2009屆高考數學快速提升成績題型訓練――數列求通項公式

1. 設數列{a_n}的前項的和S_n=（a_n-1） (n)．

(Ⅰ)求a₁；a₂；

  (Ⅱ)求證數列{a_n}為等比數列．

2  已知數列{a_n}的前n項和S_n滿足：S_n=2a_n +(-1)ⁿ,n≥1．

（Ⅰ）寫出求數列{a_n}的前3項a₁,a₂,a₃；

（Ⅱ）求數列{a_n}的通項公式；

（Ⅲ）證明：對任意的整數m>4，有.

3. 已知二次函數的圖像經過坐標原點，其導函數為，數列的前n項和為，點均在函數的圖像上．

（Ⅰ）求數列的通項公式；

（Ⅱ）設，是數列的前n項和，求使得對所有都成立的最小正整數m．

4. 若數列滿足：．

求證：①；  ②是偶數 ．

5. 已知數列，且,    其中k=1,2,3,…….

（I）                   求；

（II）求{ a_n}的通項公式.

6. 設是常數，且，（）．

證明：．

7. 已知數列的前n項和S_n滿足

(Ⅰ)寫出數列的前3項      

(Ⅱ)求數列的通項公式．

8. 已知數列滿足，，求數列的通項公式。

9. 已知數列滿足，求數列的通項公式。

10. 已知數列滿足，求數列的通項公式。

11. 已知數列滿足，求數列的通項公式。

12. 已知數列滿足，求數列的通項公式。

13. 已知數列滿足，則的通項

14. 已知數列滿足，求數列的通項公式。

15. 已知數列滿足，求數列的通項公式。

16. 已知數列滿足，求數列的通項公式。

17. 已知數列滿足，，求數列的通項公式。

18. 已知數列滿足，求數列的通項公式。

19. 已知數列滿足，求數列的通項公式。

20. 已知數列滿足，求數列的通項公式。

21. 已知數列滿足，求數列的通項公式。

22. 已知數列滿足，求數列的通項公式。

23. 已知數列滿足，求。

24. 已知數列滿足，求。

25. 已知數列中，，求。

答案：

1. 解: (Ⅰ)由,得 ∴ 又,即,得.

    (Ⅱ)當n>1時,

    得所以是首項,公比為的等比數列．

2. 解：⑴當n=1時,有：S₁=a₁=2a₁+(-1) a₁=1；

當n=2時,有：S₂=a₁+a₂=2a₂+(-1)²a₂=0；

當n=3時,有：S₃=a₁+a₂+a₃=2a₃+(-1)³a₃=2；

綜上可知a₁=1,a₂=0,a₃=2；

⑵由已知得：

化簡得：

上式可化為：

故數列{}是以為首項, 公比為2的等比數列.

故    ∴

數列{}的通項公式為：.

⑶由已知得：

.

故( m>4).

3. 解：（Ⅰ）設這二次函數f(x)＝ax²+bx (a≠0) ,則 f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x－2,得

a=3 ,  b=－2, 所以  f(x)＝3x²－2x.

又因為點均在函數的圖像上，所以＝3n²－2n.

當n≥2時，a_n＝S_n－S_n－1＝（3n²－2n）－＝6n－5.

當n＝1時，a₁＝S₁＝3×1²－2＝6×1－5，所以，a_n＝6n－5 （）.

（2006年安徽卷）數列的前項和為，

已知．

（Ⅰ）寫出與的遞推關系式，并求關于的表達式；

（Ⅱ）設，求數列的前項和．

解：由得：，即，所以，對成立．

由，，…，相加得：，又，所以，當時，也成立．

（Ⅱ）由，得．

而，

，

．

4. 證明：由已知可得：

又=

而=

所以，而為偶數．

5. 解（Ⅰ）（略）

 (II) 

 所以 ，為差型

 故

=．

．

所以{a_n}的通項公式為：

當n為奇數時，；

當n為偶數時， ．

6. 方法（1）：構造公比為―2的等比數列，用待定系數法可知．

方法（2）：構造差型數列，即兩邊同時除以 得：，從而可以用累加的方法處理．

方法（3）：直接用迭代的方法處理：

．

7. 分析：          -①

由得             -②

由得，，得  -③

由得，，得  -④

用代得        -⑤

①―⑤：

即                    --⑥

8. 解：兩邊除以，得，則，

故數列是以為首，以為公差的等差數列，由等差數列的通項公式，得，所以數列的通項公式為。

9. 解：由

得

則

所以數列的通項公式為

10. 解：由

得

則

所以

11. 解：兩邊除以，得

，

則，

故

因此，

則

12. 解：因為，所以，則，

則

所以數列的通項公式為

13. 解：因為              ①

所以            ②

所以②式－①式得

則

則

所以

          ③

由，取n=2得，則，又知，則，代入③得

。

14. 解：設        ④

將代入④式，得，等式兩邊消去，得，兩邊除以，得，則x=－1，代入④式，

得            ⑤

由≠0及⑤式，得，則，則數列是以為首項，以2為公比的等比數列，則