2009屆高考數學快速提升成績題型訓練――概率

1. 兩人要去某風景區游玩，每天某一時段開往該風景區有三輛汽車（票價相同），但是他們不知道這些車的舒適程度，也不知道汽車開過來的順序．兩人采用了不同的乘車方案：

　　甲無論如何總是上開來的第一輛車．而乙則是先觀察后上車，當第一輛車開來時，他不上車，而是仔細觀察車的舒適狀況．如果第二輛車的狀況比第一輛好，他就上第二輛車；如果第二輛不比第一輛好，他就上第三輛車．

　　如果把這三輛車的舒適程度分為上、中、下三等，請嘗試著解決下面的問題：

（1）三輛車按出現的先后順序共有哪幾種不同的可能？

（2）你認為甲、乙兩人采用的方案，哪一種方案使自己乘坐上等車的可能性大？為什么？

2有一個拋兩枚硬幣的游戲，規則是：若出現兩個正面，則甲贏；若出現一正一反，則乙贏；若出現兩個反面，則甲、乙都不贏．

（１）這個游戲是否公平？請說明理由；

（２）如果你認為這個游戲不公平，那么請你改變游戲規則，設計一個公平的游戲；如果你認為這個游戲公平，那么請你改變游戲規則，設計一個不公平的游戲．

3. 一個口袋中有10個紅球和若干個白球，請通過以下實驗估計口袋中白球的個數：從口袋中隨機摸出一球，記下其顏色，再把它放回口袋中，不斷重復上述過程．實驗中總共摸了200次，其中有50次摸到紅球． 求其中白球的個數。

4. 在右圖所示的圖案中，黑白兩色的直角三角形都全等．將它作為一個游戲盤，游戲規則是：按一定距離向盤中投鏢一次，扎在黑色區域為甲勝，扎在白色區域為乙勝．你認為這個游戲公平嗎？為什么？

5. 在口袋里有4顆糖，其中2顆是草莓口味的，1顆是蘋果口味的，1顆是薄荷口味的．

（1）從中同時取出兩顆，共有多少種等可能的結果？

    （2）從中取出一顆，放回攪勻后再取一顆，共有多少種等可能的結果？

（3）比較在（1）（2）兩種不同的取法中，“取出的兩顆糖口味一樣”的概率．

6．一個盒子中裝有四張完全相同的卡片，分別寫著，，和，盒子外有兩張卡片，分別寫著和．現隨機從盒內取出一張卡片，與盒子外的兩張卡片放在一起，以卡片上的數量分別作為三條線段的長度，解答下列問題：

（1）求這三條線段能構成三角形的概率；   

（2）求這三條線段能構成等腰三角形的概率．

7．（構造概率模型解題）設，求證：.

8. 證明范德蒙（Vandermonde）恒等式：

.

9. 某農科所培育出兩種雜交水稻品種進行試驗種植，在相同的條件下各種種植10畝。收獲情況如下：

A品種

畝產量（kg）

750

780

800

840

880

畝數

2.5

1.5

2

2.5

1.5

B品種

畝產量（kg）

760

780

800

820

850

畝數

2

2

3

2

1

試評價兩種水稻品種產量的優劣狀況。

10. 某電路中有紅燈、綠燈各一只，當開關閉合后，便有紅燈和綠燈閃動，并且每次有且僅有一只燈亮，設第一次出現紅燈和綠燈的概率相等，從第二次起，前次出現紅燈后接著出現紅燈的概率是，前次出現綠燈后接著出現紅燈的概率是．求：

   （Ⅰ）第二次出現紅燈的概率；

   （Ⅱ）三次發光，紅燈出現一次，綠燈出現兩次的概率．

11. 從10個元件中（其中4個相同的甲品牌元件和6個相同的乙品牌元件）隨機選出3個參加某種性能測試. 每個甲品牌元件能通過測試的概率均為，每個乙品牌元件能通過測試的概率均為.試求：

（I）選出的3個元件中，至少有一個甲品牌元件的概率；

（II）若選出的三個元件均為乙品牌元件，現對它們進行性能測試，求至少有兩個乙品牌元件同時通過測試的概率.

12. 獵人在距100米處射擊一野兔，其命中率為，如果第一次射擊未中，則獵人進行第二次射擊，但距離為150米，如果第二次未擊中，則獵人進行第三次射擊，并且在發射瞬間距離為200米，已知獵人命中概率與距離平方成反比，求獵人命中野兔的概率。

13. 設有n個人，每個人都等可能地被分配到N個房間中的任意一間去�。╪≤N）,求下列事件的概率

（1）指定的n個房間各有一個人住

（2）恰好有n個房間，其中各住一人

14. 已知某種高炮在它控制的區域內擊中敵機制概率為0.2

（1）假定有5門這種高炮控制某區域，求敵機進入該區域后被擊中的概率。

（2）要使敵機一旦進入這個區域后有0.9以上的概率被擊中，需至少布置幾門高炮？

15. 某數學家有兩盒火柴，每盒都有n根火柴，每次用火柴時，他在兩盒中任取一盒并從中任取出一根，求他發現用完一盒時，另一盒還有r根（1≤r≤n）的概率。

16. 基本系統是由四個整流二極管（串、并）聯而成，已知每個二極管的可靠度為0.8（即正常工作），若要求系統的可靠度0.85，請你設計二極管的聯結方式。

17. 甲、乙兩人約定在6時到7時之間在某處會面，并約定先到者應等候另一人一刻鐘，過時即刻離去，求兩人會面的概率。

18. 某商場為了吸引顧客，設置了兩種促銷方式．一種方式是：讓顧客通過轉轉盤獲得購物券．規定顧客每購買100元的商品，就能獲得一次轉轉盤的機會，如果轉盤停止后，指針正好對準100元、50元、20元的相應區域，那么顧客就可以分別獲得100元、50元、20元購物券，憑購物券可以在該商場繼續購物；如果指針對準其它區域，那么就不能獲得購物券．另一種方式是：不轉轉盤，顧客每購買100元的商品，可直接獲得10元購物券．據統計，一天中共有1000人次選擇了轉轉盤的方式，其中指針落在100元、50元、20元的次數分別為50次、100次、200次．

（1）指針落在不獲獎區域的概率約是多少？

（2）通過計算說明選擇哪種方式更合算？

19. 某中學高一年級有6個班，要從中選出2個班代表學校參加某項活動，高一（1）班必須參加，另外再從高一（2）班至七（6）班選出1個班．高一（4）班有學生建議用如下的方法：從裝有編號為1、2、3的三個白球袋中摸出一個球，再從裝有編號為1、2、3的三個紅球袋中摸出1個球（兩袋中球的大小、形狀與質量完全一樣），摸出的兩個球上的數字和是幾，就選幾班，你認為這種方法公平嗎？請說明理由．

20. 某商場2009年2月搞“真情回報社會”的幸運抽獎活動，共設五個獎金等級，最高獎金每份1萬元，平均獎金180元，下面是獎金的分配表：

資金等級

一等獎

二等獎

三等獎

四等獎

五等獎

資金額（元）

10000

5000

1000

50

10

中獎人數

3

8

89

300

600

一名顧客抽到一張獎券，獎金數為10元，她調查了周圍不少正在兌獎的其他顧客，很少有超過50元的，她氣憤地去找商場的領導論理，領導解釋說這不存在什么欺騙，平均獎金確實是180元．你認為商場所說的平均獎金是否欺騙了顧客？此種說法是否能夠很好地反映中獎的一般金額？用你所學的統計與概率的有關知識做簡要分析說明．以后遇到類似抽獎活動的問題，你會更關心什么？

21. 抽樣本檢查是產品檢查的常用方法.分為返回抽樣和不返回抽樣兩種具體操作方案.現有100只外型相同的電路板，其中有40只A類版后60只B類板.問在下列兩種情況中“從100只抽出3只，3只都是B類”的概率是多少？

（1）每次取出一只，測試后放回，然后再隨機抽取下一只（稱為返回抽樣）；

（2）每次取出一只，測試后不放回，在其余的電路板中，隨意取下一只（稱為不返回抽樣）．

22. 某射手在一次射擊訓練中，射中10環、9環、8環、7環的概率分別為0. 21、0.23、0.25、0.28，計算這個射手在一次射擊中：

（1）射中 10 環或 7 環的概率；

（2）不夠7環的概率．

23. 如圖，用A，B，C三類不同的元件連接成兩個系統N_l，N₂，當元件A，B，C 都正常工作時，系統N₁正常工作；當元件A正常工作且元件B，C中至少有一個正常工作時，系統N₂正常工作．已知元件A，B，C正常工作的概率依次是0.80，0.90，0.90．試分別求出系統N_l，N₂正常工作的概率P₁，P₁．

24. 某城市518路公共汽車的準時到站率為90%，某人在5次乘坐這班車中，這班公共汽車恰好有4次準時到站的概率是多少？

25. 某公交公司對某線路客源情況統計顯示，公交車從每個�？奎c出發后，乘客人數及頻率如下表：

人數

0~6

7~12

13~18

19~24

25~30

31人以上

頻率

0.1

0.15

0.25

0.20

0.20

0.1

（1）從每個�？奎c出發后，乘客人數不超過24人的概率約是多少？

（2）全線途經10個�？奎c，若有2個以上（含2個），乘客人數超過18人的概率大于0.9，公交公司就要考慮在該線路增加一個班次，請問該線路需要增加班次嗎？

26. 排球比賽的規則是5局3勝制，A、B兩隊每局比賽獲勝的概率都相等且分別為和．

（1）前2局中B隊以2∶0領先，求最后A、B隊各自獲勝的概率；

（2）B隊以3∶2獲勝的概率．

27. 北京08奧運會吉祥物是“貝貝、晶晶、歡歡、迎迎、妮妮”.現將三張分別印有“歡歡、迎迎、妮妮”這三個吉祥物圖案的卡片(卡片的形狀大小一樣，質地相同)放入盒子．

(1)小玲從盒子中任取一張,取到卡片歡歡的概率是多少?

     (2)小玲從盒子中取出一張卡片,記下名字后放回,再從盒子中取出第二張卡片,記下名字.列出小玲取到的卡片的所有可能情況,并求出兩次都取到卡片歡歡的概率．

28. 袋中有5個白球，3個黑球，從中任意摸出4個，求下列事件發生的概率：

(1)摸出2個或3個白球；(2)至少摸出1個白球；(3)至少摸出1個黑球.

29. 盒中有6只燈泡，其中2只次品，4只正品，有放回地從中任取兩次，每次取一只，試求下列事件的概率：

(1)取到的2只都是次品；

(2)取到的2只中正品、次品各一只；

(3)取到的2只中至少有一只正品.

30. 從男女學生共有36名的班級中，任意選出2名委員，任何人都有同樣的當選機會.如果選得同性委員的概率等于，求男女生相差幾名?

答案：

1. 解：（1）三輛車開來的先后順序有6種可能：

（上、中、下）、（上、下、中）、（中、上、下）、（中、下、上）、（下、中、上）、（下、上、中）．

（2）由于不知道任何信息，所以只能假定6種順序出現的可能性相同．我們來研究在各種可能性的順序之下，甲、乙二人分別會上哪一輛汽車：

順　　序

甲

乙

上、中、下

上

下

上、下、中

上

中

中、上、下

中

上

中、下、上

中

上

下、上、中

下

上

下、中、上

下

中

于是不難得出，甲乘上、中、下三輛車的概率都是；而乙乘上等車的概率是，乘中等車的概率是，乘下等車的概率是．

乙采取的方案乘坐上等車的可能性大．

2. 解：（１）不公平．

　　　　因為拋兩枚硬幣，所有機會均等的結果為：

　　　　正正，正反，反正，反反．

　　　　所以出現兩個正面的概率為，

　　　　出現一正一反的概率為．

　　　　因為二者概率不等，所以游戲不公平．

　　　　（２）游戲規則一：若出現兩個相同面，則甲贏；若出現一正一反（一反一正），則乙贏．

　　游戲規則二：若出現兩個正面，則甲贏；若出現兩個反面，則乙贏；若出現一正一反，則甲、乙都不贏．

3. 解法一：設口袋中有個白球，

由題意，得，

解得．

答：口袋中大約有30個白球．

注：這里解分式方程是同解變形，可不檢驗，因而不給分．

解法二：（50次摸到紅球）＝，

．．

答：口袋中大約有30個白球．

4. 答：這個游戲是公平的．

　　因為黑白兩色的直角三角形都全等，且個數也分別相等，

　　所以黑白兩色直角三角形面積的和也分別相等．

　　又因為黑白兩色的弓形的弦長都是直角三角形的斜邊，

　　所以黑白兩色弓形面積的和也分別相等．

　　因此黑白兩色區域面積各占圓面積的50％，

　　即鏢扎在黑白兩色區域面積的概率均為50%，

　　故此游戲公平．

5.（1）共有12種等可能的結果，樹狀圖略．（2）共有16種等可能的結果，可由列表法得出（3）在（1）（2）兩種不同取法中，“取出的兩顆糖口味一樣”的概率分別為、

6．解：由已知得：共組成4組邊，即2,3,5；3,3,5；3,4,5；3,5,5，……………………2分

（1）依題意，3,3,5；3,4,5；3,5,5，有3組能構成三角形, ???????????????????? 4分

∴??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分

（2）依題意,3,3,5和5,3,5兩組能構成等腰三角形??????????????????????????????????? 8分

∴

7. 證明：設A、B、C三個相互獨立的事件，且，，，

由概率的性質及加法公式得：

∴  .

8. 證明：從裝有n個白球，m個黑球的袋子里，隨機摸出k個（kㄑmin（n，m））球來，設A­_r表示摸到r個（0ㄑrㄑk）白球的事件，則根據古典概率的含義得：

，（r=0，1，2，…，k）

∵ 事件A₀+A₁+…+A_k是必然事件，并且A₀、A₁、…、A_k­­之間是互不相容的

∴

∴

∴ .

9. 解：設A、B兩種水稻的畝產量分別是、，則

隨機變量的概率分布為：

750

780

800

840

880

0.25

0.15

0.2

0.25

0.15

隨機變量的概率分布為：

760

780

800

820

850

0.2

0.2

0.3

0.2

0.1

∴ E=750×0.25+780×0.15+800×0.2+840×0.25+880×0.15=806.5，

E=760×0.2+780×0.2+800×0.3+820×0.2+850×0.1=797.0；

D= （750－806.5）²_­­×0.25+（780－806.5）²_­­×0.15+（800－806.5）²_­­×0.2+（840－806.5）²_­­×0.25+（880－806.5）²_­­×0.15=2002.7，

D= （760－797.0）²_­­×0.2+（780－797.0）²_­­×0.2+（800－797.0）²_­­×0.3+（820－797.0）²_­­×0.2+（850－797.0）²_­­×0.1=721.0.

可見， A品種水稻畝產量的數學期望值雖然略高于B品種水稻，但是B品種水稻的畝產量方差遠大于A品種水稻的畝產量方差。

∴ B品種水稻的畝產量較為穩定，種植風險小。

10. 解：（Ⅰ）隨機選出的3個元件中，至少有一個甲品牌元件的概率為

            1－；

（Ⅱ）至少有兩個乙品牌元件同時通過測試的概率為

            =；

11. 解：由于第一次出現紅燈和綠燈的概率相等，由等可能事件的概率知，第一次出現紅燈和綠燈的概率均為，由對立事件的概率可知，從第二次起，前次出現紅燈后接著出現紅燈的概率是，則接著出現綠燈的概率是；前次出現綠燈后接著出現紅燈的概率是，則接著出現綠燈的概率是．             

  　  （Ⅰ）；              

     （Ⅱ）．

12. 解：記三次射擊為事件A、B、C其中P（A）=

   由= P（A）=

   ∴ P（B）=     P（C）= 

   ∴命中野兔的概率為：P（A）+P（?B）+ P（??C）=

13. 解：∵每個人有N個房間可供選擇，所以n個人住的方式共有 Nⁿ 種，它們是等可能的，    ∴（1）指定n個房間各有一個人住記作事件A：可能的總數為n！則 P（A）=

（2）恰好有n個房間其中各住一人記作事件B，則這n個房間從N個房間中任選共有  個, 由（1）可知：P（B）=

14. 解：（1）設敵機被第k門高炮擊中的事件為A_k（k=1、2、3、4、5）那么5門高炮都未擊中敵機的事件為???? 

 ∵ A_i  是相互獨立事件        ∴ 敵機擊被擊中的概率為：

P（????）

= P（）?P（）?P （）?P（）?P（）

= (1?0.2)⁵ =        ∴ P = 1－

(2)設至少需要n門高炮使敵機有0.9以上的概率被擊中，則：

    1?> 0.9         解得：n > 10.3  

   ∵ n∈N₊              ∴ 至少需要11門高炮才能有0.9以上的概率擊中敵機。

15. 解：由題意數學家共用了2n?r根火柴，其中n根取自一盒，n?r根取自另一盒，于是此問題可等價轉化為：“2n?r個不同的球，放入兩個盒子，求甲盒放n個，乙盒放n?r的概率”，記作事件A，因每個球放入兩個盒子共有2種放法

∴2n?r個球的所有等可能結果為，甲盒放入n個球的可能結果為

∴P（A）=

16. 解：設系統可靠性為P

（1）若全并聯，則P = 1?0.2⁴=0.9984 > 0.85

（2）若兩個兩個串聯后再并聯，則P = (1?0.8²)² = 0.8704 > 0.85

（3）兩個兩個并聯后再串聯，則P = (1?0.2²)² = 0.9216 > 0.85

（4）三個串聯與第四個并聯，則1?0.2（1?0.8³）= 0.9024 > 0.85

    ∴設計如下 →             →        →                   →

       →                           →    →                         →

17. 解：設x、y分別為甲乙兩人到達約會地點的時間，若兩個人能會面，則| x?y |≤15

如 圖：

則（x、y）的所有可能結果是邊長為60的正方形

內的所有點的集合，由等可能事件的概率求法可知：

  P（A）=

18. 解：（1）（不獲獎）=（或65%）   　　　

   （2）轉轉盤的平均收益為：

轉轉盤的方式更合算

19. 解：方法不公平．

　　　說理方法一：用表格來說明，

1

2

3

1

(1，1)(2)

(1，2)(3)

(1，3)(4)

2

(2，1)(3)

(2，2)(4)

(2，3)(5)

3

(3，1)(4)

(3，2)(5)

(3，3)(6)

　　　所以，七（2）班被選中的概率為，七（3）班被選中的概率為，七（4）班被選中的概率為，七（5）班被選中的概率為，七（6）班被選中的概率為，

　　所以，這種方法不公平．

20. 解：由題意可知：

　 　　（元）

　　所以，商場領導的解釋不存在欺騙．

　　但是，中小獎（不超過50元）的概率為

　　或中大獎（不低于1000元）的概率為

　　中獎金額的眾數為10，中位數為10（不說中位數不扣分）．

　　所以以上說法不能反映中獎的一般金額，因此在以后此類活動中應注重中大（或小）獎的概率的大小，注意觀察眾數和中位數是多少．

21. 解 （1）設“從100只中抽去3只，3只都是B類”為事件M，先求基本事件總數，由于每次抽去一只，測試后又放回，故每次都是從100只電路板中任取一只，這是重復排列，共有

個.再求M所包含的基本事件數，由于每次抽出后又放回，故是重復排列，共有 個，所以．

（2）由于取出后不放回，所以總的基本事件數為個，事件M的基本事件數為，所以 ．

22. 解 （1）記“射擊10環”為事件A，記“射中7環”為事件B，由于在一次射擊中，A與B不可能同時發生，故A，B是互斥事件.∴P(A + B)＝P(A) + P(B)＝0.21 + 0.28＝0.49.

（2）記“不夠 7 環”為事件C.∴P（）＝ 0.21 + 0.23 + 0.25 + 0.28＝0.97， 從而 P(C）＝1一P（）＝ 1一0.97＝0.03．

23. 解  分別記元件A，B，C正常工作的事件為A，B，C，由已知P(A)＝0.80，P(B)＝0.90，P(C)＝0.90．∵事件A，B，C互相獨立，∴N₁正常工作的概率為＝0.8×0.9×0.9＝0.648．N₂正常工作的概率為＝0.8×（1－（1－0.9）（1－0.9））＝0.792．

24. 解  5次乘坐518次公共汽車，只有“車準時到站”和“車不準時到站”兩種情況發生，而且每次車是否準時到站與另一次無關，因此5次乘車恰有4次準時到站的事件可看作5次獨立重復試驗中“車準時到站”事件恰好發生4次，故概率為．

25. 解 （1）每個�？奎c出發后，乘客人數不超過24人的概率約為0.1+0.15+0.25+0.2=0.7．

    （2）從每個停靠點出發后，乘客人數超過18人的概率為0.20+0.20+0.1=0.5，途經10個�？奎c，沒有一個�？奎c出發后，乘客人數超過18人的概率為，途經 10個停靠點，只有一個停靠點出發后，乘客人數超過18人的概率 ．

所以，途經10個�？奎c，有2個以上（含2個）停靠點出發后，乘客人數超過18人的概率

P=1－－C（）（1－）⁹=1－=．∴該線路需要增加班次．

答：（1）每個停靠點出發后，乘客人數不超過24人的概率約為0.7；(2) 該線路需要增加班次．

26. 解 （1）設最后A獲勝的概率為P₁，最后B獲勝的概率為P₂．

∴P₁=C()³=，P₂=+×+××= （或P₂=1- P₁=）．

（2）設B隊以3∶2獲勝的概率為P₃．∴P₃= C()³ ()² = ．

27. 解析:（１）；（２）列出所有可能情況：易知兩次都取到歡歡的概率為．

28. 解：從8個球中任意摸出4個共有種不同的結果.記從8個球中任取4個，其中恰有1個白球為事件A₁，恰有2個白球為事件A₂，3個白球為事件A₃，4個白球為事件A₄，恰有i個黑球為事件B_ｉ，則

(1)摸出2個或3個白球的概率

P₁＝Ｐ（A₂＋A₃）＝Ｐ（A₂）＋Ｐ（A₃）

(2)至少摸出1個白球的概率

P₂＝1－Ｐ（B₄）＝1－0＝1

(3)至少摸出1個黑球的概率

Ｐ₃＝1－Ｐ（A₄）＝1－

29. 解：從6只燈泡中有放回地任取兩只，共有6²＝36種不同取法.

(1)取到的2只都是次品情況為2²＝4種.因而所求概率為.

(2)由于取到的2只中正品、次品各一只有兩種可能：第一次取到正品，第二次取到次品；及第一次取到次品，第二次取到正品.因而所求概率為

P=

(3)由于“取到的兩只中至少有一只正品”是事件“取到的兩只都是次品”的對立事件.因而所求概率為

P=1-