廣東省深圳外國語學校2008屆高三年級第三次質量檢測

數學（理科）試卷

本試卷分為第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，第I卷為1―8題，共40分，第II卷為9―21題，共110分。全卷共計150分�？荚囉脮r120分鐘．

 

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的．

1．已知集合A=，那么A的真子集的個數是（   ）

    A．3     B．16     C．15      D．4

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2．已知向量，且∥，則x =  （   ）

       A．9                        B．6                        C．5                        D．1

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3．函數的最大值是  （   ）

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A．     B．     C．    D．   

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4． 若，則=  （   ）

    A．32      B．1       C．-1             D．-32

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5．若函數的減區間為，則的值是  （   ）

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A.         B.              C.             D.  

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6． 在中，“A>B”是“”成立的  （   ）

    A．充要條件      B．2充分部必要條件   C．必要不充分條件   D．既不充分也不必要條件

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7．設等比數列的公比為q，前n項和為sn，若sn+1，sn，sn+2成等差數列，則公比q為     （   ）

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       A．              B．                 C．   D．

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8．已知函數的圖象如右圖，則  （   ）

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A．   B．    C．   D．

 

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二、填空題：本大題共7小題，每小題5分，滿分30分．其中13~15題是選做題，考生只能選做二題，三題全答的，只計算前兩題得分．

9．計算=               （其中） ；

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10．曲線在點（）處的切線方程為                 ；

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11．從10名女生和5名男生中選出6名組成課外學習小組，如果按性別比例分層抽樣，則組成此課外學習小組的概率是             ；

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12．在＝                   ；

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13．（坐標系與參數方程選做題）

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以極坐標系中的點為圓心，1為半徑的圓的方程是        ；

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14．（不等式選講選做題）

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不等式的解集是                ；

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15．（幾何證明選講選做題）

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則_______.

 

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三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．

16．（本小題滿分12分）

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在△ABC中，角A、B、C所對邊分別為a，b，c，已知，且最長邊的邊長為l.求：

（I）角C的大�。�

（II）△ABC最短邊的長.

 

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17. （本小題滿分12分）

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在一次抗洪搶險中，準備用射擊的方法引爆從橋上游漂流而下的一巨大汽油罐.已知只有5發子彈備用，且首次命中只能使汽油流出，再次命中才能引爆成功，每次射擊命中率都是.，每次命中與否互相獨立.

  (Ⅰ) 求油罐被引爆的概率.

  (Ⅱ) 如果引爆或子彈打光則停止射擊，設射擊次數為ξ，求ξ的分布列及ξ的數學期望；

 

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18. (本小題滿分14分）

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    設Sn是正項數列的前n項和，且，

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   （Ⅰ）求數列的通項公式；

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   （Ⅱ）的值

 

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19． (本小題滿分14分）

據調查，某地區100萬從事傳統農業的農民，人均收入3000元，為了增加農民的收入，當地政府積極引進資本，建立各種加工企業，對當地的農產品進行深加工，同時吸收當地部分農民進入加工企業工作，據估計，如果有x(x＞0)萬人進企業工作，那么剩下從事傳統農業的農民的人均收入有望提高2x%，而進入企業工作的農民的人均收入為3000a元（a＞0）。

（I）在建立加工企業后，要使從事傳統農業的農民的年總收入不低于加工企業建立前的農民的年總收入，試求x的取值范圍；

（II）在（I）的條件下，當地政府應該如何引導農民（即x多大時），能使這100萬農民的人均年收入達到最大。

 

 

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20．(本小題滿分14分）

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設是函數的兩個極值點，且

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   （Ⅰ）求的取值范圍；

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   （Ⅱ）求證：.

 

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21．（本小題滿分14分）

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已知二次函數為常數）；.若直線1、2與函數f（x）的圖象以及1，y軸與函數f（x）的圖象所圍成的封閉圖形如陰影所示.

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   （Ⅰ）求、b、c的值

   （Ⅱ）求陰影面積S關于t的函數S（t）的解析式；

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   （Ⅲ）若問是否存在實數m，使得y=f（x）的圖象與y=g（x）的圖象有且只有兩個不同的交點？若存在，求出m的值；若不存在，說明理由.

 

 

 

廣東省深圳外國語學校2008屆高三第三次質量檢測

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一．選擇題：CBBA  CAAA

二．填空題：9、；  10、 ；  11、；12、； 

13、； 14、；  15、

三．解答題：

16．解：（I）tanC＝tan[π－（A＋B）]＝－tan（A＋B）

            ∵， ∴       ……………………5分

（II）∵0<tanB<tanA，∴A、B均為銳角, 則B<A，又C為鈍角，

∴最短邊為b ，最長邊長為c……………………7分

由，解得       ……………………9分

由    ，∴       ………………12分

17.解：（I）“油罐被引爆”的事件為事件A，其對立事件為，則P()=C…………4分

∴P(A)=1-         答：油罐被引爆的概率為…………6分

（II）射擊次數ξ的可能取值為2，3，4，5，    …………7分

       P(ξ=2)=，   P(ξ=3)=C     ，

P(ξ=4)=C， P(ξ=5)=C …………10分

ξ

2

3

4

5

        故ξ的分布列為：

                                                                                         

 

Eξ=2×+3×+4×+5×=   …………12分

18．解（Ⅰ）當n = 1時，解出a1 = 3 , …………1分

又4sn = an2 + 2an－3                             ①

        當時    4sn－1 =  + 2an-1－3                             ②  

            ①－②  , 即…………3分

∴ ,（）…………5分

是以3為首項，2為公差的等差數列   …………7分

（Ⅱ）                               ③

又              ④    …………9 分

④－③       …………11分

                   …………13分

                                 …………14分

19. 解：（I）由題意得（100-x）?3000?（1+2x%）≥100×3000，

即x2－50x≤0，解得0≤x≤50，                        ……………………4分

又∵x＞0   ∴0＜x≤50；                            ……………………6分

（II）設這100萬農民的人均年收入為y元，

則y=  =

=－[x－25(a+1)]2+3000+475(a+1)2     (0<x≤50)    ………………9分

（i）當0<25(a+1)≤50，即0＜a≤1，當x=25(a+1)時，y最大； ………………11分

（ii）當25(a+1)＞50，即a ＞1，函數y在（0,50]單調遞增，∴當x=50時，y取最大值�！�13分                          

答：在0＜a≤1時，安排25(a +1)萬人進入企業工作，在a＞1時安排50萬人進入企業工作，才能使這100萬人的人均年收入最大             ………………14分

20．解證：（I）易得…………………………………………1分

的兩個極值點，的兩個實根，又＞0

……………………………………………………3分

∴

∵，

            ……………………………………………7分

（Ⅱ）設則

由   ………………10分

∴在上單調遞增；在上單調遞減………………12 分

∴時，取得極大值也是最大值

，………………………………………14分

22．（本小題滿分14分）

解：（I）由圖形可知二次函數的圖象過點（0，0），（8，0），并且f(x)的最大值為16

則，

∴函數f（x）的解析式為…………………………4分

（Ⅱ）由得

∵0≤t≤2，∴直線l1與f（x）的圖象的交點坐標為（…………………………6分

由定積分的幾何意義知：

………………………………9分

（Ⅲ）令

因為x＞0，要使函數f（x）與函數g（x）有且僅有2個不同的交點，則函數

的圖象與x軸的正半軸有且只有兩個不同的交點

∴x=1或x=3時，

當x∈（0，1）時，是增函數；

當x∈（1，3）時，是減函數

當x∈（3，+∞）時，是增函數

∴……………12分

又因為當x→0時，；當

所以要使有且僅有兩個不同的正根，必須且只須

即， ∴m=7或

∴當m=7或時，函數f（x）與g（x）的圖象有且只有兩個不同交點�！�14分

 


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