江蘇省通州市2009年高三查漏補缺專項檢測數學試卷(考試時間:120分鐘滿分160分)——青夏教育精英家教網——

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試題

江蘇省通州市2009年高三查漏補缺專項檢測

數學試卷

（考試時間：120分鐘滿分160分）

一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分．

1．函數的定義域為 .

2．已知復數與均為純虛數，則等于．

3．已知向量，向量滿足∥，且，則= 。

4．在等比數列{a_n}中，已知a₄＋a₁₀=10，且，則= ．

5．已知命題：“，使x²+2x+a≥0”為真命題，則a的取值

范圍是．

6．如圖，程序執行后輸出的結果為．

7．下列命題正確的序號是_____ ．

（其中l，m表示直線，表示平面）

(1)若； (2)若；

(3)若； (4)若

8．用單位立方塊搭一個幾何體，使它的主視圖和俯視圖如右圖所示，

則它的體積的最大值與最小值之差為　　　　　　　．

9．已知，則當mn取得最小值時，橢圓的離心率為．

10．對任意兩個集合A、B，定義：，，設，，則

11．若，且當時，恒有，則以,b為坐標點所形成的平面區域的面積等于．

12．已知兩個不共線的向量，的夾角為，且.若點M在直線OB上，且的最小值為，則的值為．

13．設函數，若時，恒成立，則實數的取值范圍是 _ .

14．f（x）是定義在（0，＋∞）上的非負可導函數，且滿足，對任意正數a、b，若a＜b，則的大小關系為．

二、解答題：解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．

15．（本題滿分14分）在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若

（1）判斷△ABC的形狀；

（2）若的值.

16．（本題滿分14分）一個四棱錐的三視圖和直觀圖如圖所示，E為側棱PD的中點.

（1）求證：PB//平面AEC；

（2）若F為側棱PA上的一點，且，則為何值時，PA平面BDF？并求此時幾何體F―BDC的體積．

B

B

17．（本題滿分15分）已知圓A：與軸負半軸交于B點，過B的弦BE與軸正半軸交于D點，且2BD=DE，曲線C是以A，B為焦點且過D點的橢圓．

（1）求橢圓的方程；

（2）點P在橢圓C上運動，點Q在圓A上運動，求PQ+PD的最大值．

18．（本題滿分15分）

如圖所示，一條直角走廊寬為2米�，F有一轉動靈活的平板車，其平板面為矩形ABEF，它的寬為1米。直線EF分別交直線AC、BC于M、N，過墻角D作DP⊥AC于P，DQ⊥BC于Q；

⑴若平板車卡在直角走廊內，且∠，試求平板面的長(用表示)；

⑵若平板車要想順利通過直角走廊，其長度不能超過多少米?

19．（本題滿分16分）已知數列的前n項和為，點在直線上．數列滿足：，且，前9項和為153．

（1）求數列，的通項公式；

（2）設，數列的前n項和為，求使不等式對一切都成立的最大正整數的值；

（3）設^*，問是否存在，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．

20．（本題滿分16分）函數．

（1）試求f(x)的單調區間；

（2）當a>0時，求證：函數f(x)的圖像存在唯一零點的充要條件是a=1；

（3）求證：不等式對于恒成立．

數學附加題

考試時間：30分鐘滿分40分

分．每小題10分，共20分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算過程．

一、選答題：本大題共4小題，請從這4題中選做2小題．如果多做，則按所做的前兩題記

1.(選修4一l：幾何證明選講)

如圖，圓O的直徑,C為圓周上一點，,過C作圓的切線l，過A作l的垂線AD,AD分別與直線l、圓交于點D、E。求的度數與線段AE的長。

2.(選修4―2：矩陣與變換)

已知二階矩陣A的屬于特征值－1的一個特征向量為，屬于特征值3的一個特征向量為，求矩陣A．

3.(選修4―4：坐標系與參數方程)

已知直線和參數方程為 ,是橢圓上任意一點，求點到直線的距離的最大值．

4.(選修4―5：不等式選講)

已知f(x)＝定義在區間[－1，1]上,設x₁，x₂∈[－1，1]且x₁≠x₂．

(1)求證: | f(x₁)－f(x₂)|≤| x₁－x₂| (2)若a²＋b²＝1，求證：f(a)＋f(b) ≤．

選做題一：

選做題二：

二、必答題：本大題共2小題。每小題10分，共20分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算過程．

5. 將一顆質地均勻的正方體骰子（六個面的點數分別為1，2，3，4，5，6）先后拋擲兩次，記第一次出現的點數為a，第二次出現的點數為b．設復數(i是虛數單位)。

（1）求事件“為實數”的概率；

（2）求事件“”的概率。

6. 如圖，直三棱柱A₁B₁C₁―ABC中，C₁C=CB=CA=2，AC⊥CB. D、E分別為棱C₁C、B₁C₁的中點.

（1）求與平面A₁C₁CA所成角的正切值；

(2) 求二面角B―A₁D―A的平面角的正切值；

（3）在線段AC上是否存在一點F，使得EF⊥平面A₁BD？

一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分．

1．　2．2i　3．（）或（）　4．16　　5．a≥-8 6．64 7．（1）(3)(4) 8．6 9．　 10． 11．1　 12． 13．(－∞，1)

14．，提示：設，則，故為增函數，由a＜b，有，也可以考慮特例，如f(x)=x²

二、解答題：解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．

15．（1）

5分

即

為等腰三角形. 8分

（2）由（I）知

12分

14分

16．（1）由圖形可知該四棱錐和底面ABCD是菱形，且有一角為，邊長為2，

錐體高度為1。

設AC，BD和交點為O，連OE，OE為△DPB的中位線，

OE//PB， 3分

EO面EAC，PB面EAC內，PB//面AEC。 6分

（2）過O作OFPA垂足為F ,

在Rt△POA中，PO=1，AO=，PA=2，在Rt△POB中，PO=1，BO=1，PB=， 8分

過B作PA的垂線BF，垂足為F，連DF，由于△PAB≌△PAD，故DF⊥PA，DF∩BF=F，因此PA⊥面BDF. 10分

在等腰三角形PAB中解得AF=,進而得PF=

即當時，PA面BDF， 12分

此時F到平面BDC的距離FH=

14分

17．(1) 4分

橢圓方程為 7分

（2） 10分

＝2 14分

所以P在DB延長線與橢圓交點處，Q在PA延長線與圓的交點處，得到最大值為． 15分

18．（1）DM=，DN=，MF=，EN=， 4分

=EF=DM+DN-MF-EN=+－－

= （） 7分

（2）“平板車要想順利通過直角走廊”即對任意角（），平板車的長度不能超過，即平板車的長度；記，有=，

===， 10分

此后研究函數的最小值，方法很多；如換元（記，則）或直接求導，以確定函數在上的單調性；當時取得最小值。 15分

19． (1)點(n，)在直線y＝x＋上，∴＝n＋，即S_n＝n²＋n，

a_n＝n＋5． 3分

∵b_n₊₂－2b_n₊₁＋b_n＝0(nÎN^*)，∴b_n₊₂－b_n₊₁＝ b_n₊₁－b_n＝…＝ b₂－b₁．

∴數列{b_n}是等差數列，∵b₃＝11，它的前9項和為153，設公差為d，

則b₁＋2d＝11，9b₁＋×d＝153，解得b₁＝5，d＝3．∴b_n＝3n＋2． 6分

(2)由(1)得，c_n＝＝＝(－)，

∴T_n＝b₁＋b₂＋b₃＋…＋b_n＝(1－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)

＝(1－)． 9分

∵T_n＝(1－)在nÎN^*上是單調遞增的，∴T_n的最小值為T₁＝．

∵不等式T_n＞對一切nÎN^*都成立，∴＜．∴k＜19．∴最大正整數k的值為18．11分

(3) nÎN^*，f(n)＝＝

當m為奇數時，m＋15為偶數；當m為偶數時，m＋15為奇數．

若f(m＋15)＝5f(m)成立，則有3（m＋15）＋2＝5(m＋5)(m為奇數)

或m＋15＋5＝5（3m＋2）(m為偶數)． 13分

解得m＝11．所以當m＝11時，f(m＋15)＝5f(m)． 16分

20．（1）． 2分

　當時，，在上單調遞增； 3分

　當時，時，，在上單調遞減；

時，，在上單調遞增． 5分

綜上所述，當時，的單調遞增區間為；當時，的單調遞增區間為，單調遞減區間為． 6分

（2）充分性：a=1時，由（1）知，在x=1處有極小值也是最小值，

即。而在上單調遞減，在上單調遞增，

在上由唯一的一個零點x=1． 9分

必要性：=0在上有唯一解，且a>0, 由（1）知，在x=a處有極小值也是最小值f(a)，f(a)=0,即．

令，．

當時，，在上單調遞增；當a>1時，，

在上單調遞減。，=0只有唯一解a=1．

=0在上有唯一解時必有a=1． 12分

綜上：在a>0時，=0在上有唯一解的充要條件是a=1．

（3）證明：∵1<x<2,∴.

令，∴，14分

由（1）知，當a=1時，，∴，∴．

∴，∴F（x）在（1，2）上單調遞增，∴，

∴�！�． 16分

附加題答案

1．解：如圖，連結OC，因,因此,由于,

所以，又得; 5分

又因為,得,那么,

從而，于是。 10分

2．解：設A=，由題知=，=3

即， 5分

∴ ∴A= 10分

3．解：直線的參數方程為為參數）故直線的普通方程為 3分

因為為橢圓上任意點，故可設其中.

因此點到直線的距離是 7分

所以當，時，取得最大值. 10分

4. 證（1）　

∵，，

∴| f(x₁)－f(x₂)|＜| x₁－x₂| 5分

（2），∴f(a)＋f(b) ≤

∵ ，

∴ 10分

5.解：（1）為實數，即為實數， ∴b＝3 2分

又依題意，b可取1，2，3，4，5，6

故出現b＝3的概率為

即事件“為實數”的概率為 5分

（2）由已知， 6分

可知，b的值只能取1、2、3

當b＝1時，，即a可取1，2，3

當b＝2時，，即a可取1，2，3

當b＝3時，，即a可取2

由上可知，共有7種情況下可使事件“”成立 9分

又a，b的取值情況共有36種

故事件“”的概率為 10分

6.解：（1）∵A₁B₁C₁－ABC為直三棱柱 ∴CC₁⊥底面ABC ∴CC₁⊥BC

∵AC⊥CB ∴BC⊥平面A₁C₁CA

∴A₁B與平面A₁C₁CA所成角的正切值 3分

（2）分別延長AC，A₁D交于G. 過C作CM⊥A₁G 于M，連結BM

∵BC⊥平面ACC₁A₁ ∴CM為BM在平面A₁C₁CA的內射影

∴BM⊥A₁G ∴∠CMB為二面角B―A₁D―A的平面角

平面A₁C₁CA中，C₁C=CA=2，D為C₁C的中點

∴CG=2，DC=1 在直角三角形CDG中，

,

即二面角B―A₁D―A的平面角的正切值為 6分

（3）在線段AC上存在一點F，使得EF⊥平面A₁BD .

其位置為AC中點，證明如下：

∵A₁B₁C₁―ABC為直三棱柱， ∴B₁C₁//BC

∵由（1）BC⊥平面A₁C₁CA，∴B₁C₁⊥平面A₁C₁CA

∵EF在平面A₁C₁CA內的射影為C₁F ，F為AC中點 ∴C₁F⊥A₁D ∴EF⊥A₁D

同理可證EF⊥BD, ∴EF⊥平面A₁BD

∵E為定點，平面A₁BD為定平面,點F唯一 10分

解法二：（1）同解法一 3分

（2）∵A₁B₁C₁―ABC為直三棱住 C₁C=CB=CA=2 , AC⊥CB D、E分別為C₁C、B₁C₁的中點, 建立如圖所示的坐標系得

C（0，0，0） B（2，0，0） A（0，2，0）

C₁（0，0，2） B₁（2，0，2） A₁（0，2，2）

D（0，0，1） E（1，0，2）

設平面A₁BD的法向量為

平面ACC₁A₁的法向量為=（1，0，0）

即二面角B―A₁D―A的平面角的正切值為 6分

（3）在線段AC上存在一點F，設F（0，y，0）使得EF⊥平面A₁BD

欲使EF⊥平面A₁BD 由（2）知，當且僅當//

∴存在唯一一點F（0，1，0）滿足條件. 即點F為AC中點 10分

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