高考數學專題―數學思想方法

數形結合法

數與形的結合，使抽象思維與形象思維結合起來，實現概念與形象、表象與聯系的轉化，化難為易，是數學解題的重要思想方法之一。進行數形結合的信息轉換主要有三個途徑：一是通過坐標系的建立，引 入參變量，化靜為動，以動求解；例如：解不等式：，

可設，則平面上軌跡雙曲線上坐標的取值范圍即為原不等式的解；二是轉化，例如將轉化為點與的距離；將轉化為點與的直線斜率；三是構造，即可構造幾何模型、構造函數或構造一個圖形，例如求的值，可以構造一個頂角為的等腰三角形，利用相似形性質算出。

第一講

[要求與考點]  理解和掌握數形結合法在函數、方程、最值中的應用。

例1、       函數的最大、最小值。

分析：可以看成是點與點兩點

連線的斜率。在圓上，斜率的最大、最小

值由過點的圓的兩條切線所決定。如圖

解：設的斜率為，則為：

即。

∵點到的距離，

故

解得：

即

說明：凡形如的代數式，一般都可看作點和點的連線的斜率，本題也可以用萬能公式代換后，利用判別式求解，但運較繁。用判別式法須注變量范圍的變化。

例2、求函數的值域。

分析：原函數在令后可以化為的范圍可看著是當直線與四分之一圓有交點時，直線在縱軸上的截距的范圍，如圖。

[分析]原函數在令后可化為

，的范圍可

看作是當直線與四分之一圓

有交點時，直線在縱軸上的截

距的范圍，如圖；

解：令，原函數變為

∴

引入變量，得：

∵ 直線的斜率為，過四分之一圓上點時，

截距，直線與四分之一圓相切時，，

∴ 截距

∴

說明：仿照本例可解決形如或的函數的值域問題。

本例也可在寫成后，把點看成是既在直線上，又在圓上，聯立方程組即可求得的取值

范圍。

例3、已知函數在上有最小值1，求實數的值；

[分析]函數是關于的二次函數，對稱軸是，應就其對稱軸是否在上加以討論。

解：∵是以為對稱軸，開口向上的拋物線；

當時，在上的最小值是，如圖1，解得：

當時，的最小值是，如圖2，解得

當時，應是如圖3 , 在上的最小值是，但此方程無解，∴這種情況不存在。

             圖1                        圖2                    圖3

例4、方程有兩個不相等的實數根，求的取值范圍.

[分析]  原方程的解可以看作函數

與函數的圖象交點的橫坐標.函數

的圖象由 

(半圓)和 (等軸雙曲線

在軸上半部份)的圖象構成,如圖可知:

當或,時,此二函數的

圖象有兩個交點,即原方程有兩個不相等的實數根.

例5、設是以為直徑的單位圓上半圓周上的任意一點，于求的最大值；

[分析] 以圓心為原點，直徑所在直線為軸

建立坐標系，如圖；則半圓方程為：

，設點坐標為，，

則

所以，

令 ，則 ，且，

∴

∴當時，有最大值 

法2、如圖，設，，

∵ 為直徑，∴，且，

∴ ，，，

所以

（以下求解同法一）

練      習

1、已知實數滿足，則

（1）的取值范圍是                 ；

（2）的取值范圍是                 ；

（3）的取值范圍是                 ；

2、函數的最大值是                 ；

3、拋物線弦垂直于軸，若弦長為，則焦點到弦的距離為       ；

4、如果實數滿足求的最大最小值；

5、求函數的值域；

6、為何實數時，方程有且僅有一個實根；

數形結合法    第二講

[要求與考點] 理解和掌握數形結合法在解不等式，不等式的證明、集合，復數等問題中的應用。

例1、       解不等式，

[分析] 由于不等式中含參數和絕對值，對解的討論將十分困難，若用數形結合法可較易地解決這一問題。

解：令   

當時，兩曲線

交于四點，如圖1

它們的橫坐標分別為，                             圖1

故解集為

當時，兩曲線交于三點，如圖2，

故解集為

當時，，兩曲線交于兩點，如圖3

故解集為

                  圖2                                         圖3

例2、已知，且，，求證：

[分析]不等式的左端可看著點和點

間的距離間的平方，點在直線

上，點在直線上，如圖，

顯然，平行直線上任意兩點的距離大于或等于

這兩平行線間的距離

說明：凡形如的等式皆可視為點在直線上，若則可用基本不等式證明即；

例3、已知，求證：

[分析]  與余弦定理很相似，可視為，即三角形中夾角的第三邊長，原不等式的左端可看作是圖中周長，由正弦定理有：

中，                                                     C

∴，  A                    B

同樣可以得另外兩式，三式相加即可。

   說明：還可以看作，它表示兩點，

間的距離，也可以看成復數的模；本題用復數法證明更為簡捷。

例4、已知，，求證：

[分析]原不等式左端與距離公式的平方很相似，變化為，相當于證明點與點間的距離平方大于8，顯然點在圓上，點在等軸雙曲線上，如圖

證明：設是上任意一點，

當且僅當時，到原點取最近距離，

∴在直線上，直線交圓于點，

為兩曲線

間最近距離，故有，原式成立；

例5、已知，且，求當為何值時，有最大值；

[分析] 設復數所對應的點為，

的

幾何意義是點到和

連線的夾角；的

幾何意義是到兩點、

距離相等的點的軌跡，即直線.

問題轉化為在上求一點，使它與

和連線的夾角最大，如圖，

過、和相切的較小圓的切點即為所求；

略解：、兩點的垂直平分線方程為，

設圓心為，則，解得：

，，其較小圓的圓心為，半徑為 ；

設切點的坐標為，∵ 得：

故切點為，所求復數為。

說明：本題充分利用了圖形的幾何性質，避免了復雜的計算。

[本節評注] 數形結合法思想在解題中的應用關鍵是：一要多類比，多聯想，將代數式通過轉化、變形，賦予它鮮明的幾何意義；二要挖掘已有圖形的幾何性質，利用其性質盡量簡化運算或論證。

作  業

1、復數滿足，則的輻角主值的取值范圍是                      ；

2、解不等式；

3、已知，求復數為何值時，

（1）取最大值？最小值？

（2）取最大值？最小值？

4、已知均大于零，且，

求證：