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第九單元  不等式的證明

一.選擇題

(1) 已知，那么下列命題中正確的是                                                 （      ）

    A．若，則                        B．若，則

C．若，則                 D．若，則

(2) 設a>1，0<b<1，則的取值范圍為                                        （      ）

A．             B．                C．               D．

(3) 設x＞0，P＝2^x+2^－x，Q＝(sinx+cosx)²，則                                                    （      ）

A．P≥Q                     B．P≤Q              C．P＞Q                   D．P＜Q

(4)命題p:若a、b∈R,則|a|+|b|>1是|a+b|>1的充分而不必要條件.

命題q:函數y=的定義域是(-∞,-13,+∞).則                                         (      )

A ． “p或q”為假     B．  “p且q”為真   　 C．  p真q假   　　　 D ． p假q真

(5)如果a，b，c滿足c<b<a，且ac<0，那么下列選項中不一定成立的是                      (      )

A．  ab>ac       　　　B．  c(b-a)>0       　  C．  cb²<ab²      　　　   D．  ac(a-c)<0

(6)若a、b為實數, 且a+b=2, 則3^a+3^b的最小值為                                                              (      )

A  ．18       　　　　 B ．6         　　　　　C  ．2    　　　　   D ．2

(7) 設p+q=1, p>0, q>0, 則不等式成立的一個充分條件是                           (      )

A ． 0<x<                B  ．<x<  　　　C  ．<x<1                 　D．  x>1

(8) 設，則的最大值是                                  （      ）

    A．                     B．                     C．                        D．2

 (9) 設a＞0, b＞0，則以下不等式中不恒成立的是                                                             (      )

   A．≥4          　　B．≥

C．≥        D．≥

(10) 設0<x<1,a、b為正常數，則的最小值為                                   （      ）

    A．4ab               B．                    C．                    D．

二.填空題

(11) 設a<0，－1<b<0，則a,ab,ab²從小到大的順序為__________

(12) 設，則x+y的最小值為_________

(13)若<0,已知下列不等式:①a+b<ab  ②|a|>|b|  ③a<b  ④>2,

其中正確的不等式的序號為                 .

(14)設集合，則m的取值范圍是        .

三.解答題

(15) 已知，，，，試比較A、B、C的大小.

(16) 已知正數x、y滿足的最小值.

判斷以上解法是否正確？說明理由；若不正確，請給出正確解法．

(17) 已知

(18) 已知函數在R上是增函數，.

（1）求證：如果；

（2）判斷（1）中的命題的逆命題是否成立？并證明你的結論；

解不等式.

一選擇題:

1.C  

[解析]：A．若，則（錯），若c=0，則A不成立；

B．若，則 （錯），            若c<0，則B不成立；

C．若，則（對），若，則

D．若，則（錯），若，則D不成立。

2.D  

[解析]：∵∴a>1，0<b<1，∴

設，則；

則==

3.C 

[解析]： 2^x+2^－x（當且僅當x=0,等號成立），而x＞0，故P>2，

Q＝(sinx+cosx)²=1+sin2x，而 sin2x，故Q

4.D  

[解析]：取a=1,b=－1，可驗證p假；

由，可得(-∞,-13,+∞)，故q真

5.C  

[解析]：取b=0，可驗證C不成立。

6.B  

[解析]：∵a+b=2, ∴3^a+3^b

7.D 

[解析]：∵p+q=1, p>0, q>0,則由，得

                 若   x>1，則，則，故選D。

8.B 

[解析]：設，則，即

故=

9.B 

[解析]：∵a＞0, b＞0，∴

A． ≥≥4    故A恒成立，      　　

B．≥，取，則B不成立

C．－（ ）=   故C恒成立

D． 若 則≥恒成立

        若,則=2≥0，∴≥

        故D恒成立

10.C

[解析]：設，則

               =

二填空題:

11. a＜ab²＜ab  

[解析]：

12.

            [解析]：∵∴， x+y≥

13. ①,④

[解析]： ∵<0 , ∴b<<0,故②③錯。

14. m>1

[解析]：∵，∴有解

        即，故m>1．

三解答題:

(15)證：不妨設，則，，由此猜想

由得，得，

得，即得.

(16) 解：錯誤. 等號當且僅當x=y時成立，又等號當且僅當x=2y時成立，而①②的等號同時成立是不可能的.

正確解法：因為x >0，y>0，且x +2y=1，

，當且僅當

∴這時

(17解,

∴（1）當a>1時，a－1>0  ∴上遞增，∴

（2）當0<a<1時，a－1<0  ∴上遞減，∴

   綜上（1）（2）知：x>y.

(18) （1）證明：當

（2）中命題的逆命題為：   ①

①的逆否命題是：         ②

仿（1）的證明可證②成立，又①與②互為逆否命題，故①成立，即（1）中命題的逆命題成立. 根據（2），所解不等式等價于

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