絕密★啟用前
湖南省株洲市2009屆高三教學質量統一檢測（一）
數學試題（理科）
本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．滿分150分，考試時間120分鐘．
參考公式：
如果事件A、B互斥，那么 正棱錐、圓錐的側面積公式
如果事件A、B相互獨立，那么 其中，c表示底面周長、l表示斜高或
母線長
如果事件A在1次實驗中發生的概率是 球的體積公式
P，那么n次獨立重復實驗中恰好發生k 
次的概率
其中R表示球的半徑
第Ⅰ卷（選擇題）
一．選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的．答案要寫在答題卷上。
1．復數
的虛部為
A．1 B．
D．－
2．設集合
，B=
≤0
，那么“
”是“
”的
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既非充分又非必要條件
3．已知
，則
＝
A．
B．
C．
D．
4．記等差數列
的前
項和為
，若
，
，則直線
的斜率為
A．－2 B．
C．－
D．
5．設變量
滿足約束條件
，則
的最大值為
A． 2 B． 
D． 
6．平面
與平面
外有一條直線
，如果在與內的射影分別是直線
和直線
，給出下列四個命題：
①∥
∥； ②∥∥；
③⊥⊥； ④與相交與相交；
其中正確的命題個數是
A.1
B
7．已知函數
是定義在R上的奇函數，其最小正周期為3, 且
A．4
B．
8．已知橢圓
的焦點為F1、F2，點M在該橢圓上，且
則點M
到y軸的距離為
A．
B．
C．
D．
9．棱長為1的正方體
的8個頂點都在球
的表面上，E，F分別為棱
AB，A1D1的中點，則經過E，F球的截面面積的最小值為
A． 
B． 
C．
D．
10．高考資源網設函數
，且
，
，則下列結論不正確的是
A． 
B．
C．
D．
第Ⅱ卷（非選擇題）
二、填空題：本大題共5小題，每小題5分 ，共25分，把答案填在答題卡中對應題號后的橫線上.
11．高考資源網若
展開式的二項式系數之和為64，則其展開式中的常數項為___________.
12．經過坐標原點，且與直線
相切的圓中，面積最小的圓的標準方程為_________________.
13．從平行六面體的8個頂點中任取5個頂點為頂點，恰好構成四棱錐的概率為________.
14．已知
為常數，函數
在區間
上的最大值為2，則
．
15．早期的計算機在使用數據中，常常要進行八進制與十進制的轉換．如：十進制的8轉換成八進制是10，記作
；八進制的23轉換成十進制是19，記作
．常常還要進行八進制的四則運算．如：
；
．
請計算下列兩個八進制的運算：
；
＝______
.
三．解答題：本大題共6小題，共75分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
16．（本題滿分12分）已知函數
（
，
），且函數的最小正周期為
．
(Ⅰ)求函數的解析式并求的最小值；
(Ⅱ)在
中，角A，B，C所對的邊分別為
，若
=1，
,
且
，求邊長
．
17．（本小題滿分12分）湖南衛視主持了一種有獎過關游戲，該游戲共有兩關，只有過了第一關，才能玩第二關，每關最多玩兩次，連續兩次失敗游戲終止．過關者可獲獎金：只過第一關獲獎金1000元，兩關全過獲獎金4000元．通過電腦抽獎，王同學有幸參與了上述游戲，王同學每一關每次過關的概率均為
，各次過關與否均互不影響．在游戲過程中，王同學不放棄所有機會．
(Ⅰ)求王同學獲得1000元獎金的概率；
(Ⅱ)求王同學獲得獎金額
的數學期望E．
18．（本小題滿分12分）已知直角梯形
中, 
,
過
作
,垂足為
，
的中點,現將
沿
折疊使二面 角D－AE－C的平面角大小為
.
(Ⅰ) 求證：
；
(Ⅱ) 求異面直線GF與BD所成的角；
(Ⅲ) 求二面角A－BD－C的大小．
19．（本小題滿分13分）由于種種原因，某市重點企業A公司一直虧損，2008年下半年又遭受全球金融危機的沖擊，致使公司停產，瀕臨倒閉，累計負債32000萬元．經反復研究，市政府決定對該公司進行緊急援助，于2009年元旦一次性給A公司無息貸款32000萬元，用于支付一切債務，同時對公司進行了改制，使A公司起死回生．為了公司可持續發展，從2009年起，政府還將提供無息貸款用于A公司硬件改造，其中2009年提供5000萬元，以后每年都比上年減少．據估算，2009年度將獲利潤4000萬元，今后的利潤每年都會比上年增加
．
（Ⅰ)設年內(2009年為第一年) 無息貸款總額為
萬元，公司總利潤為
萬元.
寫出
的表達式；
(Ⅱ) 經過幾年公司總利潤才能超過無息貸款總額?
20．（本小題滿分13分）已知函數
，設
．
(Ⅰ)求
在（0，3]內的最小值；
(Ⅱ)是否存在實數，使得函數
的圖象與
的圖象恰好有四個不同的交點？若存在，求出的取值范圍，若不存在，說明理由．
21．（本小題滿分13分）已知拋物線C：
的焦點為F，過拋物線C上兩個不同的點A,B的切線相交于點P，動點G滿足
(Ⅰ)若P在直線
上,求
的取值范圍；
(Ⅱ)是否存在實數
，使G在曲線C上，若存在，求，若不存在說明理由．
株洲市2009屆高三年級教學質量統一檢測（一）
命題人：黃小紅(株洲縣五中) 趙家早(株洲縣五中) 郭珂珊(瀟湘雙語)
審題人：郭珂珊 (瀟湘雙語) 趙家早(株洲縣五中) 黃小紅(株洲縣五中)
第Ⅰ卷（選擇題）
一．選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的．答案要寫在答題卷上。
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
A
D
D
C
A
C
B
C
C
第Ⅱ卷（非選擇題）
二、填空題：本大題共5小題，每小題5分 ，共25分，把答案填在答題卡中對應題號后的橫線上.
11. －160
12． 
13.
14．－
； 15. （1）617 （2）4040
三．解答題：本大題共6小題，共75分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
16.解（Ⅰ）
，……2分
由
得
，……… 3分
所以
，( 4分)
所以
………6分
（Ⅱ）由f(B)=
1得
，解得
………8分
又由
知
，所以
………10分
由余弦定理知
=
所以
……… 12分
17．解：記“第一關第一次過關”為事件A1，“第一關第二次過關”為事件A2；記“第二關第一次過關”為事件B1，“第二關第二次過關”為事件B2；………1分
（Ⅰ）王同學獲得1000元獎金的概率為：
則
………5分
（Ⅱ）王同學獲得獎金額
可能取值為：0 元，1000 元， 4000 元
………6分
(7分) 
………8分
…………10分
(另解：
＝1－
－
＝
…………10分)
……… 12分
18. （本小題滿分12分）
解（Ⅰ）證明：取
中點
，連接
,
,
又G為AD中點
， GH
， ………分
同理可證 
,
………3分
, 
……… 4分
（Ⅱ）延長CE，過D作DO垂直直線EC于O，易證DO⊥平面ABCE，AE⊥EC，AE⊥DE，二面角D－AE－C的平面角大小為
.
∴
∵DE＝
,∴OE=1,DO=2
以
為原點，
為y軸正方向建立坐標系O－xyz
（圖略）
則D（0，0，2），A（2，1，0），E（0，1，0） ，C（0，2，0），B（2，2，0），
H（2，
，0），G（1，
，1），F（0，，0）………6分
，
∴異面直線GF與BD所成的角為
………8分
(Ⅲ)取DC中點P，易證OP⊥平面BCD，所以面BCD一個法向量為
…
9分
（0,1,0）, 
(-2,-2,2),設平面
的法向量為
,
取x=1,得y=0,z=1,得平面的一個法向量為
………
10分
∴
……… 11分
∴二面角A－BD－C的大小為120°。……… 12分
19．（本小題滿分13分）
解：(Ⅰ)第1年貸款（32000＋5000）萬元，第2年5000×
萬元…，第n年貸款5000×
萬元 …1分
所以貸款總額為：
＝32000+5000＋5000×＋…＋5000×＝52000－20000
… 3分
同理：第1年利潤4000萬元，第2年利潤4000×（1＋
）萬元，…，
第n年利潤4000×
萬元 …………4分
＝4000＋4000×
＋……＋4000×＝12000［
－1］
………… 6分
(Ⅱ) 由題意
＞0， （7分） 12000［－1］>52000－20000
……8分
化簡得，3×＋5×－16＞0?
…………9分
設x＝
，3x2－16x＋5＞0?∴x＜（舍)或x＞5 …………10分
?∴>5， 而
……………11分
∴n≥6. （12分） ∴經過6年公司總利潤才能超過無息貸款總額 ………13分
20．（本小題滿分13分）
解.(Ⅰ) 
）， 則 
………1分
因為
, 所以當
時，
對
恒成立，
故F(x)在（0，3）內單調遞減，（2分 ），
而F(x)在x=3處連續 ， 所以
………3分
當
時，
時
，
時
，所以F(x)在
內單調遞減，在
內單調遞增。………4分
所以
………5分
綜上所述，當時，
，當時，
�！�6分
（Ⅱ）若
的圖象與
的圖象恰有四個不同交點， 即
有四個不同的根， ………7分
亦即 
有四個不同的根。 ………8分
令
，
則
。………………………9分
當
變化時
的變化情況如下表：
(-1,0)
(0,1)
(1,
)
的符號
+
-
+
-
的單調性
ㄊ
ㄋ
ㄊ
ㄋ
由表格知：
�！�11分
畫出草圖和驗證
可知，當
時，
高考資源網版權所有
……………12分
函數
的圖象與
的圖象恰好有四個不同的交點. …………………13分
21．（本小題滿分13分）
解：（Ⅰ）設A
，(
)
∵
，∴
……………1分
則A點的切線方程為
B點的切線方程為
…………2分
…………3分
P在直線
上 ∴
=
, ……………4分
|AF|+|BF|=
……………5分
……………6分
∵=,∴
，當且僅當
時取等號
∴ 
取值范圍為
…………8分
（Ⅱ）∵
，∴
， ……………9分
設A，由（1）知
∴
…………10分
若G在拋物線C上，則
…………11分
…………12分
，而
故存在
使G在拋物線C上。 ……………13分
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