2007-2008年高三文科數學第二次模擬考試試題
一、本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．
1．已知
，那么角
是（ �。�
Ａ．第一或第二象限角 Ｂ．第二或第三象限角
Ｃ．第三或第四象限角 Ｄ．第一或第四象限角
2．函數
的反函數的定義域為（ �。�
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
3．函數
的最小正周期是（ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
4．橢圓
的焦點為
，
，兩條準線與
軸的交點分別為
，若
，則該橢圓離心率的取值范圍是（ �。�
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
5．在等比數列
（
）中，若
，
，則該數列的前10項和為（ ）
A．
B．
C．
D．
6．若不等式組
表示的平面區域是一個三角形，則
的取值范圍是（ �。�
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．或
7．平面
平面
的一個充分條件是（ �。�
Ａ．存在一條直線
Ｂ．存在一條直線
Ｃ．存在兩條平行直線
Ｄ．存在兩條異面直線
8．對于函數①
，②
，③
，判斷如下兩個命題的真假：
命題甲：
是偶函數；
命題乙：
在
上是減函數，在
上是增函數；
能使命題甲、乙均為真的所有函數的序號是（ �。�
Ａ．①② Ｂ．①③ Ｃ．② Ｄ．③
9．根據某水文觀測點的歷史統計數據，得到某條河流水位的頻率分布直方圖（如圖1）．從圖中可以看出，該水文觀測點平均至少一百年才遇到一次的洪水的最低水位是（ ）
A．
10．函數
的圖象和函數
的圖象的交點個數是（ ）
A．1 B．
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中橫線上．
11．
是
的導函數，則
的值是 ．
12．若數列
的前
項和
，則此數列的通項公式為 ．
13．已知向量
．若向量
，則實數
的值是 ．
請考生在14，15兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分．
14．在極坐標系中，直線
的方程為
，則點
到直線的距離為 ．
15．如圖2所示，圓
的直徑
，
為圓周上一點，
，過作圓的切線，過
作的垂線
，垂足為
，則
．
三、解答題：本大題共6小題，共80分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
16．（本小題滿分14分）
設銳角三角形ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，
．
（Ⅰ）求B的大��；
（Ⅱ）若
，
，求b．
17．（本小題滿分14分）
某商場經銷某商品，顧客可采用一次性付款或分期付款購買．根據以往資料統計，顧客采用一次性付款的概率是0.6，經銷一件該商品，若顧客采用一次性付款，商場獲得利潤200元；若顧客采用分期付款，商場獲得利潤250元．
（Ⅰ）求3位購買該商品的顧客中至少有1位采用一次性付款的概率；
（Ⅱ）求3位顧客每人購買1件該商品，商場獲得利潤不超過650元的概率．
18．（本小題滿分14分）
四棱錐
中，底面ABCD為平行四邊形，側面
底面ABCD，已知
，
，
，
．
（Ⅰ）證明：
；
（Ⅱ）求直線SD與平面SBC所成角的正弦值．
19．（本小題滿分14分）
設函數
在
及
時取得極值．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）若對于任意的
，都有
成立，求c的取值范圍．
20．（本小題滿分12分）
設是等差數列，
是各項都為正數的等比數列，且
，
，
（Ⅰ）求，的通項公式；
（Ⅱ）求數列
的前n項和
．
21．（本小題滿分12分）
已知橢圓
的左、右焦點分別為，，過的直線交橢圓于B，D兩點，過的直線交橢圓于A，C兩點，且
，垂足為P．
（Ⅰ）設P點的坐標為
，證明：
；
（Ⅱ）求四邊形ABCD的面積的最小值．
2007-2008年高三文科數學第二次模擬考試試題
一、選擇題
1．Ｃ 2．Ｂ 3．Ｂ 4．Ｄ 5．B 6．Ｃ
7．Ｄ 8．Ｃ 9．C 10．C
二、填空題
11．
12．
13．
14．2 15．30°
三、解答題
16．解：（Ⅰ）由
，根據正弦定理得
，所以
，
由
為銳角三角形得
．………………………………………………7分
（Ⅱ）根據余弦定理，得
．
所以，
．………………………………………………14分
17．解：（Ⅰ）記
表示事件：“位顧客中至少
位采用一次性付款”，則
表示事件：“位顧客中無人采用一次性付款”．
，
．………………………………………………7分
（Ⅱ）記
表示事件：“位顧客每人購買件該商品，商場獲得利潤不超過
元”．
表示事件：“購買該商品的位顧客中無人采用分期付款”．
表示事件：“購買該商品的位顧客中恰有位采用分期付款”．
則
．
，
．
．……………………………………14分
18．解法一：（1）作
，垂足為
，連結
，由側面
底面
，得
底面．
因為
，所以
，又
，故
為等腰直角三角形，
，
由三垂線定理，得
．………………………7分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
依題設
，
故
，由
，
，
．
又
，作
，垂足為
，
則
平面
，連結
．
為直線
與平面所成的角．
所以，直線與平面所成角的正弦值為
．………………………………………………14分
解法二：（Ⅰ）作，垂足為，連結，由側面底面，得平面．
因為，所以．
又，為等腰直角三角形，
．
如圖，以為坐標原點，
為
軸正向，建立直角坐標系
，
因為
，
，
又
，所以
，
，
．
，
，
，
，所以．…………………7分
（Ⅱ）
，
.
與
的夾角記為
，與平面
所成的角記為
，因為為平面的法向量，所以與互余．
，
，
所以，直線與平面所成角的正弦值為．………………………14分
19．解：（Ⅰ）
，
因為函數
在
及
取得極值，則有
，
．
即
解得
，
．………………………7分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，
，
．
當
時，
；
當
時，
；
當
時，．
所以，當時，取得極大值
，又
，
．
則當
時，的最大值為．
因為對于任意的，有
恒成立，
所以 
，
解得 
或
，
因此
的取值范圍為
．………………………14分
20．解：（Ⅰ）設
的公差為
，
的公比為
，則依題意有
且
解得
，
．
所以
，
．………………………6分
（Ⅱ）
．
，①
，②
②－①得
，
．………………………12分
21．證明：（Ⅰ）橢圓的半焦距
，
由
知點
在以線段
為直徑的圓上，
故
，
所以，
．………………………6分
（Ⅱ）（?）當
的斜率
存在且
時，的方程為
，代入橢圓方程
，并化簡得
．
設
，
，則
，
，
；
因為
與
相交于點
，且的斜率為
．
所以，
．
四邊形的面積
．
當
時，上式取等號．………………………10分
（?）當的斜率
或斜率不存在時，四邊形的面積
．……………………11分
綜上，四邊形的面積的最小值為
．………………………12分
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