圖,以為原點建立空間直角坐標系
.
則.設
.
,
,
.
取中點
,連結
.
,
,
,
.
是二面角
的平面角.
,
,
,
.
二面角
的余弦值為
.
(Ⅲ),
在平面
內的射影為正
的中心
,且
的長為點
到平面
的距離.
如(Ⅱ)建立空間直角坐標系.
,
點
的坐標為
.
.
點
到平面
的距離為
.
19.(12分)
解:(Ⅰ)由條件得,又
時,
,
故數列構成首項為1,公式為
的等比數列.從而
,即
.
(Ⅱ)由得
,
,
兩式相減得 : ,
所以
.
(Ⅲ)由得
所以.
20.(12分)
解:(Ⅰ)①當0<t10時,V(t)=(-t2+14t-40)
化簡得t2-14t+40>0,
解得t<4,或t>10,又0<t10,故0<t<4.
②當10<t12時,V(t)=4(t-10)(3t-41)+50<50,
化簡得(t-10)(3t-41)<0,
解得10<t<,又10<t
12,故 10<t
12.
綜合得0<t<4,或10<t12,
故知枯水期為1月,2月, 3月,4月,11月,12月共6個月.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知:V(t)的最大值只能在(4,10)內達到.
由V′(t)=
令V′(t)=0,解得t=8(t=-2舍去).
當t變化時,V′(t) 與V (t)的變化情況如下表:
t
(4,8)
8
(8,10)
V′(t)
+
0
-
V(t)
極大值
由上表,V(t)在t=8時取得最大值V(8)=8e2+50-108.32(億立方米).
故知一年內該水庫的最大蓄水量是108.32億立方米
21.(12分)
解:(Ⅰ)由題意得直線的方程為
.
因為四邊形為菱形,所以
.
于是可設直線的方程為
.
由得
.
因為在橢圓上,
所以,解得
.
設兩點坐標分別為
,
則,
,
,
.
所以.
所以的中點坐標為
.
由四邊形為菱形可知,點
在直線
上,
所以,解得
.
所以直線的方程為
,即
.
(Ⅱ)因為四邊形為菱形,且
,
所以.
所以菱形的面積
.
由(Ⅰ)可得,
所以.
所以當時,菱形
的面積取得最大值
.
22.(10分)解:從⊙O外一點P向圓引兩條切線PA、PB和割線PCD。從A點作弦AE平行于CD,連結BE交CD于F。求證:BE平分CD.
【分析1】構造兩個全等△.
連結ED、AC、AF。
CF=DF←△ACF≌△EDF←
←
←∠PAB=∠AEB=∠PFB
【分析2】利用圓中的等量關系。連結OF、OP、OB.
←∠PFB=∠POB←
←
23.(10分)解:(Ⅰ)是圓,
是直線.
的普通方程為
,圓心
,半徑
.
的普通方程為
.
因為圓心到直線
的距離為
,所以
與
只有一個公共點.
(Ⅱ)壓縮后的參數方程分別為
:
(
為參數);
:
(t為參數).
化為普通方程為::
,
:
,
聯立消元得,其判別式
,
所以壓縮后的直線與橢圓
仍然只有一個公共點,和
與
公共點個數相同.
24.(10分)解:
(Ⅰ)
圖像如下:
(Ⅱ)不等式
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