2009高考數學經典試題匯編
1. 下表給出一個“等差數陣”：
4
7
（ ）
（ ）
（ ）
……
……
7
12
（ ）
（ ）
（ ）
……
……
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
……
……
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
……
……
……
……
……
……
……
……
……
……
……
……
……
……
……
……
……
……
……
……
其中每行、每列都是等差數列，表示位于第i行第j列的數．（1）寫出
的值； （2）寫出的計算公式；（３）證明：正整數N在該等差數列陣中的充要條件是2N+1可以分解成兩個不是1的正整數之積．
講解 學會按步思維，從圖表中一步一步的翻譯推理出所要計算的值．
（1）
按第一行依次可讀出：
，
；按第一行依次可讀出：
，
；最后，按第５列就可讀出：
．
（２）因為該等差數陣的第一行是首項為4，公差為3的等差數列，所以它的通項公式是：
而第二行是首項為7，公差為5的等差數列，于是它的通項公式為：
…… 通過遞推易知，第i行是首項為
，公差為
的等差數列，故有
（３）先證必要性：若N在該等差數陣中，則存在正整數i，j使得
．從而 
，這說明正整數2N+1可以分解成兩個不是1的正整數之積．再證充分性：若2N+1可以分解成兩個不是1的正整數之積，由于2N+1是奇數，則它必為兩個不是1的奇數之積，即存在正整數k，l，使得
，從而 
，由此可見N在該等差數陣中．
綜上所述，正整數N在該等差數陣中的充要條件是2N+1可以分解成兩個不是1的正整數之積.
2. 求
。
3. “漸升數”是指每個數字比其左邊的數字大的自然數（如2578），在二位的“漸升數”中任取一數比37大的概率是 
。
4. 函數
及其反函數的圖象與函數
的圖象交于A、B兩點，若
，則實數
的值等于_________。 
5. 從裝有
個球（其中
個白球，
個黑球）的口袋中取出
個球
，共有
種取法。在這種取法中，可以分成兩類：一類是取出的個球全部為白球，共有
種取法；另一類是取出的個球有
個白球和個黑球，共有
種取法。顯然
，即有等式：
成立。試根據上述思想化簡下列式子：
。
6. 某企業購置了一批設備投入生產，據分析每臺設備生產的總利潤
（單位：萬元）與年數
滿足如圖的二次函數關系。要使生產的年平均利潤最大，則每臺設備應使用 （
C ）
（A）3年 （B）4年 （C）5年 （D）6年
7. （14分）已知函數
，且
（1）求
的值；（2）試判斷是否存在正數
，使函數
在區間
上的值域為
。若存在，求出這個的值；若不存在，說明理由。
解：（1）∵，∴
，即
，∵
，∴
（2）
， 
；當
，即
時，
；當
時，∵
，∴這樣的不存在。當
，即
時，
，這樣的不存在。綜上得，
。
8.
（14分）如圖，設圓
的圓心為C，此圓和
拋物線
有四個交點，若在軸上方的兩個交
點為A、B，坐標原點為O，
的面積為S。
（1） 求P的取值范圍；
（2）
求S關于P的函數
的表達式及S的取值范圍；
（3）
求當S取最大值時，向量
的夾角。
解：（1）把 
代入 得 
由 
， 得 
，即 
（2）設
，
的方程：
， 即 
即 
， 即 
點O到AB的距離
，又
∴
， 即 
（3）
取最大值時，
，解方程
，得
，
∴向量的夾角的大小為
。
9.
（16分）前段時期美國為了推翻薩達姆政權，進行了第二次海灣戰爭。據美軍估計，這場以推翻薩達姆政權為目的的戰爭的花費約為
億美元。同時美國戰后每月還要投入約
億美元進行戰后重建。但是由于伊拉克擁有豐富的石油資源，這使得美國戰后可以在伊獲利。戰后第一個月美國大概便可賺取約
億美元，只是為此美國每月還需另向伊交納約億美元的工廠設備維護費。此后隨著生產的恢復及高速建設，美國每月的石油總收入以
的速度遞增，直至第四個月方才穩定下來，但維護費還在繳納。問多少個月后，美國才能收回在伊的“投資”？
解：設個月后，美國才能收回在伊的“投資”，則
即
，
，即
個月后，美國才能收回在伊的“投資”。
10.
數列
的第2004項是____________。63
11.
在等比數列
中，
，公比
，若
，則
達到最大時，
的值為____________。8
12.
設函數
，且①
；②
有兩個單調遞增區間，則同時滿足上述條件的一個有序數對
為______________。滿足
的任一組解均可
13.
已知兩條曲線
（
不同時為0）.則“
”是“
與
有且僅有兩個不同交點”的
A
(A)充分非必要條件 （B）必要非充分條件 （C）充要條件 （D）既非充分也非必要條件
14.
已知二次函數
有最大值且最大值為正實數，集合
，集合
。
（1）求
和
；
（2）定義與的差集：
且
。
設
，
，
均為整數，且
。
為取自
的概率，
為取自
的概
率，寫出與的三組值，使
，
，并分別寫出所有滿足上述條件的（從
大到小）、（從小到大）依次構成的數列{
}、{
}的通項公式（不必證明）；
（3）若函數
中，
，
（理）設
、
是方程
的兩個根，判斷
是否存在最大值及最小值，若存在，求出相應的值；若不存在，請說明理由。
（文）寫出的最大值
，并判斷是否存在最大值及最小值，若存在，求出相應
的值；若不存在，請說明理由。
（1）∵
有最大值，∴
。配方得
，由
。
∴
，
。
（2）要使
，
�？梢允耿�
中有3個元素，
中有2個元素， 
中有1個元素。
則
。②中有6個元素，中有4個元素， 中有2個元素。則
。
③中有9個元素,中有6個元素,中有3個元素。則
。
。
（3）（理）
，得
。
，
∵
，當且僅當
時等號成立�！�
在
上單調遞增。
。
又
，故沒有最小值。
（文）∵
單調遞增，∴
，又
，∴沒有最大值。
15. 
把數列
的所有數按照從大到小，左大右小的原則寫成如下數表：
第行有
個數，第
行的第
個數（從左數起）記為
，
則
。
16. 我邊防局接到情報，在海礁AB所在直線
的一側點M處有走私團伙在進行交易活動，邊防局迅速派出快艇前去搜捕。如圖，已知快艇出發位置在的另一側碼頭
處，
公里，
公里，
。
（1）（10分）是否存在點M，使快艇沿航線
或
的路程相等。如存在，則建立適當的直角坐標系，求出點M的軌跡方程，且畫出軌跡的大致圖形；如不存在，請說明理由。
（2）（4分）問走私船在怎樣的區域上時，路線
比路線
的路程短，請說明理由。
解：（1）建立直角坐標系（如圖），
，
點M的軌跡為雙曲線的一部分，
，
即
點M的軌跡方程為
（2）走私船如在直線的上側且在（1）中曲線的左側的區域時，
路線
的路程較短。
理由：設
的延長線與（1）中曲線交于點
，
則
17. 已知函數
對任意的整數
均有
，且
。
（1）（3分）當
，用的代數式表示
；
（2）（理）（10分）當，求
的解析式；
（文）（ 6分）當
，求的解析式；
（3）如果
，且
恒成立，
求的取值范圍。（理5分；文9分）
解：（1）令
（2）（理）當
時，
，
上述各式相加，得
當
時，
上述各式相加，得
，即
綜上，得
。
（文），
（3）
恒成立
令
，
是減函數
∴
18.
設A（x1，y1），B（x2，y2）是兩個互異的點，點P的坐標由公式
確定，當
R時，則
（ C ）
A．P是直線AB上的所有的點 B．P是直線AB上除去A的所有的點
C．P是直線AB上除去B的所有點 D．P是直線AB上除去A、B的所有點
19.
設
（n∈N）的整數部分和小數部分分別為In和Fn，則Fn (Fn+In)的值為（A ）
A．1 B．
20. 將參加數學競賽的1000名學生編號如下0001，0002，0003，…1000，打算從中抽取一個容量為50的樣本，按系統抽樣的方法分成50個部分，如果第一部分編號為0001，0002，…，0020，第一部分隨機抽取一個號碼為0015，則第40個號碼為 ．0795
21.
設x、y、z中有兩條直線和一個平面，已知命題
為真命題，則x、y、z中一定為直線的是
．z
22. 秋收要到了，糧食豐收了。某農戶準備用一塊相鄰兩邊長分別為a、b的矩形木板，在屋內的一個墻角搭一個急需用的糧倉，這個農戶在猶豫，是將長為a的邊放在地上，還是將邊長為b的邊放在地上，木板又該放在什么位置的時候，才能使此糧倉所能儲放的糧食最多。請幫該農戶設計一個方案，使糧倉所能儲放的糧食最多（即糧倉的容積最大）
設墻角的兩個半平面形成的二面角為定值α 。將b邊放在地上，如圖所示，則糧倉的容積等于以△ABC為底面，高為a的直三棱柱的體積。
由于該三棱柱的高為定值a，于是體積取最大值時必須△ABC的面積S取最大值。
設AB= x，AC = y ，則由余弦定理有
≥
，
于是，
≤
，
從而，S=
≤
。
當且僅當x=y時，S取最大值。
故當AB=AC時，(Vb)max
= 
。
同理，當a邊放在地上時，(Va)max = 
。
顯然，當a＞b時，(Va)max ＞(Vb)max ；當a＜b時，(Va)max ＜(Vb)max ；當a=b時，(Va)max = (Vb)max 。
故當a＞b時，將a邊放地上，且使底面三角形成以a為底邊的等腰三角形；當b＞a時，將b邊放地上，且使底面三角形成以b為底邊的等腰三角形；當a=b時，無論將a邊還是b邊放在地上均可，只須使底面三角形構成以所放這條邊為底邊的等腰三角形即可。
23. 已知一個數列{an}的各項是1或3．首項為1，且在第k個1和第k+1個1之間有2k-1個3，即1，3，1，3，3，3，1，3，3，3，3，3，1，…．記數列的前n項的和為Sn．
（Ⅰ）試問第2004個1為該數列的第幾項？
（Ⅱ）求a2004；
（Ⅲ）S2004；
（Ⅳ）是否存在正整數m，使得Sm=2004？如果存在，求出m的值；如果不存在，說明理由．
將第k個1與第k+1個1前的3記為第k對，即（1，3）為第1對，共1+1=2項；（1，3，3，3）為第2對，共1+（2×2-1）=4項；
為第k對，共1+（2k-1）=2k項；…．故前k對共有項數為
2+4+6+…+2k=k(k+1)．
（Ⅰ）第2004個1所在的項為前2003對所在全部項的后1項，即為
2003(2003+1)+1=4014013（項）．
（Ⅱ）因44×45=1980，45×46=2070，故第2004項在第45對內，從而a2004=3．
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