雅禮中學2007屆高三4月質檢試題

一．選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的．

1．已知函數，，則的值為

A．                  B．5                C．                    D．3  

【解析】，故選A.

2．設全集是實數集. 與都是的子集（如圖所示）， 則陰影部分所表示的集合為

A．             B．

C．         D．

【解析】，，，根據圖形所得陰影部分即為，故選C.

3．已知物體的運動方程是（表示時間，單位：秒；表示位移，單位：米），則瞬時速度為0米每秒的時刻是

A．0秒、2秒或4秒                                     B．0秒、2秒或16秒

C．2秒、8秒或16秒                        D．0秒、4秒或8秒

【解析】函數兩邊同時對求導，得

，解得，根據導數的物理意義知選D.

4．有共同底邊的等邊三角形和所在平面互相垂直，則異面直線和所成角的余弦值為

A．               B．              C．               D．

【解析】取的中點，以為軸建立空間直角坐標系，不妨設等邊三角形的邊長為2，則，，，，

，，，故選B.

5．在等差數列中，若，則的值為

A．4                B．6                    C．8                D．10

【解析】由，

，故選C.

6．若，，則成立的一個充分不必要條件是

A．           B．               C．         D．

【解析】，故選A.

7．對于虛數，作集合，易知，中任何兩個元素相乘的積仍然在中，現規定中關于乘法的單位元：即對任意的，都有，則為

A．               B．                  C．               D．

【解析】根據題目給出的信息即知選D.

8．表示不超過的最大整數(稱為的整數部分)，則方程在上的根有

A．1個               B．3個                C．5 個            D．無窮多個

【解析】，結合函數的圖像知有三個根、0、1，故選B.

9．設圓：，直線，點，使得存在點，使(為坐標原點),則的取值范圍是

A．          B．             C．            D．

【解析】依題意可得，結合，即得，故選C.

10．平面上有相異的11個點，每兩點連成一條直線，共得48條直線，則任取其中的三個點，構成三角形的概率是

A．               B．                C．               D．

【解析】設有組共線的點，每組點數不小于3，依次記為，則有

，而，所以，當時無整數解；當時，有整數解，因此三角形數為，根據古典概率的定義有所求概率為.故選B.

二．填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分，把答案填在題中橫線上．

11．已知函數，且，那么.

【解析】，

故

12．.

【解析】

13．若橢圓的左、右焦點分別為、，線段被拋物線

的焦點分成5：3兩段，則此橢圓的離心率為.

【解析】根據題意，得，解得

14．展開式中常數項（不含x的項）的和為，則的最簡表達式是.

【解析】展開式的常數項為，也可以倒序寫成

，兩式相加即得，故

15．已知△中，過重心的直線交邊于，交邊于，設△的面積為，△的面積為，，，則（?），（?）的取值范圍是.

【解析】設，，，，因為是△的重心，故

，又，，因為與共線，所以，即，又與不共線，所以及，消去，得.

（?），故；

（?），那么

，當與重合時，，當位于中點時，

，故，故但因為與不能重合，故

三．解答題：本大題共6小題，共75分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．

16．（本題滿分12分）若函數的圖像與直線相切，并且切點的橫坐標依次成公差為的等差數列．

（Ⅰ）求m的值；

（Ⅱ）若點是圖像的對稱中心，且[0,]，求點A的坐標．

解：（Ⅰ）

                                            …（4分）

∵的圖像與相切.

∴m為的最大值或最小值.   即或              …（6分）

（Ⅱ）又因為切點的橫坐標依次成公差為的等差數列．所以最小正周期為.

又， 所以                                   …（8分）

即                                          …（9分）

令．則      ∴    …（10分）

由0≤≤得或,因此點A的坐標為、．（12分）

17．（本題滿分12分）有一個4×5×6的長方體, 它的六個面上均涂上顏色. 現將這個長方體鋸成120個1×1×1的小正方體，從這些小正方體中隨機地任取1個.

（Ⅰ）設小正方體涂上顏色的面數為，求的分布列和數學期望.

（Ⅱ）如每次從中任取一個小正方體，確定涂色的面數后，再放回，連續抽取6次，設恰好取到兩面涂有顏色的小正方體次數為. 求的數學期望. 

解：（Ⅰ）分布列

0

1

2

3

p

                               … （8分）

 E=0×+1×+2×+3×=                                    …（10分）

（Ⅱ）易知～B(6, ),  ∴ E=6×=1.8                              …（12分）

18．（本題滿分12分）如圖，等腰直角△中，，平面，∥，.

（Ⅰ）求二面角的大小；

（Ⅱ）求點到平面的距離；

（Ⅲ）證明五點在同一個球面上，并求兩點的球面距離.

解：方法一

（Ⅰ）取的中點，連結，由知，又，故，所以即為二面角的平面角.

在△中，，，，

由余弦定理有

，

所以二面角的大小是.（5分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知道平面，故平面平面，故在平面上的射影一定在直線上，所以點到平面的距離即為△的邊上的高.

故.…（10分）

（Ⅲ）易證△為直角三角形，且，取的中點，則由四邊形是矩形知，故五點在以為球心，為直徑的球面上，故兩點之間的球面距離就是半個大圓的弧長，是（12分）

 

方法二

以點為坐標原點，以過垂直于的直線為軸，以所在直線為軸，為軸建立空間直角坐標系，如圖所示.（1分）

（Ⅰ）則，，

，，設

是平面的法向量，則有

，即，取，

得，易知平面的一個法向量為，，故所求的角為.（6分）

（Ⅱ），故點到平面的距離為.（10分）

（Ⅲ）易知的中點的坐標為，故，

而，故五點在以為球心，為直徑的球面上，故兩點之間的球面距離就是半個大圓的弧長，是（12分）

19．（本題滿分12分）一艘輪船在相距1000海里的甲、乙兩地之間航行，它的耗油量與速度的平方成正比.當輪船每小時行10海里時，它的耗油量價值500貨幣單位.又此船每行1小時除耗油費用外，其它消耗為常數貨幣單位，輪船行駛的最大速度是每小時25海里.

問：此船從甲地行駛至乙地最經濟的行船速度是多少？

解：設從甲地到乙地的行船速度為每小時海里，則需要的時間為小時，耗油量，設耗油費用為貨幣單位，由已知，當時，耗油量，耗油費為500貨幣單位，故，

故行船的總費用為貨幣單位…（4分）

上式兩邊同時對求導，得，令，即，

解得…（6分）

又

①當，即時，當時，，當時，，故在上單調遞減，在上單調遞增，而在上連續，故當時，取到最小值…（9分）

②當，即時，則對總有，故在上單調遞減，故當時，有最小值.

綜上所述知，當時，輪船行駛的速度應為每小時海里最經濟；當時，輪船的行駛速度是每小時25海里最經濟. …（12分）

20．（本題滿分13分）不等式