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第七單元  數列的求和、極限、數學歸納法

一.選擇題

(1) 已知等差數列｛a_n｝的前n項和為S_n，且S₄=3，S₈=7，則S₁₂的值是                  (      )

 A  8     B  11                  C  12               D  15

(2) 已知數列滿足，則=                         （      ）

A  0       B        C          D 

(3) 數列1,(1+2),(1+2+2²),…,( 1+2+2²+…+2^n-1+…)的前n項和是                                   (      )

A 2ⁿ            B 2ⁿ-2                C 2ⁿ⁺¹- n -2        D n?2ⁿ

(4) 從集合｛1，2，3，4，5，6，7，8，9，10｝中任選三個不同的數，如果這三個數經過適當的排列成等差數列，則這樣的等差數列一共有                                                   (      )

A  20個 B  40個      C 10個                D 120個

(5) ＝                                                                                              (      )

A 2              B 4                     C                    D  0

(6) 如果為各項都大于零的等差數列，公差，則                                (      )

A     B       C          D

(7)已知等差數列｛a_n｝與｛b_n｝的前n項和分別為S_n與T_n, 若, 則的值是                                                                                                                                        (       )

A             B               C                     D 

(8) 的值是                                                                         (       )

A             B                  C                     D 

(9) 已知數列{log₂(a_n－1)}（n∈N^*）為等差數列，且a₁＝3，a₂＝5，則

=                                                         (       )

　　A   2　　    B  　　         C  1　　                        D 

(10) 已知數列滿足,,….若,則  (       )

Ａ           Ｂ３                  Ｃ４                      Ｄ５

二.填空題

(11) 在等差數列｛a_n｝中，a₁＞0，a₅=3a₇，前n項和為S_n，若S_n取得最大值，則n=     .

(12) 在等差數列｛a_n｝中，前n項和為S_n，若S₁₉=31，S₃₁=19，則S₅₀的值是______

(13)在等比數列｛a_n｝中，若a₉?a₁₁=4，則數列｛｝前19項之和為_______

(14)若a>0,且a≠1, 則的值是                            .

三.解答題

(15) 設數列{a_n}的首項a₁=a≠，且,

記，n＝＝l，2，3，…?．

（I）求a₂，a₃；

（II）判斷數列{b_n}是否為等比數列，并證明你的結論；

（III）求

(16) 數列{a_n}的前n項和為S_n，且a₁=1，，n=1，2，3，……，求

   （I）a₂，a₃，a₄的值及數列{a_n}的通項公式；

   （II）的值.

(17) 已知{}是公比為q的等比數列，且成等差數列.

   （Ⅰ）求q的值；

（Ⅱ）設{}是以2為首項，q為公差的等差數列，其前n項和為S_n，當n≥2時，比較S_n與b_n的大小，并說明理由.

.

(18)  已知定義在R上的函數和數列滿足下列條件：

  ，

，其中a為常數，k為非零常數.

（Ⅰ）令，證明數列是等比數列；

（Ⅱ）求數列的通項公式；

（Ⅲ）當時，求.

一選擇題:

1.C 

[解析]：∵｛a_n｝等差數列，∴2(S₈ －S₄)= S₄＋(S₁₂－S₈)，且S₄=3，S₈=7，

則S₁₂=12

2.B  

[解析]：已知數列滿足，

則有規律的重復了，故=。

3.C  

[解析]：∵( 1+2+2²+…+2^n-1)=2ⁿ－1

∴數列1,(1+2),(1+2+2²),…,( 1+2+2²+…+2^n-1+…)的前n項和為：

（2－1）+(2²－1)+…+(2ⁿ－1)= 2ⁿ⁺¹- n -2

4.B  

[解析]：當公差d為正時，若d=1，則這樣的等差數列有8個

                                              若d=2，則這樣的等差數列有6個

                                               若d=3，則這樣的等差數列有4個

                                               若d=4，則這樣的等差數列有2個

                                                共有20個

             當公差d為負時，也有20個。

5.C  

[解析]：==

6. B  

[解析]：因為為各項都大于零的等差數列，公差

              故   

故

7.C  

[解析]：因為等差數列｛a_n｝與｛b_n｝的前n項和分別為S_n與T_n,

則

若, 則==

8.C  

[解析]：

9.C  

[解析]：因為數列{log₂(a_n－1)}（n∈N^*）為等差數列，∴

故設log₂(a_n+1－1)－log₂(a_n－1)=d

又a₁＝3，a₂＝5，故d=1

∴,

故{a_n－1}是首項為2，公比為2的等比數列，

∴a_n－1=2ⁿ，∴a_n=2ⁿ＋1，∴a_n+1－a_n=2ⁿ

=

則=1

10.B    

[解析]：因為數列滿足,,….

則

     ，，

……

故

又，故

二填空題:

11.7或8       

[解析]：在等差數列｛a_n｝中，a₁＞0，∵a₅=3a₇，∴a₁＋4d= 3(a₁＋6d)

 ∴a₁=

∴S_n=n()＋d=，

∴n=7或8時， S_n取得最大值。 

12.－50        

[解析]：在等差數列｛a_n｝中，前n項和為S_n，

S₁₉=19a₁＋19×9d

S₃₁=31a₁＋31×15d

S₃₁－S₁₉=12 a₁＋12×

又S₁₉=31，S₃₁=19，

故a₁＋=－1

S₅₀=－50

13.－19   

[解析]：由題意a_n>0,且a₁?a₁₉ =a₂?a₁₈ =…=a₉?a₁₁=

               又a₉?a₁₁=4 ，故=

故+…+=

14. -2  (a>1時);  3  (0< a<1時).

[解析]：當0< a<1時，aⁿ=0,此時，=3，

      ：當 a>1時, =0，此時=

三解答題

(15)解（I）a₂＝a₁+=a+，a₃=a₂=a+；

（II）∵ a₄=a₃+=a+, 所以a₅=a₄=a+,

所以b₁=a₁－=a－, b₂=a₃－=(a－), b₃=a₅－=(a－),

猜想：{b_n}是公比為的等比數列?

    證明如下：

    因為b_n+1＝a_2n+1－=a_2n－=(a_2n－1－)=b_n, (n∈N*)

所以{b_n}是首項為a－, 公比為的等比數列?

（III）

(16) 解（I）由a₁=1，，n=1，2，3，……，得

，，，

由（n≥2），得（n≥2），

又a₂=，所以a_n=(n≥2),

∴ 數列{a_n}的通項公式為；

（II）由（I）可知是首項為，公比為項數為n的等比數列，∴  =

(17)解（Ⅰ）由題設 

（Ⅱ）若

當  故

若

當

故對于

(18)（Ⅰ）證明：由，可得

.由數學歸納法可證

.

 由題設條件，當時

因此，數列是一個公比為k的等比數列.

（Ⅱ）解：由（1）知，

當時，

當時，    .

而  

所以，當時,      .上式對也成立. 所以，數列的通項公式為. 當時

    。上式對也成立，所以，數列的通項公式為    ，

（Ⅲ）解：當時,  .

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