2009屆高考數學快速提升成績題型訓練――圓錐曲線

1. 已知常數m > 0 ，向量a = (0, 1)，向量b = (m, 0)，經過點A(m, 0)，以λa+b為方向向量的直線與經過點B(- m, 0)，以λb- 4a為方向向量的直線交于點P，其中λ∈R．

(1) 求點P的軌跡E；　w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

(2) 若，F(4, 0)，問是否存在實數k使得以Q(k, 0)為圓心，|QF|為半徑的圓與軌跡E交于M、N兩點，并且|MF| + |NF| =．若存在求出k的值；若不存在，試說明理由．

2 雙曲線的實半軸與虛半軸長的積為，它的兩焦點分別為F₁、F₂，直線過F₂且與直線F₁F₂的夾角為，且，與線段F₁F₂的垂直平分線的交點為P，線段PF₂與雙曲線的交點為Q，且，建立適當的坐標系，求雙曲線的方程.

3. 在直角坐標平面上，O為原點，M為動點，. 過點M作MM₁⊥y軸于M₁，過N作NN₁⊥x軸于點N₁，. 記點T的軌跡為曲線C，點A（5，0）、B（1，0），過點A作直線l交曲線C于兩個不同的點P、Q（點Q在A與P之間）.

   （1）求曲線C的方程；

   （2）證明不存在直線l，使得|BP|=|BQ|；

   （3）過點P作y軸的平行線與曲線C的另一交點為S，若，證明

4. 已知離心率為的雙曲線C的中心在坐標原點，左、右焦點F₁、F₂在軸上，雙曲線C的右支上一點A使且的面積為1。

（1）    求雙曲線C的標準方程；

（2）    若直線與雙曲線C相交于E、F兩點（E、F不是左右頂點），且以EF為直徑的圓過雙曲線C的右頂點D。求證：直線過定點，并求出該定點的坐標。

5.求與雙曲線有公共漸進線，且經過點的雙曲線的方程。

6、已知分別是雙曲線的左右焦點，是雙曲線上的一點，且=120，求的面積

7、證明：雙曲線上任意一點到兩條漸進線的距離的乘積是一個定值

8、已知半圓的直徑為，點在半圓上，雙曲線以為焦點，且過點。若，求雙曲線的方程。

9. 已知圓：x²+y²=c²(c＞0),把圓上的各點縱坐標不變，橫坐標伸長到原來的倍得一橢圓。

⑴求橢圓方程,并證明橢圓離心率是與c無關的常數；

⑵設圓與x軸交點為P，過點P的直線l與圓的另一交點為Q，直線l與橢圓的兩交點為M、N，且滿足，求直線l的傾斜角。

10. 已知點（x,y）在橢圓C：（a＞b＞0）上運動

⑴求點的軌跡C^′方程；

⑵若把軌跡C^′的方程表達式記為：y=f(x)，且在內y=f(x)有最大值，試求橢圓C的離心率的取值范圍。

11. 已知過橢圓右焦點且斜率為1的直線交橢圓于、兩點，為弦的中點；又函數的圖像的一條對稱軸的方程是。

（1）    求橢圓的離心率與;

（2）    對于任意一點,試證:總存在角使等式: 成立.

12. 已知圓k過定點A(a,0)(a＞0),圓心k在拋物線C：y²=2ax上運動，MN為圓k在y軸上截得的弦.

(1)試問MN的長是否隨圓心k的運動而變化？

(2)當|OA|是|OM|與|ON|的等差中項時，拋物線C的準線與圓k有怎樣的位置關系？

13. 如圖，已知橢圓=1(2≤m≤5),過其左焦點且斜率為1的直線與橢圓及其準線的交點從左到右的順序為A、B、C、D，設f(m)=||AB|－|CD||

(1)求f(m)的解析式；

(2)求f(m)的最值.

14. 已知雙曲線C的中心在原點，焦點在x軸上，右準線為一條漸近線的方程是過雙曲線C的右焦點F₂的一條弦交雙曲線右支于P、Q兩點，R是弦PQ的中點.

   （1）求雙曲線C的方程；

   （2）若在l的左側能作出直線m:x=a，使點R在直線m上的射影S滿足，當點P在曲線C上運動時，求a的取值范圍.

15. 設分別是橢圓的左，右焦點。

（Ⅰ）若是第一象限內該橢圓上的一點，且，

求點的坐標。

（Ⅱ）設過定點的直線與橢圓交于不同的兩點，且為銳角（其中O為坐標原點），求直線的斜率的取值范圍。

16. 拋物線C的方程為，作斜率為的兩條直線，分別交拋物線C于A兩點（P、A、B三點互不相同），且滿足

   （1）求拋物線C的焦點坐標和準線方程；

   （2）設直線AB上一點M滿足證明：線段PM的中點在y軸上；

   （3）當時，若點P的坐標為（1，―1），求∠PAB為鈍角時，點A的縱坐標的取

值范圍.

17. 如圖，已知點F（1，0），直線為平面上的動點，過P作直線l的垂線，垂足為點Q，若

   （1）求動點P的軌跡C的方程；

   （2）過點M（－1，0）作直線m交軌跡C于A，B兩點。

（Ⅰ）記直線FA，FB的斜率分別為k₁,k₂，求k₁+k₂

的值；

（Ⅱ）若線段AB上點R滿足求證：

RF⊥MF。

18. 已知橢圓C的中心為坐標原點，F₁、F₂分別為它的左、右焦點，直

線x=4為它的一條準線，又知橢圓C上存在點M使

   （1）求橢圓C的方程；

   （2）若PQ為過橢圓焦點F₂的弦，且內切圓面積最大時實數的值.

19. 已知橢圓，通徑長為1，且焦點與短軸兩端點構成等邊三角形.

   （1）求橢圓的方程；

   （2）過點Q（－1，0）的直線l交橢圓于A，B兩點，交直線x=－4于點E，點Q分 所成比為λ，點E分所成比為μ，求證λ+μ為定值，并計算出該定值.

20. 已知⊙M：軸上的動點，QA，QB分別切⊙M于A，B兩點，（1）如果，求直線MQ的方程；

      （2）求動弦AB的中點P的軌跡方程.

答案：

1. 解　(1) ∵λa+b = ( m,λ)，∴ 直線AP方程為；…………………………①

又λb - 4a =(λm, - 4), ∴ 直線NP方程為；…………………………②

由①、②消去λ得 ，即 ．

故當m = 2時，軌跡E是以(0, 0)為圓心，以2為半徑的圓：x² + y² = 4；

當m > 2時，軌跡E是以原點為中心，以為焦點的橢圓：

當0 < m <2時，軌跡E是以中心為原點，焦點為的橢圓．

(2)　假設存在實數k滿足要求，此時有圓Q：(x- k)² + y² = (4- k)² ;

橢圓E：；其右焦點為F(4 , 0 )，且．

由圓Q與橢圓E的方程聯立得2y²- 5kx + 20k- 30 = 0,

設M(x₁, y₁), N(x₂, y₂),  則有， ………………………………………………③

△=25k²- 4×2(20k- 30)，

又 |MF| =, |NF| =, 而；

∴ +,

由此可得　，……………………………………………………………………④

由③、④得k = 1，且此時△＞0．故存在實數k = 1滿足要求．

2. 解  以F₁F₂的中點為原點，F₁、F₂所在直線為x軸建立坐標系，則所求雙曲線方程為（a>0，b>0），設F₂（c，0），不妨設的方程為，它與y軸交點，由定比分點坐標公式，得Q點的坐標為，由點Q在雙曲線上可得，又，

∴，，∴雙曲線方程為.

3. （1）設點T的坐標為，點M的坐標為，則M₁的坐標為（0，），

      ，于是點N的坐標為，N₁的坐標

      為，所以

      由

      由此得

      由

      即所求的方程表示的曲線C是橢圓. ……………………3分

   （2）點A（5，0）在曲線C即橢圓的外部，當直線l的斜率不存在時，直線l與橢圓C

      無交點，所以直線l斜率存在，并設為k. 直線l的方程為

      由方程組

      依題意

      當時，設交點PQ的中點為，

      則

      又

      而不可能成立，所以不存在直線l，使得|BP|=|BQ|.…………7分

   （3）由題意有，則有方程組

        由（1）得  （5）

      將（2），（5）代入（3）有

      整理并將（4）代入得，

      易知

      因為B（1，0），S，故，所以

4. 解： （1）由題意設雙曲線的標準方程為，由已知得：解得

∵且的面積為1

∴,

∴

∴

∴雙曲線C的標準方程為。

（2）設，聯立得

顯然否則直線與雙曲線C只有一個交點。

即

則

又

∵以EF為直徑的圓過雙曲線C的右頂點D(2,0)

∴即

∴

∴

化簡整理得

∴ ，且均滿足

當時，直線的方程為，直線過定點（2，0），與已知矛盾！

當時，直線的方程為，直線過定點（，0）

∴直線定點，定點坐標為（，0）。

5.求與雙曲線有公共漸進線，且經過點的雙曲線的方程。

解：設雙曲線的方程為

在雙曲線上

 得

所以雙曲線方程為

6、已知分別是雙曲線的左右焦點，是雙曲線上的一點，且=120，求的面積

解：雙曲線可化為

設

由題意可得

即

所以

7、證明：雙曲線上任意一點到兩條漸進線的距離的乘積是一個定值

解：設雙曲線的方程為  所以漸近線方程為

到的距離  到的距離

*

又在雙曲線上 所以 即

故*可化為

8、已知半圓的直徑為，點在半圓上，雙曲線以為焦點，且過點。若，求雙曲線的方程。

解：在半圓上

在圓上  即 

又

可得

所以雙曲線方程為

9. 解：⑴設R(x,y)是圓：x²＋y²=c²上任一點，則S（x,y）在所求橢圓上的點，設S(u,v),有u=x,v=y即x=,y=v代入圓的方程得：故所求的橢圓方程為：橢圓的長半軸的長為c，半焦距為c,故離心率e=與c無關。

⑵設直線l的方程為：x=－c＋tcos