秘密★啟用前
2008年廣州市高三教學質量抽測試題
數 學（理科）
2008．1
本試卷共4頁，21小題，滿分150分．考試用時120分鐘．
注意事項：
1．答選擇題前，考生務必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名、考生號、考試科目填寫在答題卡上，并用2B鉛筆將相應的信息點涂黑．
2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案，答案不能答在試卷上．
3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內的相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液．不按以上要求作答的答案無效．
4．考生必須保持答題卡的整潔，考試結束后，將試卷和答題卡一并交回．
參考公式：
如果事件
、
互斥，那么
．
如果事件、相互獨立，那么
．
如果事件在一次試驗中發生的概率是
，那么在
次獨立重復試驗中恰好發生
次的概率
．
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．集合
的真子集的個數為
A．6
B．
2．不等式
的解集是
A．
B．
C．
D．
3．函數
的一個單調遞增區間為
A．
B．
C．
D．
4．設復數
滿足
，則
A．
B．
C．
D．
5．已知向量
，
，若
，則
A．
B．
C．1 D．3
6．如圖1所示，是關于判斷閏年的流程圖，則以
下年份是閏年的為
A．1996年
B．1998年
C．2010年
D．2100年
7．已知
，
是平面，
，
是直線，給出下
列命題
①若
，
，則
．
②若
，
，
，
，則
．
③如果
、n是異面直線，那么
相交．
④若
，∥，且
，則∥且∥．
其中正確命題的個數是
A．4 B．
8．函數
，若
（其中
、
均大于２），則
的最小值為
A．
B．
C．
D．
二、填空題：本大題共7小題，每小題5分，滿分30分．其中13～15是選做題，考生只能選做二題，三題全答的，只計算前兩題得分．
9．某校對全校男女學生共1600名進行健康調查，選用分層抽樣法抽取一個容量為200的樣本．已知女生比男生少抽了10人，則該校的女生人數應是 人．
10．已知等比數列
的前三項依次為
，
，
，則
．
11．拋物線
上一點
到焦點的距離為3，則點的橫坐標
．
12．已知
的展開式中的常數項為
，
是以為周期的偶函數，且當
時，
，若在區間
內，函數
有4個零點，則實數
的取值范圍是 ．
13．（坐標系與參數方程選做題）在極坐標系中，點
到直線
的距離為 ．
14．（不等式選講選做題）不等式
的解集
是 ．
15．（幾何證明選講選做題）如圖2所示，
與
是
的直徑，
，
是延長線上一點，連
交于點
，連
交于點
，若
，則
．
三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．
16．（本小題滿分12分）
在△
中，角
所對的邊分別為
，已知
，
，
．
（1）求
的值；
（2）求
的值．
17．（本小題滿分12分）
已知射手甲射擊一次，擊中目標的概率是．
（1）求甲射擊5次，恰有3次擊中目標的概率；
（2）假設甲連續2次未擊中目標，則中止其射擊，求甲恰好射擊5次后，被中止射擊的概率．
18．（本小題滿分14分）
如圖3所示，四棱錐
中，底面
為正方形，
平面，
，，，
分別為
、
、
的中點．
（1）求證：
；
（2）求二面角D－FG－E的余弦值．
19．（本小題滿分14分）
設函數
．
（1）求函數的單調遞增區間；
（2）若關于
的方程
在區間
內恰有兩個相異的實根，求實數
的取值范圍．
20．（本小題滿分14分）
已知點
的坐標分別是
，
，直線
相交于點M，且它們的斜率之積為
．
（1）求點M軌跡
的方程；
（2）若過點
的直線
與（1）中的軌跡交于不同的兩點、（在
、之間），試求
與
面積之比的取值范圍（
為坐標原點）．
21．（本小題滿分14分）
已知數列
中，
，
，其前項和
滿足
（
，
）．
（1）求數列的通項公式；
（2）設
為非零整數，），試確定
的值，使得對任意，都有
成立．
2008年廣州市高三教學質量抽測
說明：1．參考答案與評分標準指出了每道題要考查的主要知識和能力，并給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與參考答案不同，可根據試題主要考查的知識點和能力比照評分標準給以相應的分數．
2．對解答題中的計算題，當考生的解答在某一步出現錯誤時，如果后繼部分的解答未改變該題的內容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的得分，但所給分數不得超過該部分正確解答應得分數的一半；如果后繼部分的解答有較嚴重的錯誤，就不再給分．
3．解答右端所注分數，表示考生正確做到這一步應得的累加分數．
4．只給整數分數，選擇題和填空題不給中間分．
一、選擇題：本大題主要考查基本知識和基本運算．共8小題，每小題5分，滿分40分．
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
C
D
A
D
A
C
B
８．方法1：由
，得
，
即
．
于是
，
所以
．
方法2：由，得，
即．
于是
，
則
（其中
），再利用導數的方法求解．
二、填空題：本大題主要考查基本知識和基本運算．共7小題，每小題5分，滿分30分．
9．760 10．
11．2 12．
13．
14．
15．3
三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．
16．（本小題滿分12分）
（本小題主要考查正弦定理、余弦定理、解三角形等基礎知識，考查運算求解能力）
解：（1）由余弦定理，
，………………………………………2分
得
，…………………………………………………4分
．……………………………………………………………………………6分
（2）方法1：由余弦定理，得
，………………………………8分
，………………………10分
∵
是
的內角，
∴
．………………………………………………………12分
方法2：∵
，且是的內角，
∴
．………………………………………………………8分
根據正弦定理，
，……………………………………………………10分
得
． ……………………………………………12分
17．（本小題滿分12分）
（本小題主要考查獨立重復試驗等基礎知識，考查或然與必然的數學思想與方法，以及運算求解能力）
解：（1）設“甲射擊5次，恰有3次擊中目標”為事件A，則
．
答：甲射擊5次，恰有3次擊中目標的概率為
．………………………………6分
（2）方法1：設“甲恰好射擊5次后，被中止射擊”為事件C，由于甲恰好射擊5次后被中止射擊，所以必然是最后兩次未擊中目標，第三次擊中目標，第一次與第二次至少有一次擊中目標，則
．
答：甲恰好射擊5次后，被中止射擊的概率為
．……………………………12分
方法2：設“甲恰好射擊5次后，被中止射擊”為事件C，由于甲恰好射擊5次后被中止射擊，所以必然是最后兩次未擊中目標，第三次擊中目標，第一次與第二次至少有一次擊中目標，則
．
答：甲恰好射擊5次后，被中止射擊的概率為．……………………………12分
18．（本小題滿分14分）
（本小題主要考查空間中線面關系，二面角及其平面角、坐標方法的運用等基礎知識，考查數形結合的數學思想和方法，以及空間想象能力、邏輯推理能力和運算求解能力）
（1）證法1：∵
平面
，
平面，∴
．
又為正方形，∴
．
∵
，∴
平面
．……………………………………………3分
∵
平面，∴
．
∵
，∴
．…………………………………………………………6分
證法2：以
為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系
，
則
，
，
，
，
，
．
…………………………………………………4分
∵
，
∴．………………………………………6分
（2）解法1：以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則
，，
，，
，，
．………………………………8分
設平面DFG的法向量為
，
∵
令
，得
是平面
的一個法向量．…………………………10分
設平面EFG的法向量為
，
∵
令
，得
是平面
的一個法向量．……………………………12分
∵
．
設二面角
的平面角為θ，則
．
所以二面角的余弦值為
．………………………………………14分
解法2：以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，，，，，
，，
，．………………………………8分
過作
的垂線，垂足為
，
∵
三點共線，∴
，
∵
，∴
，
即
，解得
．
∴
．…………10分
再過
作的垂線，垂足為
，
∵
三點共線，∴
，
∵
，∴
，
即
，解得
．
∴
．……………………………………………12分
∴
．
∵
與
所成的角就是二面角的平面角，
所以二面角的余弦值為．………………………………………14分
19．（本小題滿分14分）
（本小題主要考查函數、微積分基本定理和導數的應用，考查綜合運用數學知識分析和解決問題的能力）
解：（1）函數
的定義域為
，…………………………………………………1分
∵
，………………………………………2分
∵
，則使
的
的取值范圍為
，
故函數的單調遞增區間為． ……………………………………………4分
（2）方法1：∵
，
∴
．…………………………6分
令
，
∵
，且，
由
．
∴
在區間
內單調遞減，在區間
內單調遞增，……………………9分
故
在區間
內恰有兩個相異實根
……12分
即
解得：
．
綜上所述，
的取值范圍是
．………………………………14分
方法2：∵，
∴．…………………………6分
即
，
令
，
∵
，且，
由
．
∴
在區間內單調遞增，在區間內單調遞減．……………………9分
∵
，
，
，
又
，
故在區間內恰有兩個相異實根
．
……………………………………12分
即．
綜上所述，的取值范圍是． ……………………………14分
20．（本小題滿分14分）
（本小題主要考查橢圓的概念、橢圓的方程等基礎知識，考查待定系數法、數形結合的數學思想與方法，以及運算求解能力）
解：（1）設點的坐標為
，
∵
，∴
． ………………………………………2分
整理，得
（
），這就是動點M的軌跡方程．……………………4分
（2）方法1：如圖，由題意知直線
的斜率存在，
設的方程為
（
） …… ①…………………………………5分
將①代入
，
得
，
………………6分
由
，解得
．…………………………………………………………7分
設
，
，則
…… ② ……………………8分
令
，則
，即
，即
，且
……………………9分
由②得，
即
．……………………………………………11分
且
且
．
解得
且
………………………………………………13分
，
且．
∴△OBE與△OBF面積之比的取值范圍是
．……………14分
方法2：如圖，由題意知直線的斜率存在，
設的方程為
…… ①…………5分
將①代入，
整理，得
，…………6分
由，解得
．………………………………………………………………7分
設，，則
…… ② ……………………8分
令
，且
．…………………………………9分
將
代入②，得
∴
．即
．……………………………………11分
∵且
，∴
且
．
即
且．
解得且．……………………………………………13分
，且．
故△OBE與△OBF面積之比的取值范圍是．……………14分
21．（本小題滿分14分）
（本小題主要考查等差數列、不等式及其性質等基礎知識，考查分類討論、化歸與轉化的數學思想方法，以及抽象概括能力、運算求解能力）
解：（1）由已知，
（
，
）， …………………2分
即
（，），且
．
∴數列
是以
為首項，公差為1的等差數列．
∴
．……………………………………………………………………………4分
（2）∵，∴
，要使
恒成立，
∴
恒成立，
∴
恒成立，
∴
恒成立．……………………………………………………………6分
（?）當為奇數時，即
恒成立，…………………………………………7分
當且僅當
時，
有最小值為1，
∴
．………………………………………………………………………………9分
（?）當為偶數時，即
恒成立，………………………………………10分
當且僅當
時，
有最大值
，
∴
．……………………………………………………………………………12分
即
，又
為非零整數，則
．
綜上所述，存在，使得對任意，都有
．…………………14分
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