湖南省衡陽市祁東縣育賢中學高三文科數學試題（2007年2月）
（按全國卷文科格式加以改編）
湖南省衡陽市祁東縣育賢中學 高明生 （421600）
本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分。第Ⅰ卷1至12題。第Ⅱ卷13至22題。
參考公式：
如果時間A、B互斥，那么
如果時間A、B相互獨立，那么
如果事件A在一次試驗中發生的概率是P，那么n次獨立重復試驗中恰好發生k次的概率
球的表面積公式
，其中R表示球的半徑
球的體積公式
，其中R表示球的半徑
第Ⅰ卷
本卷共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
一、選擇題
1．已知：
是
的（ ）
A．充分不必要條件 B。必要不充分條件 C．充要條件 D。既不充分也不必要條件
2．點
在曲線
上移動，在點處的切線的傾斜角為
，則的取值范圍是（ ）
3．已知函數
是奇函數，則（ ）
A．
B。
C。且
D。或
4．向量
，若
與
共線（其中
且
），則
等于（ ）
A．
B。
D。
5．對于實數
，符號
表示不超過的最大整數，例如
，定義函數
，則下列命題中正確的是（ ）
A．
B。方程
有且僅有一個解
C。函數
是周期函數
D。函數是增函數
6．設
為橢圓
的離心率，且
，則實數
的取值范圍為（ ）
7．已知
是定義在R上的周期為2的偶函數，當
時，
設
，則
、
、
的大小關系為（ ）
8．線段AB長為2，兩個端點A、B分別在一個直二面角的兩個面上，AB和兩個面所成的角分別是
和
，那么點A、B在這個二面角的棱上的射影C、D間的距離是（ ）
A．1 B。
C。2 D。
9．已知非零向量
與
滿足
且
，則
為（ ）
A．三邊均不相等的三角形 B。直角三角形
C．等腰非等邊三角形 D。等邊三角形
10．函數y=f(x)與y=g(x)的圖象如下圖：
則函數y=f(x)g(x)的圖象可能為（ ）
A B C D
11．．由正方體的八個頂點中的兩個所確定的所有直線中，取出兩條，這兩條直線是異面直線的概率為（ ）
A． 
B． 
C． 
D． 
12．給出下列四個命題：
①若函數
在區間
為減函數，則
；
②函數
的定義域是
；
③當
；
④若M是圓
上的任意一點，
則點M關于
的對稱點
也在該圓上。
所有正確命題的序號是（ ）
A．①④ B。②④ C。①③ D。③④
第Ⅱ卷
注意事項：
請用黑色簽字筆在答題卡上各題的答題區域內作答，在試題卷上作答無效。
本卷共10小題，共90分。
二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分，把答案填在橫線上。
13．
上一點（非原點），在處引切線交
軸于
則
= 。
14．正四棱錐S―ABCD的5個頂點都在球O的表面上，過球心O的一個截面如圖，棱錐的底面邊長為1，則球心O到側面SAB的距離為
。
15．二項式
的展開式中
的系數為
。
16．如果函數的導函數的圖象如右圖所示，給出下列判斷：
①函數
在區間
內單調遞增；
②函數在區間
內單調遞減；
③函數在區間
內單調遞增；
④當
時，函數有極小值；
⑤當
時，函數有極大值；
則上述判斷中正確的是 。
（17）（本小題滿分12分）求由正整數組成的集合S，使S中的元素之和等于元素之積。
三、解答題：本大題共6小題，共74分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
（18）（本小題滿分12分）已知、為非負數，
求
的最值。
（19）（本小題滿分12分）過正方體
的8個頂點中任意兩點的直線，與平面
垂直的直線條數有多少？并加以證明。
（20）。（本小題滿分12分）湖南是勞務輸出大省，據勞動村村長統計，第一季度，勞動村有
的農民在外打工，第二季度，勞動村有
的農民在外打工，第三季度，勞動村有
的農民在外打工，第四季度，勞動村有
的農民在外打工，問勞動村至少有百分之幾的農民全年在外打工？
（21）、（本小題滿分14分）兩根等長的繩子掛一個物體,繩子受到的拉力大小為
，物體的重量為
，兩繩子間的夾角為
。
① 求繩子受到的拉力大小與兩繩子間的夾角的關系；
② 當逐漸增大時，的大小怎樣變化？
③ 當為何值時，最小，最小值是多少？
④當為何值時，
？
（22）、（本小題滿分12分）給定拋物線C：y2=4x，F是C的焦點，過點F的直線l與C相交于A、B兩點。
（Ⅰ）設l的斜率為1，求
與
的夾角的大��；
（Ⅱ）設
，若λ∈[4,9]，求l在y軸上截距的變化范圍.
湖南省衡陽市祁東縣育賢中學高三文科數學試題（2007年2月）
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1．答案：A
解：依題意可知：由
顯然：
但
不能推出
。
故選A ；
2．答案：D
解：依題意可知：設點
，則在點P處的切線的斜率為
，即
，又
故選D ；
3．答案：C
解：依題意可知：由
是奇函數，
故選C ；
4．答案：A
解：依題意可知：由
故選A；
5．答案：C
解：如圖：函數
是周期函數，T=1。
故選C；
6．答案：A
解：依題意可知：由
，
，
又
。
故選A ；
7．答案：B
解：依題意可知：由圖可知：
。
8．答案：A
解：依題意可知：如圖，
，
則在
中，
；
則在
中，
；
則在
中，
；
故選A ；
9．答案：D
解：依題意可知：因
表示與
同方向的單位向量，
表示與
同方向的單位向量，故
，而
，
又（+）
，說明
向量與
向量垂直，根據向量加法的平行四邊形法則可知：向量所在直線 過向量所在線段中點，根據等腰三角形三線合一的性質，可逆推
為等腰三角形。又與夾角為
，故為等邊三角形。
故選D ；
10．答案：A
解：設
，在
上，
，
，
，排除D；在
上，
，
，，排除B與C；故選A。
11．答案：B
解法一：正方體的八個頂點可確定
條直線；
條直線組成
對直線；正方體的八個頂點可確定
個面，其中12個四點面（6個表面，4個面對角面，2個體對角面），8個三點面；每個四點面上有
條直線，6條直線組成
對直線，12個四點面由12×15=180對直線組成；每個三點面上有
條直線，3條直線組成對直線，8個三點面由8×3=24對直線組成；由正方體的八個頂點中的兩個所確定的所有直線中，取出兩條，這兩條直線是異面直線的概率為
；
解法二：正方體的八個頂點可確定
個四面體，每個四面體中有三對異面直線，由正方體的八個頂點中的兩個所確定的所有直線中，取出兩條，這兩條直線是異面直線的概率為
；
12．答案：A
解：①正確；①中依題意可令
，
當
時，
在
上為減函數，
又因
在區間
為減函數，故
；
②錯誤；②中
當
當
③錯誤；③中當
時，
④正確；
圓的對稱軸為直徑所在的直線，故原命題正確。
故答案為：A。
二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分，把答案填在橫線上。
13．答案：
解：設P點的坐標為
，則
直線PQ的方程為：
即
，
Q點的坐標為
，R點的坐標為
，
故答案為：；
14．答案：
解：依題意可知：正四棱錐S―ABCD的底面正方形ABCD在過球心O的大圓上，設球半徑為R，AC=2R=
，
；
設球心O到側面SAB的距離為
，連接
，
，過
作
于
，
連接SM，則
，
，
又
4
。
故答案為：；
15．答案：10
解：依題意可知：由
令
，故
的系數為
。
故答案為：10 ；
16．答案：③
解：依題意可知：①錯，因在
上，
為減函數，而在
上，
為增函數。
②錯，因在
上，為增函數，而在
上，為減函數。
③正確。因在
上，為增函數。
④錯，因在
上，為增函數，而在
上，為減函數，故
時，函數有極大值。
⑤錯，因在上，為增函數，故
時，函數沒有極大值。
故答案為：③；
三、解答題：本大題共6小題，共74分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
（17）解：
，設
中有
個元素，顯然有
，其中最大的一個是
，由于是正整數集合，故
且
；
當
時，
，此時不符合題意；
當
時，
或
或，顯然只有符合題意；
當
時，設
其中
，
此時令
，
若
，則
，
不符合題意；
若
，由于是正整數集合，故
，
故時不符合題意；
綜上所述。
（18）解：令
故當
（19）。答：與平面
垂直的直線條數有1條為
；
證法一：依題意由圖可知：連
，
連
，
；
證法二：依題意由圖建立空間直角坐標系：
，
設與
垂直的法向量為
，則有：
，而
，故
。
（20）解：設S為勞動村全體農民的集合，
為
季度勞動村在外打工的農民的集合，則
為季度勞動村沒有在外打工的農民的集合，由題意有
所以
勞動村的農民全年在外打工為
，則
，
但
，
所以
，
即
。
故勞動村至少有
的農民全年在外打工。
（21）解：①作圖進行受力分析，如下圖示；
由向量的平行四邊形法則，力的平衡及解直角三角形等知識，得出：
② ∵
，∴
故
在上為減函數，
∴當逐漸增大時，
也逐漸增大。
③要最小，則為最大，∴當為
時，最小，最小值是
。
④要
，則
，∴當為
時，。
（22）解：（Ⅰ）C的焦點為F（1，0），直線l的斜率為1，所以l的方程為
將
代入方程
，并整理得 
設
則有 
所以
夾角的大小為
（Ⅱ）由題設
得 
|
， ∵ 
∴
③
，依題意有
又F（1，0），得直線l方程為
時，l在方程y軸上的截距為
可知
在[4，9]上是遞減的，
