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第二單元  函數及其性質

一.選擇題

(1)                                                                           （    ）

(2) 下列四組函數中，表示同一函數的是　　　　　　　　　　　　　　　　　（�。�

A．                  B．

C．                        D．

(3) 函數的定義域為，那么其值域為　　　　　　　　　�。ā。�

A．         B．            C．        D．

(4) 設函數f(x) (x∈R)是以3為周期的奇函數, 且f(1)>1, f(2)= a, 則           　　　　　(      )

       A．  a>2         B．  a<-2           C．  a>1          D．  a<-1

(5)設f(x)為奇函數, 且在(-∞, 0)內是減函數, f(-2)= 0, 則x f(x)<0的解集為     　　　 (      )

        A．  (-1, 0)∪(2, +∞)               B．   (-∞, -2)∪(0, 2 ) 

C． (-∞, -2)∪(2, +∞)             D．  (-2, 0)∪(0, 2 ) 

(6) 設函數的反函數定義域為 　　　　　　　　　　　　　(      )

       A．          B．             C．（０，１）            D． 

 (7) 下列各圖象表示的函數中，存在反函數的只能是　　　　　　　　　　　　�。ā。�

Ａ．　　　　�。拢�　　　　　　�。茫�　　　　　�。模�　

(8)設函數f(x)=, 當x∈[-4, 0]時, 恒有f(x)≤g(x), 則a可能取的一個值是                                                              　　　　　　　　　　　　　 (      )

       A．  -5          B．  5            C．  -            D． 

(9) 已知函數f(x)對任意x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y), 且f(2)=4,則f(-1)=      　　　　(      )

 A．  -2       B．  1         C．  0.5          D．  2

(10) 已知，則下列不等式中成立的一個是　　　　　　　　　　　　　�。� ）

A．            B．             C．          D．

二.填空題

(11) 奇函數定義域是，則         .

(12) 若，則＿＿＿＿         

 (13) 函數在上的最大值與最小值之和為      .

(14) 在R上為減函數，則        .

三.解答題

(15) 記函數的定義域為集合M，函數的定義域為集合N．求：

（Ⅰ）集合M，N；

（Ⅱ） 集合，

(16) 設是奇函數，是偶函數，并且，求

(17) 有一批材料可以建成長為的圍墻，如果用材料在一邊靠墻的地方圍成一塊矩形場地，中間用同樣的材料隔成三個面積相等的矩形（如圖），則圍成的矩形的最大面積是多少？

(18) 已知二次函數y=f₁(x)的圖象以原點為頂點且過點(1,1),反比例函數y=f₂(x)的圖象與直線y=x的兩個交點間距離為8,f(x)= f₁(x)+ f₂(x).

  (Ⅰ) 求函數f(x)的表達式；

(Ⅱ) 證明:當a>3時,關于x的方程f(x)= f(a)有三個實數解.

一選擇題:

1.B  

[解析]：=

2.D  

[解析]：∵=|x -1|∴A錯

       ∵的定義域是x1, 的定義域是x>1 ∴B錯

∵的定義域是x>0 ,的定義域是x0 ∴C錯

3.A 

[解析]：只需把x=0，1，2，3代入計算y就可以了

4.D  

[解析]：

5.C 

[解析]：

6.B

[解析]：函數的反函數定義域

就是原函數的值域

而

當時原函數是是減函數，故

7. Ｄ 

[解析]：根據反函數的定義，存在反函數的函數x、y是一一對應的。

8. A  

[解析]：排除法，

              若a=5,則x=0時f(x)=5，g(x)=1, 故A錯

若a=,則x= - 4時f(x)= ，g(x)=, 故C錯

若a=,則x=0時f(x)= ，g(x)=1, 故D錯

9.A  

[解析]：因為函數f(x)對任意x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y),所以 即 又

10.D     

[解析]：

故

二填空題:

11. －１   

[解析]：∵是奇函數

∴定義域關于原點對稱

即     ∴

12.－５       

[解析]：1 ? 23= - 5

13.    ３      

[解析]：函數在上是增函數，所以最大值為2，最小值為1，它們之和為3

14.

[解析]：∵在R上為減函數  ∴

三解答題

(15)解：（Ⅰ）

（Ⅱ）

      .

(16) 為奇函數      為偶函數  

從而

（17）設每個小矩形長為x，寬為y，則

(1８) (Ⅰ)由已知,設f₁(x)=ax²,由f₁(1)=1,得a=1, ∴f₁(x)= x².設f₂(x)=(k>0),它的圖象與直線y=x的交點分別為A(,)，B(－,－)

由=8,得k=8,. ∴f₂(x)=.故f(x)=x²+.

(Ⅱ) （證法一）f(x)=f(a),得x²+=a²+,

即=－x²+a²+.在同一坐標系內作出f₂(x)=和

f₃(x)= －x²+a²+的大致圖象,其中f₂(x)的圖象是以坐

標軸為漸近線,且位于第一、三象限的雙曲線, f₃(x)與的圖象是以(0, a²+)為頂點,開口向下的拋物線.因此, f₂(x)與f₃(x)的圖象在第三象限有一個交點,即f(x)=f(a)有一個負數解.又∵f₂(2)=4, f₃(2)= －4+a²+，當a>3時,. f₃(2)－f₂(2)= a²+－8>0,當a>3時,在第一象限f₃(x)的圖象上存在一點(2,f(2))在f₂(x)圖象的上方.f₂(x)與f₃(x)的圖象在第一象限有兩個交點,即f(x)=f(a)有兩個正數解.因此,方程f(x)=f(a)有三個實數解.

（證法二）由f(x)=f(a),得x²+=a²+,即(x－a)(x+a－)=0,得方程的一個解x₁=a.方程x+a－=0化為ax²+a²x－8=0,由a>3,△=a⁴+32a>0,得x₂=, x₃=,x₂<0, x₃>0, ∵x₁≠ x₂,且x₂≠ x₃.若x₁= x₃,即a=,則3a²=, a⁴=4a,得a=0或a=,這與a>3矛盾,∴x₁≠ x₃.故原方程f(x)=f(a)有三個實數解.

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