西安中學
師大附中
高2009屆第二次模擬考試
高新一中
長安一中
數學試題（文科）
命題人：西安中學 薛黨鵬
審題人：長安一中 岳建良
本試卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分.共150分,考試時間120分鐘.
第I卷 (選擇題，共60分)
一.選擇題：本大題共12小題
每小題5分，共60分
在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的
1.已知集合M＝｛x|x＜3｝，N＝｛x|log2x＞1｝，則M∩N＝
A. 
B.｛x|0＜x＜3｝ C.｛x|1＜x＜3｝ D.｛x|2＜x＜3｝
2. 函數y＝8sin4xcos4x的最小正周期是( ).
A.2π B.4π C. D.
3.
已知等差數列
中，
，則前10項的和
＝
A.100
B
4. 下列函數中，在其定義域內既是奇函數又是減函數的是
A.
B. 
C. 
D. 
5．某地區有300家商店，其中大型商店有30家 ，中型商店有75家，小型商店有195家.為了掌握各商店的營業情況，要從中抽取一個容量為20的樣本.若采用分層抽樣的方法，抽取的中型商店數是
A．2 B
6. 已知
是兩條不同直線，
是三個不同平面，下列命題中正確的是
A．
B．
C．
D．
7. 若雙曲線
的離心率為2, 則雙曲線
的離心率為
A．
B．
C．2
D．
8. 不等式
的解集是
A．
B．
C．
D．
9．設
為
所在平面內一點，且
，則
的面積與的面積之比為
A．
B．
C．
D．
10. 從圓
外一點
向這個圓作兩條切線，則兩切線夾角的余弦值為
A．
B． C．
D．
11. 若曲線
的一條切線
與直線
垂直，則直線的方程為
A．
B．
C.
D．
12. 數列
中,
,
,
則該數列的前100項之和
=
A.5 B.
第II卷（共90分）
二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分
把答案填在題中橫線上
13. 已知正數
、
滿足
，則
的最大值為_______.
14.正四棱錐側面與底面所成的角為
，則其側棱與底面所成角的正切值為
．
15. 二項式
的展開式中的常數項為________.(結果用數值作答)
16. 如果一個函數的圖象關于直線
對稱,則稱此函數為自反函數. 使得函數
為自反函數的一組實數
的取值為________
三、解答題：本大題共6小題，共74分
解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟
17．（本題滿分12分）已知函數
.
（Ⅰ）在所給的坐標紙上作出函數
的圖象(不要求寫出作圖過程).
（Ⅱ）令
，
.求函數
的最小值以及取得最小值時所對應的的集合.
18．（本題滿分12分）按照新課程的要求, 高中學生在每學期都要至少參加一次社會實踐活動(以下簡稱活動). 該校高三一班50名學生在上學期參加活動的次數統計如圖所示．
（I）求該班學生參加活動的人均次數
；
（II）從該班中任意選兩名學生，求他們參加活動次數恰好相等的概率
．
（要求：答案用最簡分數表示）
19．（本題滿分12分）如圖所示，在矩形
中，
，點
是
的中點，將
沿
折起到
的位置，使二面角
是直二面角.
（1）證明：
；
（2）求二面角
的正切值.
20. （本題滿分12分）設函數
（I）求函數
的單調區間；
（II）若對任意的
的取值范圍.
21. （本題滿分12分） 已知橢圓Γ的中心在原點，焦點在x軸上，它的一個頂點B的坐標為
，離心率等于
.直線
與橢圓Γ交于
兩點.
（Ⅰ）求橢圓Γ的方程；
(Ⅱ) 若橢圓Γ的右焦點
恰好為
的垂心,試求出直線的方程.
22. （本題滿分14分）已知正項數列
滿足對一切
,有
，其中
。
(Ⅰ)求證: 對一切,有
;
(Ⅱ)求數列的通項公式;
(Ⅲ)求證：當時,有
.
西安中學
師大附中
高2009屆第二次模擬考試
高新一中
長安一中
數學答題紙（文科）
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
二、填空題:(本大題共4小題，每小題4分，共16分)
13. , 14. . 15. . 16. .
三、解答題:(本大題共6小題，共74分)
17.（Ⅰ）
（Ⅱ）
18. （Ⅰ）
（Ⅱ）
19. （Ⅰ）
（Ⅱ）
20. （Ⅰ）
（Ⅱ）
21. （I）
(II)
22. （Ⅰ）
（Ⅱ）
(Ⅲ)
西安中學
師大附中
高2009屆第二次模擬考試
高新一中
長安一中
一.選擇題
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
C
B
A
C
D
D
D
A
B
A
A
二.填空題
13.4； 14. 
； 15.15； 16.
,
可以填寫任一實數.
三.解答題
17. （Ⅰ）列表：
2
6
10
14
0
1
3
1
1
描點作圖，得圖象如下.
6分
（Ⅱ）
所以,當
,即
時,函數
取得最小值
. 12分
18.由圖可知，參加活動1次、2次和3次的學生人數分別為5、25和20．
（I）該班學生參加活動的人均次數為
=
． 6分
（II）從該班中任選兩名學生，他們參加活動次數恰好相等的概率為
．
12分
19．（Ⅰ）∵AD=2AB=2，E是AD的中點，
∴△BAE，△CDDE是等腰直角三角形，
易知，∠BEC=90°，即BE⊥EC
又∵平面D′EC⊥平面BEC，面D′EC∩面BEC=EC，
∴BE⊥面D′EC，又CD′
面D′EC，∴BE⊥CD′.
6分
（Ⅱ）法一：設M是線段EC的中點，過M作MF⊥BC
垂足為F，連接D′M，D′F，則D′M⊥EC
∵平面D′EC⊥平面BEC，
∴D′M⊥平面EBC，
∴MF是D′F在平面BEC上的射影，
由三垂線定理得：D′F⊥BC
∴∠D′FM是二面D′―BC―E的平面角.
在Rt△D′MF中，
∴
，
即二面角D′―BC―E的正切值為.
12分
法二：如圖，以EB，EC為x軸，y軸，過E垂直于平面BEC的射線為z軸，建立空間直角坐標系，
則
設平面BEC的法向量為
；平面D′BC的法向量為
由
取
∴
∴二面角D′―BC―E的正切值為.
12分
20．（I）
，
（II）
由（I）知
21（Ⅰ）設橢圓C的方程為
，則由題意知b = 1.
∴橢圓C的方程為
…………………………………………………6分
（Ⅱ）易知直線
的斜率為
，從而直線的斜率為1.設直線的方程為
，代如橢圓的方程，并整理可得
.設
，則
，
.于是
解之得
或
.
當時，點
即為直線與橢圓的交點，不合題意.當時，經檢驗知和橢圓相交，符合題意.
所以，當且僅當直線的方程為
時, 點
是
的垂心. 12分
22.(Ⅰ)對一切
有
于是, 
(
) 5分
(Ⅱ)由
及
兩式相減,得: 
∴
. 10分
(Ⅲ) 由于
，
所以，
14分
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