上海市盧灣區2009年高考模擬考試
數學試卷（文科） 2009. 04
說明：本試卷滿分150分，考試時間120分鐘。本套試卷另附答題紙，每道題的解答必須寫在答題紙的相應位置，本卷上任何解答都不作評分依據。
一、填空題（本大題滿分55分）本大題共有11小題，要求直接將結果填寫在答題紙對應的空格中.每個空格填對得5分，填錯或不填在正確的位置一律得零分.
1．若集合
，則
．
2．不等式
的解為
．
3．設
的反函數為
，若函數的圖像過點
，且
， 則
．
4．若
，
，其中
為虛數單位，且
，則實數
．
5．二項式
的展開式中的常數項為
．
6．若點
是圓
內異于圓心的點，則直線
與該圓的位置關系是
．
7．若
、
滿足
，則
的最大值是 ．
8．右圖給出的是計算
的值的一個框圖，
其中菱形判斷框內應填入的條件是 ．
9．在
中，設角
、
、
所對的邊分別是
、
、
，若
，
且
, 則
．
10．若函數
能使得不等式
在區間
上恒成立，則實數
的取值范圍是
．
11．在平面直角坐標系中，若
為坐標原點，則、、三點在同一直線上的充要條件為存在惟一的實數
，使得
成立，此時稱實數為“向量
關于
和
的終點共線分解系數”．若已知
、
，且向量
是直線
的法向量，則“向量關于
和
的終點共線分解系數”為
．
二、選擇題（本大題滿分20分）本大題共有4題，每題有且只有一個結論是正確的，必須把正確結論的代號寫在答題紙相應的空格中. 每題選對得5分，不選、選錯或選出的代號超過一個，或者沒有填寫在題號對應的空格內，一律得零分.
12．若、
為兩條不同的直線，
、
為兩個不同的平面，則以下命題正確的是( )
A．若
，
，則
； B．若
，
，則
；
C．若，
，則； D．若
，
，則．
13．若函數
，則當
時，
可化簡為
( )
A．
； B．
； C．
； D．
．
14．設數列
的前項之和為
，若
(
)，則 ( )
A．是等差數列，但不是等比數列； B．是等比數列，但不是等差數列；
C．是等差數列，或是等比數列； D．可以既不是等比數列，也不是等差數列．
15．關于函數
和實數、的下列結論中正確的是 ( )
A．若
，則
； B．若
，則；
C．若，則
； D．若，則
.
三、解答題（本大題滿分75分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙規定的方框內寫出必要的步驟.
16. (本題滿分12分，第1小題4分，第2小題8分)
如圖，已知點
在圓柱
的底面圓上，
為圓的直徑.
（1）求證：
；
（2）若圓柱的體積
為
，
，
，求異面直線
與
所成的角（用
反三角函數值表示結果）.
17． (本題滿分14分，第1小題6分，第2小題8分)
袋中有8個僅顏色不同，其它都相同的球，其中1個為黑球，3個為白球，4個為紅球.
（1）若從袋中一次摸出2個球，求所摸出的2個球恰為異色球的概率；
（2）若從袋中一次摸出3個球，求所摸得的3球中，黑球與白球的個數都沒有超過紅球的個數的不同摸法的種數.
18. (本題滿分14分，第1小題6分，第2小題8分)
已知數列的前
項和為
，且對任意正整數，都滿足：
，其中
為實數.
（1）求數列的通項公式；
（2）若
為楊輝三角第行中所有數的和，即
，
為楊輝三角前行中所有數的和，亦即為數列
的前項和，求
的值.
19．(本題滿分17分，第1小題6分，第2小題11分)
已知函數
，
.
（1）證明：函數
在區間
上為增函數，并指出函數在區間
上的單調性；
（2）若函數的圖像與直線
有兩個不同的交點
，
，其中
，求
的取值范圍.
20. (本題滿分18分，第1小題4分，第2小題5分，第3小題9分)
如圖，已知點
，動點在軸上，點
在軸上，其橫坐標不小于零，點
在直線
上，
且滿足
，
.
（1）當點在軸上移動時，求點的軌跡；
（2）過定點
作互相垂直的直線
與
，與
（1）中的軌跡交于、兩點，與（1）中的軌跡交于
、
兩點，求四邊形
面積
的最小值；
（3）將（1）中的曲線推廣為橢圓：
，并將（2）中的定點取為焦點
，求與（2）相類似的問題的解.
上海市盧灣區2009年高考模擬考試
一、填空題（本大題共11題，每小題5分，滿分55分）
1．
2．
3．
4．
5．
6．相離 7．
8．
9．
10．
11．
二、選擇題（本大題共4題，每小題5分，滿分20分）
12．B 13． D 14．D 15．C
三、解答題（本大題滿分75分）
16．（1）證明：易知
，又由
平面
，得
，從而
平面
，故
； （4分）
（2）解：延長
交圓
于點
，連接
，
，則
，得
或它的補角為異面直線
與
所成的角.
（6分）
由題意
，解得
. （8分）
又
，
，得
，
，
（10分）
由余弦定理得
，得異面直線 與所成的角為
.
（12分）
17．解：（1）摸出的2個球為異色球的不同摸法種數為
種，從8個球中摸出2個球的不同摸法種數為
，故所求的概率為
； （6分）
（2）符合條件的摸法包括以下三種：一種是所摸得的3球中有1個紅球，1個黑球，1個白球，共有
種不同摸法，
（8分）
一種是所摸得的3球中有2個紅球，1個其它顏色球，共有
種不同摸法，
（10分）
一種是所摸得的3球均為紅球，共有
種不同摸法， （12分）
故符合條件的不同摸法共有
種.
（14分）
18．解：（1） 由已知
，
，相減得
，由
得
，又
，得
，故數列
是一個以為首項，以
為公比的等比數列.
（4分）
從而
；
（6分）
（2）
，
（7分）
又
，故
，
（11分）
于是
，
當
，即
時，
，
當
，即
時，
，
當
，即
時，
不存在. （14分）
19．（1）證明：任取
，
，且
，
.
所以
在區間
上為增函數. （5分）
函數在區間
上為減函數.
（6分）
（2）解：因為函數在區間上為增函數，相應的函數值為
，在區間上為減函數，相應的函數值為
，由題意函數的圖像與直線
有兩個不同的交點，故有
，
（8分）
易知
，
分別位于直線
的兩側，由
，得
，故
，
，又
，
兩點的坐標滿足方程
，故得
，
，即
，
，（12分）
故
，
當
時，
，
.
因此，
的取值范圍為
.
（17分）
20. 解：（1）設
，易知
，
，
，由題設
，
得
其中
，從而
，
，且
，
又由已知
，得
，
當
時，
，此時
，得
，
又
，故
，
，
即
，
，
當
時，點
為原點，
為
軸，
為
軸，點也為原點，從而點
也為原點，因此點的軌跡
的方程為，它表示以原點為頂點，以
為焦點的拋物線；
（4分）
（2）由題設，可設直線
的方程為
，直線
的方程為
，
，又設
、
，
則由
，消去，整理得
，
故
，同理
，
（7分）
則
，
當且僅當
時等號成立，因此四邊形
面積
的最小值為
.
（9分）
（3）當
時可設直線的方程為
，
由
，得
，
故
，
，
（13分）
，
當且僅當
時等號成立. （17分）
當
時，易知
，
，得
，
故當且僅當時四邊形面積有最小值
.
（18分）
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