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揚州市2008―2009學年度第二學期高三第三次調研測試試題
2009.5
全卷分兩部分：第一部分為所有考生必做部分（滿分160分，考試時間120分鐘），第二部分為選修物理考生的加試部分（滿分40分，考試時間30分鐘）．
注意事項：
1． 答卷前，請考生務必將自己的學校、姓名、考試號等信息填寫在答卷規定的地方．
2．第一部分試題答案均寫在答題卷相應位置，答在其它地方無效．
3．選修物理的考生在第一部分考試結束后，將答卷交回，再參加加試部分的考試．
參考公式：
第 一 部 分
一、填空題（本大題共14小題，每小題5分，共70分，請將答案填寫在答題卷相應的位置上）
1． 已知全集為R，若集合，，則 ▲ ．
試題詳情
2． 在上的單調遞增區間是 ▲ ．
3． 已知函數，則 ▲ ．
4． 已知變量滿足，則的最大值是 ▲ ．
5． 已知集合在平面直角坐標系中，點的坐標。則點M不在x軸上的概率是 ▲ ．
6． 已知函數，，的零點依次為，則由小到大的順序是 ▲ ．
7． 如圖，程序執行后輸出的結果為 ▲ ．
8． 拋物線的焦點到雙曲線的一條漸近線的距離為，則此拋物線的方程為 ▲ ．
9． 揚州市統計局就某地居民的月收入調查了人，并根據所得數據畫了樣本的頻率分布直方圖（每個分組包括左端點，不包括右端點，如第一組表示收入在）。為了分析居民的收入與年齡、職業等方面的關系，必須按月收入再從這人中分層抽樣抽出人作進一步分析，則月收入在的這段應抽 ▲ 人．
10． 在所有棱長都相等的三棱錐P―ABC中，D、E、F分別是AB、BC、CA的中點，下面四個命題：
①BC∥平面PDF ②DF∥平面PAE
③平面PDF⊥平面ABC ④平面PDF⊥平面PAE
其中正確命題的序號為 ▲ ．
11． 如果滿足∠ABC=60°，， 的△ABC只有兩個，那么的取值范圍是 ▲ ．
12． 如圖,在中，，是邊上一點，，則 ▲ ．
13． 有如下結論：“圓上一點處的切線方程為”，類比也有結論：“橢圓處的切線方程為”，過橢圓C：的右準線l上任意一點M引橢圓C的兩條切線，切點為 A、B.直線AB恒過一定點 ▲ ．
14． 已知一個 數列的各項是1或2，首項為1，且在第個1和第個1之間有個2，即則該數列前2009項的和=
▲ ．
二、解答題：（本大題共6道題，計90分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）
15．（本題滿分14分）
在△ABC中，BC=1，，
（Ⅰ）若，求AB；
（Ⅱ）若，求．
16．（本題滿分14分）
已知三棱柱ABC―A1B1C1的三視圖如圖所示，其中主視圖AA1B1B和左視圖B1BCC1均為矩形，D是底面邊AB的中點．
(Ⅰ) 在三棱柱ABC―A1B1C1中，求證：AC1∥平面CDB1；
(Ⅱ) 是棱AA1上一點，，AC=BC，求證DE⊥B1C．
17．（本題滿分15分）
諾貝爾獎發放方式為：每年一次，把獎金總金額平均分成6份，獎勵在6項（物理、化學、文學、經濟學、生理學和醫學、和平）為人類作出了最有益貢獻的人.每年發放獎金的總金額是基金在該年度所獲利息的一半，另一半利息用于增加基金總額，以便保證獎金數逐年遞增。假設基金平均年利率為。資料顯示：1999年諾貝爾獎發獎后基金總額約為19800萬美元。設表示為第()年諾貝爾獎發獎后的基金總額(1999年記為)。
（Ⅰ）用表示與，并根據所求結果歸納出函數的表達式。
（Ⅱ）試根據的表達式判斷網上一則新聞 “2009年度諾貝爾獎各項獎金高達150萬美元”是否為真，并說明理由。
（參考數據：，）
18．（本題滿分15分）
如圖，已知橢圓的左頂點，右焦點分別為，右準線為。圓D：。
（Ⅰ）若圓D過兩點，求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若直線上不存在點Q，使為等腰三角形，求橢圓離心率的取值范圍。
（Ⅲ）在（Ⅰ）的條件下，若直線與軸的交點為，將直線繞順時針旋轉得直線，動點P在直線上，過P作圓D的兩條切線，切點分別為M、N，求弦長MN的最小值。
19．（本題滿分16分）
如圖，在直角坐標系中，有一組底邊長為的等腰直角三角形，底邊依次放置在軸上（相鄰頂點重合），點的坐標為，。
（Ⅰ）若在同一條直線上，求證數列是等比數列；
（Ⅱ）若是正整數，依次在函數的圖象上，且前三個等腰直角三角形面積之和不大于，求數列的通項公式。
20．（本題滿分16分）
已知函數
（Ⅰ）設，求的取值范圍；
（Ⅱ）關于的方程，，存在這樣的值，使得對每一個確定的，方程都有唯一解，求所有滿足條件的。
（Ⅲ）證明：當時，存在正數，使得不等式，成立的最小正數，并求此時的最小正數。
第二部分（加試部分）
（總分40分，加試時間30分鐘）
答卷前，請考生務必將自己的學校、姓名、考試號等信息填寫在答卷密封線內．解答過程應寫在答題卷的相應位置上，在其它地方答題無效。
【選做題】在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每題10分，共計20分.請在答題紙指定區域內作答，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
21．A.選修4―1：幾何證明選講
已知：如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，O是AB上一點，以O為圓心，OB為半徑的圓與AB交于點E，與AC切于點D，連結DB、DE、OC。若AD＝2，AE＝1，求CD的長。
B.選修4―2：矩陣與變換
變換是逆時針旋轉的旋轉變換，對應的變換矩陣是；變換對應用的變換矩陣是。
（Ⅰ）求點在作用下的點的坐標；
（Ⅱ）求函數的圖象依次在，變換的作用下所得曲線的方程。
C.選修4―4：極坐標與參數方程
求以點為圓心，且過點的圓的極坐標方程。
D.選修4―5：不等式選講
證明不等式：
【必做題】第22題、第23題，每題10分，共計20分. 請在答題紙指定區域內作答，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
22．過點A（2，1）作曲線的切線l．
（Ⅰ）求切線l的方程；
（Ⅱ）求切線l，x軸及曲線所圍成的封閉圖形的面積S．
23．某地區試行高考考試改革：在高三學年中舉行4次統一測試，學生如果通過其中2次測試即可獲得足夠學分升上大學繼續學習，不再參加其余的測試，而每個學生最多也只能參加4次測試。假設某學生每次通過測試的概率都是，每次測試時間間隔恰當，每次測試通過與否互相獨立.
（Ⅰ）求該學生在前兩次測試中至少有一次通過的概率；
（Ⅱ）如果考上大學或參加完4次測試，那么測試就結束.記該生參加測試的次數為，求的分布列及的數學期望.
揚州市2008―2009學年度第二學期調研測試
一、填空題：
1． 2． 3．1 4．16
5． 6． 7．64 8．
9．25 10．①④ 11． 12．
13． 14．
二、解答題：
15．解：（Ⅰ）依題意：，
即，解之得，（舍去） …………………7分
（Ⅱ），∴ ，， ………………………9分
∴ …………………………………11分
． ……………………………………………14分
16．解：（Ⅰ）因為主視圖和左視圖均為矩形、所以該三棱柱為直三棱柱．
連BC1交B1C于O，則O為BC1的中點，連DO。
則在中，DO是中位線，
∴DO∥AC1． ………………………………………………………4分
∵DO平面DCB1，AC1平面DCB1，
∴AC1∥平面CDB1． ………………………………………………………7分
（Ⅱ）由已知可知是直角三角形，．
∵ ，
∴ 平面，平面，
∴ 。
∴ 平面，
又平面，
17．解：（Ⅰ）由題意知：，
一般地： ，…4分
∴ （）�！�7分
（Ⅱ）2008年諾貝爾獎發獎后基金總額為：
，…………………………………………10分
2009年度諾貝爾獎各項獎金額為萬美元， ………12分
與150萬美元相比少了約14萬美元。 …………………………………………14分
答：新聞 “2009年度諾貝爾獎各項獎金高達150萬美元”不真，是假新聞。……15分
18．解：（Ⅰ）圓與軸交點坐標為，
，，故， …………………………………………2分
所以，
橢圓方程是： …………………………………………5分
（Ⅱ）設直線與軸的交點是，依題意，
即,
,
（Ⅲ）直線的方程是，…………………………………………………6分
圓D的圓心是，半徑是，……………………………………………8分
設MN與PD相交于，則是MN的中點，且PM⊥MD，
……10分
當且僅當最小時，有最小值，
最小值即是點到直線的距離是，…………………12分
所以的最小值是。 ……………………………15分
19．解：（Ⅰ）點的坐標依次為，，…，
，…， ……………………………2分
則，…，
若共線；則，
即，
即， ……………………………4分
，
所以數列是等比數列。 ……………………………………………6分
（Ⅱ）依題意，
兩式作差，則有：， ………………………8分
又，故， ……………………………………………10分
即數列是公差為的等差數列；此數列的前三項依次為
由，可得，
故，或，或。 ………………………………………12分
數列的通項公式是，或，或。 ………14分
由知，時，不合題意；
時，不合題意；
時，；
所以，數列的通項公式是。 ……………………………………16分
20．解：（Ⅰ）函數定義域，
， ……………………………………………4分
（Ⅱ），由（Ⅰ）
，，
，單調遞增，
所以。
設，
則，
即，也就是。
所以，存在值使得對一個，方程都有唯一解�！�10分
（Ⅲ），
以下證明，對的數及數，不等式不成立。
反之，由，亦即成立，
因為，，
但，這是不可能的。這說明是滿足條件的最小正數。
這樣不等式恒成立，
即恒成立，
∴ ，最小正數=4 �！�16分
21．（A）解：AD2=AE?AB，AB=4，EB=3 ……………………………………4分
△ADE∽△ACO， ……………………………………………8分
CD=3 ……………………………………………10分
（B）解：（Ⅰ），
所以點在作用下的點的坐標是。…………………………5分
（Ⅱ），
設是變換后圖像上任一點，與之對應的變換前的點是，
也就是，即，
所以，所求曲線的方程是�！�10分
（C）解：由已知圓的半徑為，………4分
又圓的圓心坐標為，所以圓過極點，
所以，圓的極坐標方程是�！�10分
（D）證明：
＜ ……………………………………6分
=2－
＜2 ……………………………………10分
22．解：（Ⅰ）∵，∴，
∴切線l的方程為，即．……………………………………………4分
（Ⅱ）令＝0，則．令＝0，則x＝1．
∴A＝＝＝．………………10分
23．解：（Ⅰ）記“該生在前兩次測試中至少有一次通過”的事件為事件A，則
P(A)=
答：該生在前兩次測試中至少有一次通過的概率為。 …………………………4分
（Ⅱ）參加測試次數的可能取值為2，3，4，
， ……………………………………………7分
故的分布列為：
2
3
4
……………………………………………10分
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全卷分兩部分：第一部分為所有考生必做部分（滿分160分，考試時間120分鐘），第二部分為選修物理考生的加試部分（滿分40分，考試時間30分鐘）．
，
，則
▲ ．
在
上的單調遞增區間是 ▲ ．
，則
▲ ．
已知變量
滿足
，則
的最大值是 ▲ ．
在平面直角坐標系中，點
的坐標
。則點M不在x軸上的概率是 ▲ ．
，
，
的零點依次為
的焦點到雙曲線
的一條漸近線的距離為
，則此拋物線的方程為 ▲ ．
人，并根據所得數據畫了樣本的頻率分布直方圖（每個分組包括左端點，不包括右端點，如第一組表示收入在
）。為了分析居民的收入與年齡、職業等方面的關系，必須按月收入再從這
人作進一步分析，則月收入在
的這段應抽 ▲ 人． 
， 
的△ABC只有兩個，那么
的取值范圍是 ▲ ．
中，
，
是邊
上一點，
，則
▲ ．
上一點
處的切線方程為
”，類比也有結論：“橢圓
處的切線方程為
”，過橢圓C：
的右準線l上任意一點M引橢圓C的兩條切線，切點為 A、B.直線AB恒過一定點 ▲ ．
個1和第
個1之間有
個2，即
則該數列前2009項的和
=
，
，求AB；
，求
．
16．（本題滿分14分）
邊AB的中點．
是棱AA1上一點，
，AC=BC，求證DE⊥B
。資料顯示：1999年諾貝爾獎發獎后基金總額約為19800萬美元。設
表示為第
(
)年諾貝爾獎發獎后的基金總額(1999年記為
)。
表示
與
，并根據所求結果歸納出函數
，
）
如圖，已知橢圓
的左頂點，右焦點分別為
，右準線為
。圓D：
。
為等腰三角形，求橢圓離心率的取值范圍。
，將直線
繞
得直線
中，有一組底邊長為
的等腰直角三角形
，底邊
依次放置在
軸上（相鄰頂點重合），點
的坐標為
，
。
在同一條直線上，求證數列
是等比數列；
是正整數，
的圖象上，且前三個等腰直角三角形面積之和不大于
，求數列
，求
的取值范圍； 
的方程
，
，存在這樣的
值，使得對每一個確定的
時，存在正數
，使得不等式
，成立的最小正數
，并求此時的最小正數
已知：如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，O是AB上一點，以O為圓心，OB為半徑的圓與AB交于點E，與AC切于點D，連結DB、DE、OC。若AD＝2，AE＝1，求CD的長。
是逆時針旋轉
的旋轉變換，對應的變換矩陣是
；變換
對應用的變換矩陣是
。
在
的坐標；
為圓心，且過點
的圓的極坐標方程。
的切線l．
，每次測試時間間隔恰當，每次測試通過與否互相獨立.
，求
2．
3．1 4．16
6．
7．64 8．
12． 
14．
，
，解之得
，
（舍去） …………………7分
，∴ 
，
， ………………………9分
…………………………………11分
． ……………………………………………14分
中，DO是中位線，
平面DCB1，AC1
平面DCB1，
是直角三角形，
．
，
平面
，
平面
。
，
平面
，
平面
。
，
，…4分
（
）�！�7分
，…………………………………………10分
萬美元， ………12分
與
軸交點坐標為，
，
，故
， …………………………………………2分
，
…………………………………………5分
與
，依題意
，
,
,
,
,
的方程是
，…………………………………………………6分
，半徑是
，……………………………………………8分
，則
……10分
最小時，
有最小值，
到直線
，…………………12分
。 ……………………………15分
點的坐標依次為
，
，…，
，…，
……………………………2分
，
…，
共線；則
，
，
， ……………………………4分
，
，
是等比數列。
……………………………………………6分
，
，
， ………………………8分
，故
， ……………………………………………10分
的等差數列；此數列的前三項依次為
，
，可得
，
，或
，或
。
………………………………………12分
，或
，或
。 ………14分
知，
不合題意；
不合題意；
； 
，
， ……………………………………………4分
，由（Ⅰ）
，
，
，
單調遞增，
。
，
，
，也就是
。
值使得對一個
，方程都有唯一解
�！�10分
，
，
的數
及數
，不等式
不成立。
成立，
，
，
，這是不可能的。這說明
恒成立，
，最小正數
=4 �！�16分
，
在
作用下的點
的坐標是
。…………………………5分
，
是變換后圖像上任一點，與之對應的變換前的點是
，
，
，即
，
�！�10分
，………4分
，所以圓過極點，
�！�10分
……………………………………6分
，∴
，
，即
．……………………………………………4分
＝0，則
．令
＝
＝
．………………10分
。 …………………………4分
的可能取值為2，3，4，
，
，
， ……………………………………………7分
……………………………………………10分