湖南省衡陽市祁東縣育賢中學高三文科數學試題（2007年1月）

湖南省衡陽市祁東縣育賢中學   高明生  彭鐵軍 郵政編碼：421600

本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。第Ⅰ卷1至10小題，第Ⅱ卷11至21題。全卷共150分。考試用時120分鐘。

第Ⅰ卷（選擇題  共50分）

一、選擇題:本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、設x，y，z是空間不同的直線或平面，對于下列四種情形，使“x⊥z且y⊥zx//y”為真命題的是（      ）                                                             ①x，y，z均為直線；   ②x，y是直線，z是平面  

    ③z是直線，x，y是平面；            ④x，y，z均為平面.

    A．①，②         B．①，③         C．③，④         D．②，③

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2、命題的充要條件；命題若的解集為，

那么（   ）

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A、“P或”為假  B、“P且”為真   C、“P且?”為真   D、“?P且”為真

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3、將棱長相等的正方體按右圖所示的形狀擺放，從上往下依次為第1層，第2層，第3層，…，則第6層正方體的個數是（    ）

A．28  B．21  

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C．15   D．11．

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4、已知則下列結論中正確的是（    ）

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A、函數的周期為；

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B、函數的最大值為1；

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C、將的圖象向左平移單位后得的圖象；

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D、將的圖象向右平移單位后得的圖象；

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5、已知，，若BA，則實數的取值范圍是（    ）

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A、    B、    C、   D、

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6、設函數定義在實數集上，則函數與的圖象關于（  ）

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A、直線對稱  B、直線對稱  C、直線對稱  D、直線對稱

 

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7、過點A(4，a)和點B(5，b)的直線與直線y=x+m平行，則|AB|的值為（  ）

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 A．6     B．      C．2       D．不能確定

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8、 函數=(0<a<b<c)的圖象關于（   ）對稱

A、x軸     B、y軸       C、原點         D、直線y=x    

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9、直線x+ay+1=0與直線(a+1)x-by+3=0互相垂直，a,b∈R，則|ab|的最小值是（    ）

 A．5              B.4            C.2                  D.1  

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10、若都是定義在實數集R上的函數，且方程有實數解，則不可能是（    ）

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A、   B、   C、    D、

第Ⅱ卷（非選擇題   共100分）

注意事項：

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第Ⅱ卷用0.5毫米黑色的簽字筆或黑色墨水鋼筆直接答在答題卡上。答在試題卷上無效。

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二、填空題：本大題共5小題，每小題4分，(第15小題每空2分)共20分，把答案填在答題卡相應位置上。

11、2008年第29屆奧運會將在北京召開，現有三個實數的集合，既可以表示為{a，，1}，也可表示為{a2，a＋b，0}，則a2008＋b2008=               ．

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12、若點O是的外心，且，則的內角C為         度；

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13、函數 的導數為                。

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14、若曲線在點P處的切線平行于直線則點P的坐標為         ；

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的數表，若表中每行的7個數自左至右依次都成等差

數列，每列的7個數自上而下依次也都成等差數列，

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且正中間的數a=1，則表中所有數的和為_____.

 

 

 

 

 

 

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三、解答題：本大題共6小題，共80分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟

16、（本小題滿分12分）如圖所示，以向量為邊

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作平行四邊形，，

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．

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　 （１）用表示；

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（２）若，求的最大值．

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17、（本小題滿分12分）已知袋中有編號為1~9的小球各一個，它們的大小相同，從中任取三個小球.求：

(Ⅰ)恰好有一球編號是3的倍數的概率；

(Ⅱ)至少有一球編號是3的倍數的概率；

(Ⅲ)三個小球編號之和是3的倍數的概率.

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18、（本小題滿分14分）已知橢圓的中心在坐標原點O，焦點在x軸上，橢圓的短軸端點和焦點所組成的四邊形為正方形，兩準線間的距離為4.

(Ⅰ)求橢圓的方程；

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(Ⅱ)直線過點P(0,2)且與橢圓相交于A、B兩點，當ΔAOB面積取得最大值時，求直線l的方程.

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19、（本小題滿分14分）（Ⅰ）試討論方程（1－k）x2+（3－k2）y2=4（k∈R）所表示的曲線；

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（Ⅱ）設雙曲線的中心在原點，準線平行于x軸，離心率為，且點P（0，5）到此雙曲線上的點的最近距離為2，求雙曲線的方程.

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20、（本小題滿分14分）已知在棱長為1的正方體中，

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M，N，P分別為的中點。求異面直線

所成的角。

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21、（本小題滿分14分）對于函數f(x)，若存在x0∈R,使f(x0)=x0成立，則稱x0為f(x)的不動點  已知函數f(x)=ax2+(b+1)x+(b?1)(a≠0)

（1）若a=1,b=?2時，求f(x)的不動點；

（2）若對任意實數b，函數f(x)恒有兩個相異的不動點，求a的取值范圍；

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（3）在（2）的條件下，若y=f(x)圖象上A、B兩點的橫坐標是函數f(x)的不動點，且A、B關于直線y=kx+對稱，求b的最小值 

湖南省衡陽市祁東縣育賢中學高三文科數學試題（2007年1月）

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一、           選擇題：

1、答案：D

解：②表示垂直于同一平面的兩條直線互相平行；

③表示垂直于同一直線的兩個平面互相平行；

2、答案：D ；

解：，非P真；又真，所以選D；

3、答案：B ；

解：本題考查了正方體堆壘問題及數列通項公式的求解.列出該數列的前幾項,通過相鄰項間的關系可得出該數列的規律而得出一等差數列.

由圖示可得,該正方體的個數所組成的數列1,3,6,…, 其后一項減前一項得一數列2,3,4,…為一個等差數列.由此可得第6層的正方體的個數為1,3,6,10,15,21,… ,

故應選B.

4、答案：D ；

解：的圖象向右平移單位后得到：，故選D；

5、答案：B ；

解：據題意可知集合A表示函數的定義域，，易化簡得，由于BA，故當時，即時易知符合題意；當時，，要使BA，結合數軸知需或（經驗證符合題意）或（經驗證不合題意舍去），解得，故綜上所述可知滿足條件的的取值范圍是，故答案為B；

6、答案：D ；

解：由圖象變換可以得到兩個圖象間的關系，函數是由函數的圖象向右平移一個單位得到，而是由函數的圖象關于y軸對稱得到再向右平移一個單位得到，故兩函數的圖象關于直線對稱。故選D

7、答案：B ；

解：兩直線平行,則其斜率相等,利用兩點間直線的斜率公式可以得兩字母間的關系,于是可得兩點間的距離.

由題意得

所以故應選B.

8、答案：B ；

解：由于，故函數的定義域為，根據已知0<a<b<c，則易將函數解析式化簡為= ，故且其定義域關于原點對稱，即函數為偶函數，其圖象關于y軸對稱。故應選B.

9、答案：C ；

解：本題考查直線的斜率,由垂直關系得兩直線的斜率之積為,再由均值不等式轉化轉化得出不等關系式，分類討論得出的最小值.由題意,

∵兩直線互相垂直,

∴,即,

∴,則.

當時,;當時,.

綜合得的最小值為. 故應選C.

10、答案：C ；

解：由題意可知，存在，使，即，從函數定義出發，畫出映射幫助思考，從A到B再到C是由題意可得，如果繼續對C集合中的，應用法則，則會得到，從B到C再到D的映射為，即存在，使，即函數過點，即方程有解，易知在實數集R上無解故選D。

二、           填空題：

11、答案：1 ；

解：根據集合中元素的確定性，我們不難得到兩集合的元素是相同的，這樣需要列方程組分類討論，顯然復雜又煩瑣．這時若能發現0這個特殊元素，和中的a不為0的隱含信息，就能得到如下解法.由已知得＝0，及a≠0，所以b＝0，于是a2＝1，即a＝1或a＝－1，又根據集合中元素的互異性a＝1應舍去，因而a＝－1，故a2008＋b2008＝(-1) 2008＝1．

12、答案：120度；

解：依題意可知：A、O、B、C構成平形四邊形，，故的內角C為120度；

13、答案：；

解：

.

14、答案： ；

解：，設，依題意可知：，又P在曲線上，故，故點P的坐標為 ；

15、答案：49 ；

解：本題考查用取特殊值法進行驗證.由題意分析,

不妨設各個格中的數都為1, 則符合題意要求,所以表中所有數字之和為49.

三、            解答題：

16、 解:（１）因為              

，   

所以．          

（２）由即，

亦即．

故，

當且僅當時取得等號．

又．

故當時有有最大值．  

17、 解:(Ⅰ)從九個小球中任取三個共有種取法，它們是等可能的.設恰好有一球編號是3的倍數的事件為A，

則.

(Ⅱ)設至少有一球編號是3的倍數的事件為B，

則 .

（Ⅲ）設三個小球編號之和是3的倍數的事件為C，設集合, ,則取出三個小球編號之和為3的倍數的取法共有種，則.

18、解：設橢圓方程為

（Ⅰ）易得所求橢圓方程為.

（Ⅱ）解法一：由題意知直線的斜率存在，設直線的方程為

由，消去y得關于x的方程：

由直線與橢圓相交于A、B兩點，解得

又由韋達定理得原點到直線的距離.

對兩邊平方整理得：（*）∵，

整理得： 又，      從而的最大值為，此時代入方程（*）得  

所以，所求直線方程為：.

19、（Ⅰ）解：（1）3－k2>1－k>0k∈（－1，1），方程所表示的曲線是焦點在x軸上的橢圓；

（2） 1－k>3－k2>0k∈（－，－1），方程所表示的曲線是焦點在y軸上的橢圓；

（3）1－k=3－k2>0k=－1，表示的是一個圓；

（4）（1－k）（3－k2）<0k∈（－∞，－）∪（1，），表示的是雙曲線；

（5）k=1，k=－，表示的是兩條平行直線；k=，表示的圖形不存在.

（Ⅱ）解：依題意，設雙曲線的方程為－=1（a>0，b>0）.∵e==，c2=a2+b2，∴a2=4b2.

設M（x，y）為雙曲線上任一點，則|PM|2=x2+（y－5）2=b2（－1）+（y－5）2=（y－4）2+5－b2（|y|≥2b）.

①若4≥2b，則當y=4時，|PM|min2=5－b2=4，得b2=1，a2=4.從而所求雙曲線方程為－x2=1.

②若4<2b，則當y=2b時，|PM|min2=4b2－20b+25=4，得b=（舍去b=），b2=，a2=49.

從而所求雙曲線方程為－=1.

20、解：如圖，連結，由為中點，則從而.故AM和所成的角為所成的角，易證≌。所以，故所成的角為。又設AB的中點為Q，則又從而CN與AM所成的角就是（或其補角）。易求得在中，由余弦定理得，故所成的角為。

21、解  （1）當a=1,b=?2時，f(x)=x2?x?3，

由題意可知x=x2?x?3，得x1=?1,x2=3 

故當a=1,b=?2時，f(x)的兩個不動點為?1,3 

（2）∵f(x)=ax2+(b+1)x+(b?1)(a≠0)恒有兩個不動點，

∴x=ax2+(b+1)x+(b?1)，

即ax2+bx+(b?1)=0恒有兩相異實根

∴Δ=b2?4ab+4a＞0(b∈R)恒成立 

于是Δ′=(4a)2?16a＜0解得0＜a＜1

故當b∈R，f(x)恒有兩個相異的不動點時，0＜a＜1 

（3）由題意A、B兩點應在直線y=x上，設A(x1,x1),B(x2,x2)

又∵A、B關于y=kx+對稱 

∴k=?1  設AB的中點為M(x′,y′)

∵x1,x2是方程ax2+bx+(b?1)=0的兩個根 

∴x′=y′=，

又點M在直線上有，

即

∵a＞0，∴2a+≥2當且僅當2a=即a=∈(0,1)時取等號，

故b≥?，得b的最小值? 

 

作者：     湖南省衡陽市祁東縣育賢中學  高明生  彭鐵軍

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