西安中學

師大附中

高2008屆第一次模擬考試

高新一中

長安一中

數學（理）試題

命題人：師大附中 孫永濤

審題人：師大附中 李  濤

注意事項：  

1．  本試題卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，總分150分，考試時間150分鐘。

2．  答題前，考生須將自己的學校、班級、姓名、學號填寫在本試題卷指定的位置上。

3．  選擇題的每小題選出答案后，用2B鉛筆將答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，不能答在試題卷上。

4．  非選擇題必須按照題號順序在答題卡上各題目的答題區域內作答。超出答題區域或在其他題的答題區域內書寫的答案無效；在草稿紙、本試題卷上答題無效。

5．  考試結束，將本試題卷和答題卡一并交回。

第Ⅰ卷

一.選擇題（本試卷共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求）

1.已知復數滿足，則等于(    )

A.        B.        C.         D.

2.已知，下列不等式中成立的是(    )

A.          B.         C.           D.

3.下列函數中，周期是1且是奇函數的是 (    )

A.                  B.

C.                      D.

4.在正項等比數列中，，那么等于(    )

A.28                B.32               C.35               D.49

5.已知是兩條不重合的直線，是三個兩兩不重合的平面，給出下面四個命題

①若，則；②若，則；③若，，則；④若是異面直線，，，則。其中真命題的編號是(    )

A.①②             B.①③            C.③④            D.①④

6.設是函數的反函數，若，則的值是(    )

A.1                B.2               C.3               D.

7.直線與圓相切于點，則的值等于(    )

A.               B.            C.             D.

8.函數在實數上可導，且滿足，則必有(    )

A.                 B.

C.                 D.

9.過雙曲線的右焦點作直線交雙曲線于兩點，若，則這樣的直線有(    )

A.1條            B.2條             C.3條               D.4條

10.點是內一點，且，則等于 (    )

A.             B.              C.                 D.

11.在某次數學模擬測驗中記學號是的學生的成績是，若，且滿足，則這4位同學的考試成績所有的可能有(    )

A.15種          B.20種            C.30種               D.35種

12.已知定義域是的函數滿足，且當時，單調遞增，若，且，則的值（    ）

A.恒小于0      B. 恒大于0         C.可能為0           D.可正可負

第II卷

二.填空題（每小題4分，滿分16分）

13.設滿足約束條件：，則的最大值是           .

14.一艘船上午9：30在A處測得燈塔S在它的北偏東30°處，之后它繼續沿正北方向勻速航行，上午10：00到達B處，此時又測得燈塔S在它的北偏東75°處，且與它相距海里.此船的航速是      海里/小時.

15.如圖，正方體的一個頂點A在平面內，其余頂點在

平面的同側，正方體上與頂點A相鄰的三個頂點

到的距離分別為2、3和5，P是正方體

的其余四個頂點中的一個，則P到平面的距離可能是：

①5    ②6    ③7    ④8    ⑤10

以上結論正確的為______________（寫出所有正確結論的編號）. 

16.某中學為高一學生開設了攝影、健美、足球、管弦樂四門選修課程。統計學生的報名情況，有下列結果：①報攝影的同學沒有報健美；②報健美的同學也報了管弦樂；③報足球的同學沒有報管弦樂；④沒有報足球的同學報了健美。在下面判斷中，正確判斷的編號是_______（寫出所有正確結論的編號）.

①報管弦樂的同學也報了攝影；②沒有報管弦樂的同學報了攝影；③報健美的同學人數與報管弦樂的同學人數相等；④沒有任何同學，同時報了足球和健美；⑤報了攝影的同學也報了足球.

三.解答題（滿分74分）

17.（12分） 已知（為常數）.

（Ⅰ）求的單調遞增區間；

（Ⅱ）若在上的最大值與最小值之和為3，求的值.

18.（12分） 在舉辦的奧運知識有獎問答比賽中，甲、乙、丙同時回答一道有關奧運知識的問題，已知甲回答對這道題目的概率是，甲、丙兩人都回答錯的概率是，乙、丙兩人都回答對的概率是.

    （Ⅰ）求乙、丙兩人各自回答對這道題目的概率；

    （Ⅱ）求回答對這道題目的人數的隨機變量的分布列和期望.

19.（12分） 如圖，四邊形是直角梯形，，，，，又，，，直線與直線所成的角為.

（Ⅰ）求證：平面⊥平面；

（Ⅱ）求二面角的正切值.

20.（12分）橢圓的離心率，是橢圓上關于軸均不對稱的兩點，線段的垂直平分線與軸交于點.

（Ⅰ）設的中點為，求的值；

（Ⅱ）若是橢圓的右焦點，且，

求橢圓的方程.

21.（12分）已知數列滿足

（I） 求數列的通項公式；

（II）證明：.

21.（14分）已知函數,

（Ⅰ）求的值域；

（Ⅱ）設為方程的根，求證：當時，；

（Ⅲ）若方程有4個不同的根，求的取值范圍.

高2008屆四校聯考第一次�？�

一.選擇題（每小題5分，滿分60分）

DBDAD     BACCA  D A

二.填空題（每小題4分，滿分16分）

13.3   14.32     15.①③④⑤       16.③④⑤

三.解答題（滿分74分）

17．(12分)  解：（Ⅰ）

，則，

即的單調遞增區間是…………………………6分

（Ⅱ），那么

即，所以………………………………12分

18．（12分）（Ⅰ）設乙、丙各自回答對的概率分別是，根據題意得：

，解得，…………………………………………6分

（Ⅱ）可能取值0，1，2，3，分布列如下：

0

1

2

3

   ………………………………………12分

19. （12分）

（Ⅰ）∵

∴平面

又∵平面

∴平面平面………………4分

（Ⅱ）取的中點，則，連結，

∵，且∴四邊形是平行四邊形,

∴，從而

作，交的延長線于，連結，則由三垂線定理知，，

從而為二面角的平面角

直線與直線所成的角為   ∴

在中，由余弦定理得

在中，

在中，

在中，

故二面角的平面角大小為………………………………12分

20．（ 12分）

解：（Ⅰ）設，，代入橢圓方程得，，兩式相減整理得：，由于，；根據得，所以，即，則………………6分

（Ⅱ）

由于，那么，那么，所以

，，故所求橢圓的方程是………………12分

21. (滿分12分) （I）解：由得,是以為首項，2為公比的等比數列。即　   ………………4分

II證明：∵ ，∴

又∵

       ∴

       ∴                ………………12分

22.（14分）

（Ⅰ），則，由于，則值域是…………………………………………………………………………………2分

（Ⅱ）是方程，那么，令，則，那么是單調減函數，當時，，即

所以當時，……………………………………………………………8分

（Ⅲ）令

當時，，所以在和上單調遞增；

當時，，所以在和上單調遞減；

當時，

當時，；當時，；當時，

所以有四個不同的根時，所以.…………………………14分