【典型例題】

    【例1】（天津市）（Ⅰ）當，時，拋物線為，

方程的兩個根為，．

∴該拋物線與軸公共點的坐標是和． 

（Ⅱ）當時，拋物線為，且與軸有公共點．

對于方程，判別式≥0，有≤．

①當時，由方程，解得．

此時拋物線為與軸只有一個公共點．

②當時，

時，，

時，．

由已知時，該拋物線與軸有且只有一個公共點，考慮其對稱軸為，

應有  即

解得．

綜上，或．   

（Ⅲ）對于二次函數，

由已知時，；時，，

又，∴．

于是．而，∴，即．

∴． 

∵關于的一元二次方程的判別式

，  

∴拋物線與軸有兩個公共點，頂點在軸下方．

又該拋物線的對稱軸，

由，，，

得，

∴．

又由已知時，；時，，觀察圖象，

可知在范圍內，該拋物線與軸有兩個公共點．

【例2】（黃石市）（1）設拋物線解析式為，把代入得．

，

頂點

（2）假設滿足條件的點存在，依題意設，

由求得直線的解析式為，

它與軸的夾角為，設的中垂線交于，則．

則，點到的距離為．

又．

．

平方并整理得：

．

存在滿足條件的點，的坐標為．

（3）由上求得．

①若拋物線向上平移，可設解析式為．

當時，．

當時，．

或．

．

②若拋物線向下移，可設解析式為．

由，

有．

，．

向上最多可平移72個單位長，向下最多可平移個單位長

【例3】（吉林長春）（1）由

得．

又因為當時，，即，

解得，或（舍去），故的值為．

（2）由，得，

所以函數的圖象的對稱軸為，

于是，有，解得，

所以．

（3）由，得函數的圖象為拋物線，其開口向下，頂點坐標為；

由，得函數的圖象為拋物線，其開口向上，頂點坐標為；

故在同一直角坐標系內，函數的圖象與的圖象沒有交點．

【例4】（廣西南寧）（1）設=,由圖①所示，函數=的圖像過（1，2），所以2=，

故利潤關于投資量的函數關系式是=；

因為該拋物線的頂點是原點，所以設=，由圖12-②所示，函數=的圖像過（2，2），

所以，

故利潤關于投資量的函數關系式是；

（2）設這位專業戶投入種植花卉萬元（），

則投入種植樹木（）萬元，他獲得的利潤是萬元，根據題意，得

=+==

當時，的最小值是14；

因為，所以

所以

所以

所以，即，此時

當時，的最大值是32.

 

【學力訓練】

1、（廣州）（1）y＝0.5x＋１，y＝（2）－６<x<0或x>4

2、（江西省卷）（1）解：答案不唯一，只要合理均可．例如：

①拋物線開口向下，或拋物線開口向上；

②拋物線的對稱軸是，或拋物線的對稱軸是；

③拋物線經過點，或拋物線經過點；

④拋物線與的形狀相同，但開口方向相反；

⑤拋物線與都與軸有兩個交點；

⑥拋物線經過點或拋物線經過點；

等等．

（2）當時，，令，

解得．

 ，令，解得．

①點與點對稱，點與點對稱；

②四點橫坐標的代數和為0；

③（或）．

（3），

拋物線開口向下，拋物線