2009屆黑龍江省大慶鐵人中學高三上學期期末考試
數學（理科）2009.01.15
滿分150分 考試時間120分鐘 命題人 郭振亮
一、選擇題（本大題共12個小題；每小題5分，共60分）
1.與集合
相等的集合是
A.
B.
C.
D.
2.
是△ABC所在平面內一點,且滿足
,
則△ABC一定是
A.等邊三角形 B.斜三角形
C.等腰直角三角形 D.直角三角形
3.已知：
均為正數，
，則使
恒成立的
的取值范圍是 （ ）
A．
B．
C．
D．
4.設
，函數
的導函數是
，
若是偶函數，則曲線
在原點處的切線方程為
A.
B. 
C. 
D. 
5.已知
，則下列不等式成立的是
A．
B．
C．
D．
6.已知
，
滿足
且目標函數
的最大值為7，最小值為１，則
�。ā 。�
Ａ．-２ �。拢病 。茫薄 。模�-１
7.函數
的圖象的大致形狀是
8.若函數
是奇函數，且在
上是增函
數，則實數
可能是
A.
B.
C.
D.
9.數列｛an｝的前n項和
, 則
是數列｛an｝為等比數列的
A 充分非必要條件 B 必要非充分條件
C充分必要條件 D 既非充分又非必要條件
10.已知直線
交于A、B兩點，O是坐標原點，向量
、
滿足
，則實數a的值是 （ ）
A．2 B．－
或－ D．2或－2
11. 
的圖象過點（2，1），則函數
的圖象一定過點
A.
B.
C.
D.
12. 設
分別是雙曲線
的左右焦點.若點P在雙曲線上,且
則
A.
B. 
C. 
D. 
二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)
13．
.
14. 數列
,
,則的通項
15．設
，則
從小到大的
順序是 .學
16．給出下列四個函數：①
；②
；
③
；④
，其中滿足：“對任意
、
,不等式
總成立”的是
。（將正確的序中與填在橫線上）
三、解答題：(本大題共6小題，共70分)
17. （本題滿分10分）
已知，若關于
的方程
無實根，求
的取值范圍
18.（本題滿分12分）
已知函數
.
(1)若
，求
的值；
(2)若
，求函數單調區間及值域.
19.(本題滿分12分）
方向向量為
的直線
過橢圓C:
的焦點以及點(0,
),橢圓C的中心關于直線的對稱點在橢圓C的右準線上,求橢圓C的方程.
20. (本題滿分12分）
已知二次函數
的圖像經過坐標原點,其導函數為
.數列
的前
項和為
，點
均在函數的圖像上.
(1)求數列的通項公式；
(2)設
,
是數列
的前項和,
求使得
對所有
都成立的最小正整數
.
21．（本題滿分12分）
已知函數
處的切線是
；
(1)求函數
的解析式及單調區間；
(2)若在
上至少存在一個
,使得
成立，求實數
的取值范圍.
22.（本題滿分14分）
已知雙曲線
的離心率
,過點
A(0,-b)和B(a,0)的直線與原點的距離為
(1)求雙曲線的方程；
(2)直線
與該雙曲線交于不同的兩點
、
,且、兩點都在以A為圓心的同一圓上,求m的取值范圍.
1．C 2．D 3．A 4．A 5．C 6．A 7．D 8．A 9．C 10.D 11.D12.B
13．2 14．
15．
16．①③④
17. 
18．解：
⑴
.
⑵在
上單調遞增，在
上單調遞減.
所以,當
時，
；當
時，
.
故
的值域為
.
19.解：⑴直線
①，
過原點垂直于
的直線方程為
②
解①②得
，
∵橢圓中心O(0，0)關于直線的對稱點在橢圓C的右準線上，
∴
，
…………………（分）
∵直線過橢圓焦點，∴該焦點坐標為(2，0)，
∴
，
故橢圓C的方程為
③…………………12分）
20.點評：本小題考查二次函數、等差數列、數列求和、不等式等基礎知識和基本的運算技能，考查分析問題的能力和推理能力。
解：（Ⅰ）設這二次函數f(x)＝ax2+bx (a≠0) ,則 f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x－2,得
a=3 , b=－2, 所以 f(x)＝3x2－2x.
又因為點
均在函數
的圖像上，所以
＝3n2－2n.
當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝（3n2－2n）－
＝6n－5.
當n＝1時，a1＝S1＝3×12－2＝6×1－5，所以，an＝6n－5 （
）
（Ⅱ）由（Ⅰ）
得知
＝
＝
，
故Tn＝
＝
＝（1－
因此，要使（1－
）<
（）成立的m,必須且僅須滿足≤，即m≥10，所以滿足要求的最小正整數m為10.
21．（1）
（2）由
令
得，增區間為
和
，
減區間為
2
+
0
－
0
+
↑
↓
↑
由表可知：當
時，
解得：
的取值范圍為
22.(1) 
（2）
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