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第六單元  等差數列與等比數列

一.選擇題

(1) 已知等差數列中，的值是                                (      )

A  15            B  30                            C  31          D  64

(2) 在各項都為正數的等比數列｛a_n｝中，首項a₁=3 ，前三項和為21，則a₃+ a₄+ a₅=(      )

     A   33           B   72           C   84         D  189

(3)已知等差數列的公差為2,若成等比數列, 則=                                  (      )

      A  ?4           B  ?6            C  ?8          D  ?10

(4) 如果數列是等差數列，則                                                                                        (       )

A                                               B 

C                                               D 

(5) 已知由正數組成的等比數列｛a_n｝中,公比q=2, a₁?a₂?a₃?…?a₃₀=2⁴⁵, 則

a₁?a₄?a₇?…?a₂₈=                                                                                                      (      )

       A  2⁵                    B  2¹⁰           C  2¹⁵          D  2²⁰

(6) 是首項=1，公差為=3的等差數列，如果=2005，則序號等于          (      )

A  667                 B  668          C  669       D  670

(7) 數列｛a_n｝的前n項和S_n=3ⁿ-c, 則c=1是數列｛a_n｝為等比數列的                           (      )

      A 充分非必要條件         B  必要非充分條件    

     C充分必要條件            D  既非充分又非必要條件  

(8) 在等比數列｛a_n｝中, a₁<0, 若對正整數n都有a_n<a_n+1, 那么公比q的取值范圍是                                                       (      )

A  q>1               B  0<q<1       C  q<0        D  q<1

(9) 有一塔形幾何體由若干個正方體構成，構成方式如圖所示，上層正方體下底面的四個頂點是下層正方體上底面各邊的中點。已知最底層正方體的棱長為2，且該塔形的表面積(含最底層正方體的底面面積)超過39，則該塔形中正方體的個數至少是                       (       )

    A 4；

    B 5；

   C 6；

   D 7。

(10) 已知f(x)=bx+1為x的一次函數,  b為不等于1的常數, 且

g(n)=, 設a_n= g(n)－g(n-1) (n∈N^※), 則數列｛a_n｝是                  (       )

    A 等差數列     B等比數列    C  遞增數列    D  遞減數列

二.填空題

(11) 在和之間插入三個數，使這五個數成等比數列，則插入的三個數的乘積為_____.

(12) 設數列{a_n}的前n項和為S_n，S_n=(對于所有n≥1)，且a₄=54，則a₁的數值是_____.

(13) 等差數列｛a_n｝的前m項和為30, 前2m項和為100, 則它的前3m項和為            .

(14) 設等比數列的公比為q，前n項和為S­_n，若S_n+1,S­_n，S_n+2成等差數列，則q的值為_________

三.解答題

(15) 已知數列為等差數列，且 求數列的通項公式；

(16) 設數列的前n項和為S_n=2n²，為等比數列，且

   （Ⅰ）求數列和的通項公式；

   （Ⅱ）設，求數列的前n項和T_n.

(17) 已知等比數列｛a_n｝的各項都是正數, S_n=80, S_2n=6560, 且在前n項中, 最大的項為54, 求n的值.

(18) 已知{}是公比為q的等比數列，且成等差數列.

   （Ⅰ）求q的值；

（Ⅱ）設{}是以2為首項，q為公差的等差數列，其前n項和為S_n，當n≥2時，比較S_n與b_n的大小，并說明理由..

一選擇題:

1.A  

[解析]：已知等差數列中，

又

2.C  

[解析]：在各項都為正數的等比數列｛a_n｝中，首項a₁=3 ，前三項和為21

             故3+3q+3q² =21,解得q=2

             因此a₃+ a₄+ a₅=21=84

3.B 

[解析]：已知等差數列的公差為2,若成等比數列,

              則

4.B 

[解析]： ∵∴故選B

5.A  

[解析]：已知由正數組成的等比數列｛a_n｝中,公比q=2, a₁?a₂?a₃?…?a₃₀=2⁴⁵, 則

a₂?a₅?a₈?…?a₂₉= a₁?a₄?a₇?…?a₂₈?2¹⁰      

a₃?a₆?a₉?…?a₃₀= a₁?a₄?a₇?…?a₂₈?2²⁰

故   a₁?a₄?a₇?…?a₂₈=2⁵

6.C 

[解析]： 是首項=1，公差為=3的等差數列，如果=2005，

則1+3(n－1)=2005,故n=669

7.C 

[解析]：數列｛a_n｝的前n項和S_n=3ⁿ-c,

則a_n=由等比數列的定義可知：

c=1數列｛a_n｝為等比數列

8.B 

[解析]：在等比數列｛a_n｝中, a₁<0, 若對正整數n都有a_n<a_n+1, 則a_n<a_nq

         即a_n(1－q)<0

        若q<0,則數列｛a_n｝為正負交錯數列，上式顯然不成立；

　　若q>0,則a_n<０，故1 －q>0,因此0<q<1

9.C 

[解析]： 底層正方體的表面積為24；第２層正方體的棱長，每個面的面積為；第３層正方體的棱長為，每個面的面積為；┉，第n層正方體的棱長為，每個面的面積為；

　　　　若該塔形為n層，則它的表面積為

24+4［＋＋┉＋］＝40

　　　　因為該塔形的表面積超過39，所以該塔形中正方體的個數至少是6

10.B

[解析]：    已知f(x)=bx+1為x的一次函數,  b為不等于1的常數, 且

g(n)=, 

則g(1)=b+1,g(2)=b²+b+1,g(3)=b³+ b²+b+1, ┉,g(n)=+┉+ b²+b+1.

a₁=b,a₂= b²,a₃= b³, ┉,

故數列｛a_n｝ 是等比數列

二填空題:

11. 216 

[解析]：    在和之間插入三個數，使這五個數成等比數列，

設插入三個數為a、b、c，則b²=ac=

因此插入的三個數的乘積 為36

12.    2

[解析]：設數列{a_n}的前n項和為S_n，S_n=(對于所有n≥1)，

則a₄=S₄－S₃,且a₄=54，則a₁ =2 

13.    210

[解析]：∵｛a_n｝等差數列 , ∴ S_m,S_2m－S_m ,  S_3m－S_2m 也成等差數列

　　　　即2(S_2m－S_m)= S_m + (S_3m－S_2m)

                ∴S_3m=3(S_2m－S_m)=210

14.    ?2

[解析]：設等比數列的公比為q，前n項和為S­_n，且S_n+1,S­_n，S_n+2成等差數列，則２S­_n＝S_n+1＋S_n+2             (*)

　　　　若q=1, 則S­_n=na₁, (*)式顯然不成立，

　　　　若q1，則(*)為

　　　　故

　　　　即q²+q－2=0

              因此q=－2

三解答題

(15)解:設等差數列的公差為d.

      由即d=1.

所以即

(16) （Ⅰ）當

故{a_n}的通項公式為的等差數列.

設{b_n}的通項公式為

故

（II）

兩式相減得

(17) 解: 由已知a_n>0, 得q>0, 若q=1, 則有S_n=na₁=80, S_2n=2na₁=160與S_2n=6560矛盾, 故q≠1.  ∵,  由(2)÷(1)得qⁿ=81   (3).  

∴q>1, 此數列為一遞增數列, 在前n 項中, 最大一項是a_n, 即a_n=54.  

又a_n=a₁q^n-1=qⁿ=54, 且qⁿ=81,

∴a₁=q.  即a₁=q.

將a₁=q代入(1)得q(1-qⁿ)=80(1-qⁿ),

即q(1-81)=80(1-q), 解得q=3. 又qⁿ=81, ∴n=4.

(18) 解：（Ⅰ）由題設 

（Ⅱ）若

當  故

若

當

故對于

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