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第二十單元  復數

一.選擇題

(1)                                                                                                    (      )

       A．               B．               C．                  D．

(2) 復數的共軛復數是                                                                              (      )

A．                      B．                 C．               D．

(3) 滿足條件|z-i|=|3+4i|復數z在復平面上對應點的軌跡是                                             (      )

A ．一條直線      　　B ．兩條直線      　C． 圓      　　　　　D． 橢圓

(4) ²⁰⁰⁵ =                                                                                                      (      )

A．   　　　　　　 B．－               C．                     D．－

(5) 設z₁, z₂是復數, 則下列結論中正確的是                                                                      (      )

A． 若z₁²+ z₂²>0,則z₁²>- z₂²      　　　　  B． |z₁-z₂|=       

C． z₁²+ z₂²=0 z₁=z₂=0           　　　　  D． |z₁²|=||²

(6)復數z在復平面內對應的點為A, 將點A繞坐標原點, 按逆時針方向旋轉, 再向左平移一個單位, 向下平移一個單位, 得到B點, 此時點B與點A恰好關于坐標原點對稱, 則復數z為                                                                                                                                    (      )

A．  -1        B．  1           C．  i            D．  - i

(7)設復數z =cosθ+icosθ, θ∈[0, π], ω= -1+i, 則|z-ω|的最大值是            (   )

A．  +1                 B．                   C． 2                              D．   

(8) 設z₁, z₂是非零復數滿足z₁²+ z₁z₂+ z₂²=0,  則()²+()²的值是           (      )

A．  -1                          B．  1                     C． -2                             D．  2

(9)已知復數z=x+yi (x,y∈R, x≥), 滿足|z-1|= x , 那么z在復平面上對應的點(x,y)的軌跡

是                                                                                                                                            (      )

A．  圓                          B．  橢圓                C． 雙曲線                    D ． 拋物線

(10) 設z∈C, 且|z|=1, 當|(z-1)(z-i)|最大時, z =                                                          (      )

A ． -1                          B．  - i                      C．  --i            D．  + i

二.填空題

(11)已知復數z₁=3+4i, z₂=t+i,,且z₁?是實數,則實數t等于           .

(12) 若t∈R, t≠-1, t≠0時,復數z =的模的取值范圍是    .

(13)若a≥0, 且z|z|+az+i=0, 則復數z =                   

(14)設z=log₂(m²-3m-3)+i log₂(m-3) (m∈R), 若z對應點在直線x-2y+1=0上, 則m的值是                 .

三.解答題

(15) 在復數范圍內解方程(i為虛數單位).

(16)已知復數z₁滿足(1+i)z₁=－1+5i, z₂=a－2－i, 其中i為虛數單位,a∈R, 若<,求a的取值范圍.

(17) 已知z₁, z₂是復數, 求證: 若|z₁-|=|1- z₁z₂|,則|z₁|, |z₂|中至少有一個值為1.

(18)設復數z₁, z₂滿足z₁z₂+2i z₁-2i z₂+1=0.

(Ⅰ)若z₁, z₂滿足- z₁=2i , 求z₁, z₂; 

(Ⅱ)若|z₁|=, 是否存在常數k, 使得等式|z₂-4 i |=k恒成立, 若存在,試求出k; 若不存在說明理由.

一選擇題:

1.C 

[解析]:

2.B  

[解析]: 復數=，故z的共軛復數是

3.C

[解析]: |3+4i|=5

滿足條件|z-i|=|3+4i|復數z在復平面上對應點的軌跡是

圓心為（0，1），半徑為5的圓。

4.A

[解析]: 

²⁰⁰⁵= i

5.D

[解析]:  A．錯；反例： z₁=2+i， z₂=2-i,      　　　　 

B．錯 ；反例： z₁=2+i， z₂=2-i,       

C．錯；反例： z₁=1， z₂=i,           　　　　 

D．正確，z₁=a+bi，則 |z₁²|=a²+b²,||² =a²+b²，故|z₁²|=||²

6.B

[解析]:  設z=a+bi，B點對應的復數為z₁=，則z₁= (a+bi) i-1-i=(-b-1)+(a-1)i

              ∵點B與點A恰好關于坐標原點對稱

∴

7.C

[解析]:   |z-ω|=

∵θ∈[0, π], ∴當θ=0時，|z-ω|的最大值是2

8.A

[解析]:   z₁, z₂是非零復數滿足z₁²+ z₁z₂+ z₂²=0,  則z₁²+2 z₁z₂+ z₂²= z₁z_2，即

∴()²+()²=

9.D

[解析]:   已知復數z=x+yi (x,y∈R, x≥), 滿足|z-1|= x ,

                即

那么z在復平面上對應的點(x,y)的軌跡是拋物線

10.C

[解析]: |z|=1, 設z=cosθ+isinθ,則|(z-1)(z-i)|=2

       令，則=

              ∴當t=即θ=時,|(z-1)(z-i)|取最大值，此時，z= --i

二填空題:

11.

[解析]: 已知復數z₁=3+4i, z₂=t+i,, 則z₁?=（3t+4）+(4t-3)i，

∵z₁?是實數, ∴4t-3=0,即t=

12.  

[解析]:    若t∈R, t≠-1, t≠0時,復數z =的模為|z|

        則|z|²=

故z的模的取值范圍是

13.

[解析]:    若a≥0, 且z|z|+az+i=0, 則z(|z|+a)+i=0, |z|+a>0,故 z為純虛數，

設z = yi  (y  ,    則 (|y|+a)yi+i=0  故y²-y-1=0

y =        

z =

14. 

[解析]: 設z=log₂(m²-3m-3)+i log₂(m-3) (m∈R), 若z對應點在直線x-2y+1=0上,

則log₂(m²-3m-3)-2 log₂(m-3)+1=0

故2（m²-3m-3）=(m-3)²

        ∴m=或m=-（不適合）

三解答題

(15)解: 原方程化簡為,

            設z=x+yi(x、y∈R),代入上述方程得 x²+y²+2xi=1-i,

         ∴x²+y²=1且2x=-1,解得x=-且y=±,

     ∴原方程的解是z=-±i.

(16)解: 由題意得 z₁==2+3i,于是==,=.

<,得a²－8a+7<0, 解得1<a<7.

(17) 證: ∵|z₁-|=|1- z₁z₂|

∴|z₁-|²=|1- z₁z₂|².

∴(z₁-)=(1- z₁z₂).

∴(z₁-)(- z₂)=( 1- z₁z₂)(1-).

化簡后得z₁+ z₂=1+ z₁z₂.

∴|z₁|²+|z₂|²=1+|z₁|²?|z₂|².

∴(|z₁|²-1)(|z₂|²-1)=0. ∴|z₁|²=1,或|z₂|²=1.

∴|z₁|,|z₂|中至少有一個為1.

(18)解: (Ⅰ) 由=z₁+2i , 兩邊同時取共軛復數可得: z₂=-2i .

   代入已知方程得: z₁(-2i )+ 2i z₁-2i(-2i)+1=0.

即|z₁|²-2i-3=0. 令z₁=a+bi ,

即可得到 a²+b²-2i(a-bi)-3=0.

即 (a²+b²-2b-3)- 2ai =0.

解得a=0, b=3,或a=0, b=-1.

∴z₁=3i, z₂=-5i, 或z₁=-i , z₂=-i .    

(Ⅱ)由已知得z₁=. 又∵|z₁|=,

∴||=.

∴| 2i z₂-1|²=3|z₂+ 2i|².

∴(2i z₂-1)( -2i-1)=3(z₂+ 2i)(- 2i).

整理得: z₂+4i z₂-4i-11=0.

即(z₂-4i)( +4i)=27.

∴| z₂-4i|²=27,

即| z₂-4i|=3.

∴存在常數k=3, 使得等式| z₂-4i|=k恒成立.

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