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第十一單元  直線與圓

一.選擇題

(1) 平行四邊形ABCD的一條對角線固定在A(3,-1),C(2,-3)兩點,D點在直線3x-y+1=0上移動，則B點軌跡所在的方程為                                                                                     

A 3x-y-20=0       B 3x-y-10=0        C 3x-y-9=0      D 3x-y-12=0

(2)若方程x+y-6+3k=0僅表示一條射線，則實數k的取值范圍是                

A (-∞,3)         B (-∞,0或k=3      C k=3             D (- ∞,0)或k=3

(3)入射光線沿直線x-2y+3=0射向直線l: y=x被直線反射后的光線所在的方程是    (       )

A  x+2y-3=0                                      B x+2y+3=0  

C  2x-y-3=0                                       D 2x-y+3=0

(4) “a=b”是“直線相切”的                    

       A 充分不必要條件                      B 必要不充分條件

       C 充分必要條件                          D 既不充分又不必要條件

(5) 設集合，則A所表示的平面區域(不含邊界的陰影部分)是    (   )

       A                             B                             C                            D 

(6)由動點Ｐ向圓x² + y²=1引兩條切線PA、PB,切點分別為A、B，∠APB=60°,則動點Ｐ的軌跡方程為                                                                                                                       

A  x²+y²=4          B  x²+y²=3          C  x²+y²=2          D  x²+y²=1

(7) 從原點向圓作兩條切線，則這兩條切線的夾角的大小為      

       A                     B                     C                        D

(8)已知圓x²+y²+2x-6y+F=0與x+2y-5=0交于A, B兩點, O為坐標原點, 若OA⊥OB, 則F

的值為                                                                                                                                

A  0             B  1           C  -1             D  2

(9) 若圓上有且僅有兩個點到直線4x+3y=11的距離等于1，則半徑R的取值范圍是                                                                                                            

A R>1                 B R<3            C 1<R<3            D R≠2

(10) 已知直線過點，當直線與圓有兩個交點時，其斜率k的取值范圍是                                                                                                                       

A      B      C      D

二.填空題

(11) 已知圓交于A、B兩點，則AB所在的直線方程是__________。

(12)直線上的點到圓的最近距離是         。

(13)已知圓的方程是x²＋y²＝1，則在y軸上截距為的切線方程為         。

(14)過P（－2，4）及Q（3，－1）兩點，且在X軸上截得的弦長為6的圓方程是______

三.解答題

(15) 半徑為5的圓過點A(－2, 6)，且以M(5, 4)為中點的弦長為2，求此圓的方程。

(16) 某人在一山坡P處觀看對面山項上的一座鐵塔，如圖所示，塔高BC=80（米），塔所在的山高OB=220（米），OA=200（米），圖中所示的山坡可視為直線l且點P在直線l上，與水平地面的夾角為 , 試問此人距水平地面多高時，觀看塔的視角∠BPC最大（不計此人的身高）

(17) 已知定點，點在圓上運動，的平分線交于點，其中為坐標原點，求點的軌跡方程．

(18) 已知圓C：，是否存在斜率為1的直線l，使l被圓C截得的弦AB為直徑的圓過原點，若存在求出直線l的方程，若不存在說明理由。

答案

一選擇題:

1.A  

[解析]：設點B(x,y),∵平行四邊形ABCD的兩條對角線互相平分，即AC的中點C（，-2）也是BD的中點，∴點D為（5-x, - 4- y）,而D點在直線

3x-y+1=0上移動，則3(5 ? x) ? ( - 4 ? y)+1=0, 即3x-y-20=0

2.C   

[解析]：  令=t, 方程x+y-6+3k=0為t²-6t+3k=0

∵方程x+y-6+3k=0僅表示一條射線

∴t²-6t+3k=0的

3.C  

[解析]：∵ 入射光線與反射光線關于直線l: y=x對稱

               ∴反射光線的方程為y -2 x +3=0，即2x-y-3=0

4.A  

[解析]： 若a=b，則直線與圓心的距離為等于半徑，

∴相切

      若相切，則

           ∴

故“a=b”是“直線相切”的

 充分不必要條件

5.A  

[解析]：∵x，y，1－x－y是三角形的三邊長 ∴x>0,y>0,1-x-y>0,

并且x+y>1-x-y,  x+(1-x-y)>y,  y +(1-x-y)> x

∴     故選A

6.A  

[解析]：由題設，在直角OPA中， OP為圓半徑OA的2倍，即OP=4，∴點Ｐ的軌跡方程為   x²+y²=4

7.B   

[解析]：設原點為O，圓心為P，切點為A、B，則OP=6，PA=3，故

則這兩條切線的夾角的大小為

8.A  

[解析]：設圓心P到直線的距離為d,則d=0,即AB是直徑。

又OA⊥OB，故O在圓上，即F=0

9.C  

[解析]：圓心到直線的距離為2，又圓上有且僅有兩個點到直線4x+3y=11的距離等于1，故半徑R的取值范圍是1<R<3（畫圖）

10.C

[解析]：直線為，又直線與圓有兩個交點

             故     ∴

已知直線過點，當時，其斜率k的取值范圍

二填空題: 

11. 2x+y=0   

[解析]：圓相減就得公共弦AB所在的直線方程，

故AB所在的直線方程是

12.

[解析]：  直線上的點到圓的最近距離就是圓心到直線的距離減去半徑，即

13. 

[解析]：在y軸上截距為且斜率不存在的直線顯然不是切線，

故設切線方程為，則

14.(x－1)²＋(y－2)²=13或(x－3)²＋(y－4)²=25 

[解析]：設圓方程為，則

三解答題

(15) 解：設圓心坐標為P(a, b), 則圓的方程是(x－a)²＋(y－b)²=25,

      ∵ (－2, 6)在圓上，∴ (a＋2)²＋(b－6)²=25, 又以M(5, 4)為中點的弦長為2， 

∴ |PM|²=r²－², 即(a－5)²＋(b－4)²=20,

      聯立方程組, 兩式相減得7a－2b=3, 將b=代入 

      得  53a²－194a＋141=0, 解得a=1或a=, 相應的求得b₁=2, b₂=,

    ∴ 圓的方程是(x－1)²＋(y－2)²＝25或(x－)²＋(y－)²＝25

(16) 解：如圖所示，建立平面直角坐標系，

則A（200，0），B（0，220），C（0，300），

      直線l的方程為即

        設點P的坐標為（x，y），

      則

      由經過兩點的直線的斜率公式

       由直線PC到直線PB的角的公式得

      要使tanBPC達到最大，只須達到最小，由均值不等式

       當且僅當時上式取得等號，故當x=320時tanBPC最大，這時，點P的縱坐標y為

      由此實際問題知，所以tanBPC最大時，∠BPC最大，故當此人距水平地面60米高時，觀看鐵塔的視角∠BPC最大.

(17) 解：在△AOP中，∵OQ是ÐAOP的平分線

　　　　∴

　　設Q點坐標為（x，y）；P點坐標為（x₀，y₀）

　　∴

　　∵ P（x₀，y₀）在圓x²+y²=1上運動，∴x₀²+y₀²=1

　　即　　∴           

　　此即Q點的軌跡方程。

(18) 圓C化成標準方程為

　　假設存在以AB為直徑的圓M，圓心M的坐標為（a，b）

　　由于CM⊥ l，∴k_CM×k_l= -1   ∴k_CM=，

即a+b+1=0，得b= -a-1   ①

直線l的方程為y-b=x-a，即x-y+b-a=0     CM=

∵以AB為直徑的圓M過原點，∴

　　，

　　∴　　②

　　把①代入②得　，∴

當此時直線l的方程為x-y-4=0；

當此時直線l的方程為x-y+1=0

故這樣的直線l是存在的，方程為x-y-4=0 或x-y+1=0

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