第十四講   不等式的應用

★★★高考在考什么

【考題回放】

1．(北京) 若不等式組表示的平面區域是一個三角形，則的取值范圍是（　D　）

Ａ．      Ｂ．       Ｃ．      Ｄ．或

2．(福建) 已知為R上的減函數，則滿足的實數的取值范圍是（C）

A．（－1，1）                B．（0，1） 

C．（－1，0）（0，1）      D．（－，－1）（1，＋）

3．（陜西）已知不等式對任意正實數恒成立，則正實數的最小值為 （B）

    （Ａ）8　　　　（Ｂ）6　　　�。–）4　　　�。―）2

4．（重慶）若動點（）在曲線上變化，則的最大值為（  A ）

    A．          B．

    C．                          D．2

5．(重慶）一元二次方程有一個正根和一個負根的充分不必要條件是      （  C ）

   A．           B．         C．         D．

6、(浙江卷)已知則不等式≤5的解集是          .

★★★高考要考什么

不等式是繼函數與方程之后的又一重點內容之一，作為解決問題的工具，與其他知識綜合運用的特點比較突出.不等式的應用大致可分為兩類：一類是建立不等式求參數的取值范圍或解決一些實際應用問題；另一類是建立函數關系，利用均值不等式求最值問題、本難點提供相關的思想方法，使考生能夠運用不等式的性質、定理和方法解決函數、方程、實際應用等方面的問題.

★     ★★ 突 破 重 難 點

【范例1】已知函數的圖象與軸分別相交于點A、B，（分別是與軸正半軸同方向的單位向量），函數。

（1）求的值；

（2）當滿足時，求函數的最小值。

解：（1）由已知得

于是

（2）由

即

由于，其中等號當且僅當x+2=1，即x=－1時成立，

∴時的最小值是－3.

【范例2】已知a，b，c是實數，函數f(x)=ax²+bx+c，g(x)=ax+b，當－1≤x≤1時|f(x)|≤1.

(1)證明：|c|≤1；

(2)證明：當－1 ≤x≤1時，|g(x)|≤2；

(3)設a＞0，有－1≤x≤1時， g(x)的最大值為2，求f(x).

命題意圖：本題主要考查二次函數的性質、含有絕對值不等式的性質，以及綜合應用數學知識分析問題和解決問題的能力.屬較難題目.

知識依托：二次函數的有關性質、函數的單調性是藥引，而絕對值不等式的性質靈活運用是本題的靈魂.

錯解分析：本題綜合性較強，其解答的關鍵是對函數f(x)的單調性的深刻理解，以及對條件“－1≤x≤1時|f(x)|≤1”的運用；絕對值不等式的性質使用不當，會使解題過程空洞，缺乏嚴密，從而使題目陷于僵局.

技巧與方法：本題(2)問有三種證法，證法一利用g(x)的單調性；證法二利用絕對值不等式：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|+|b|；而證法三則是整體處理g(x)與f(x)的關系.

(1)證明：由條件當=1≤x≤1時，|f(x)|≤1，取x=0得：|c|=|f(0)|≤1，即|c|≤1.

(2)證法一：依題設|f(0)|≤1而f(0)=c，所以|c|≤1.當a＞0時，g(x)=ax+b在［－1，1］上是增函數，于是

g(－1)≤g(x)≤g(1)，(－1≤x≤1).

∵|f(x)|≤1，(－1≤x≤1)，|c|≤1，

∴g(1)=a+b=f(1)－c≤|f(1)|+|c|=2，

g(－1)=－a+b=－f(－1)+c≥－(|f(－2)|+|c|)≥－2，

因此得|g(x)|≤2  (－1≤x≤1)；

當a＜0時，g(x)=ax+b在［－1，1］上是減函數，于是g(－1)≥g(x)≥g(1)，(－1≤x≤1)，

∵|f(x)|≤1  (－1≤x≤1)，|c|≤1

∴|g(x)|=|f(1)－c|≤|f(1)|+|c|≤2.

綜合以上結果，當－1≤x≤1時，都有|g(x)|≤2.

證法二：∵|f(x)|≤1(－1≤x≤1)

∴|f(－1)|≤1，|f(1)|≤1，|f(0)|≤1，

∵f(x)=ax²+bx+c，∴|a－b+c|≤1，|a+b+c|≤1，|c|≤1，

因此，根據絕對值不等式性質得：

|a－b|=|(a－b+c)－c|≤|a－b+c|+|c|≤2，

|a+b|=|(a+b+c)－c|≤|a+b+c|+|c|≤2，

∵g(x)=ax+b，∴|g(±1)|=|±a+b|=|a±b|≤2，

函數g(x)=ax+b的圖象是一條直線，因此|g(x)|在［－1，1］上的最大值只能在區間的端點x=－1或x=1處取得，于是由|g(±1)|≤2得|g(x)|≤2，(－1＜x＜1.

當－1≤x≤1時，有0≤≤1，－1≤≤0，

∵|f(x)|≤1，(－1≤x≤1)，∴|f |≤1，|f()|≤1；

因此當－1≤x≤1時，|g(x)|≤|f |+|f()|≤2.

(3)解：因為a＞0，g(x)在［－1，1］上是增函數，當x=1時取得最大值2，即

g(1)=a+b=f(1)－f(0)=2.                                                  ①

∵－1≤f(0)=f(1)－2≤1－2=－1，∴c=f(0)=－1.

因為當－1≤x≤1時，f(x)≥－1，即f(x)≥f(0)，

根據二次函數的性質，直線x=0為f(x)的圖象的對稱軸，

由此得－＜0 ，即b=0.

由①得a=2，所以f(x)=2x²－1.

【范例3】已知二次函數的圖像經過坐標原點，其導函數為.數列的前項和為，點均在函數的圖像上.

（Ⅰ）求數列的通項公式；

（Ⅱ）設，是數列的前項和，求使得對所有都成立的最小正整數.

點評：本小題考查二次函數、等差數列、數列求和、不等式等基礎知識和基本的運算技能，考查分析問題的能力和推理能力。

解：（Ⅰ）設這二次函數f(x)＝ax²+bx (a≠0) ,則 f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x－2,得

a=3 ,  b=－2, 所以  f(x)＝3x²－2x.

又因為點均在函數的圖像上，所以＝3n²－2n.

當n≥2時，a_n＝S_n－S_n－1＝（3n²－2n）－＝6n－5.

當n＝1時，a₁＝S₁＝3×1²－2＝6×1－5，所以，a_n＝6n－5 （）

（Ⅱ）由（Ⅰ）得知＝＝，

故T_n＝＝＝（1－）.

因此，要使（1－）<（）成立的m,必須且僅須滿足≤，即m≥10，所以滿足要求的最小正整數m為10.