2.6矩陣的簡單應用
[教學目標]
一、知識復習
1、矩陣的乘法:不滿足交換律,滿足結合律、分配律、0-1律
兩個二階矩陣的乘法結果為
2、一個二階非零矩陣存在逆矩陣的條件是ad-bc≠0(主對角線積與副對角線積的差不為0),此時
-1=
3、方程組的另外解法
(1)行列式法D=,Dx=
,Dy=
,所以,方程組的解為
(2)矩陣表示為AX=B,這樣X=A-1B
4、M=,λ1、λ2為其一個特征值,對應的特征向量為
、
,則對于任意正整數n及
, Mn
= aλ1n
+bλ2n
二、應用
例1、A、B、C是三個城市交通情況,某人想從一個城市到另一城市,有幾種選擇;如果從一個城市出發,先經過一個城市再到另一個城市,有幾種選擇?
解:(1)
M=
(2)N=
這種表示關系的圖形稱為網絡圖,其中交點稱為結點;對應的(1)反映直達交通情況的矩陣稱一級路矩陣;通過另一個點的矩陣稱為二極路矩陣,可以看出N=M2
練習1:有一個一級路矩陣,畫出其網絡圖(
)
練習2:寫出七橋問題的一級路矩陣M和二級路矩陣N(一區域變為點,橋變為線)
(M=
N=
)
例2、密碼發送的流程圖如圖所示,其原理是:發送將要傳送的信息數字化后用一個矩陣X表示,在矩陣左邊乘一個雙方約定好的可逆方陣A,得到B=AX,即B為傳送出去的密碼。接受方接到密碼后,只需左乘A-1,即可得到明文X=A-1B。
以二階矩陣為例,先將英文字母數字化,讓a→1,……,z→26(具體發送時,個位數前加0,如1為01)先已發送密碼為07,13,39,67,雙方約定可逆矩陣密鑰為,試破解發送的密碼
解:令B=,則A=
,AX=B,X=A-1B=
=
即發送的明文為back
這里,矩陣A稱密鑰
例3、自然界生物種群的成長受到多種條件因素的影響,比如出生率、死亡率、資源的可利用性與競爭、捕食者的獵殺乃至自然災害等等。因此,它們和周邊環境是一種既相生又相克的生存關系。但是,如果沒有任何限制,種群也會泛濫成災,F假設兩個互相影響的種群X,Y隨時間段變化的數量分別為{an},{bn},并有關系式,其中a1=6,b1=4,試分析20個時段后這兩個種群的數量變化趨勢。
解:設=
,M=
,
=M
,M的特征多項式f(λ)=
=0故特征值為4或-1,對應的特征向量分別是
=
,
=
,
=2
+2
=M20
=2×420
+2×(-1)20
≈
所以,20個時段后這兩個種群的數量分別約為242和3×241
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