2009年福建省廈門市高三質量檢查測試二
數學（理科）試題
本試卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．
滿分為150分，考試時間120分鐘．
注意事項：
1． 考生將自己的姓名、準考證號及所有答案均填寫在答題卡上；
2． 答題要求，見答題卡上的“填涂樣例”和“注意事項”.
參考公式：
如果事件A、B互斥，那么P（A+B）=P（A）+P（B）
如果事件A、B相互獨立，那么P（A?B）=P（A）?P（B）
如果事件A在一次試驗中發生的概率是P，那么n次獨立重復試驗中恰好發生k次的概率Pn(k)=CnkPk(1－P)n-k
球的表面積公式：S=4πR2，其中R表示球的半徑.
球的體積公式：V=
πR3，其中R表示球的半徑.
第I卷（選擇題 共60分）
一、選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1．在等差數列{an}中，如果a4＋a7＋a10＝15，
，
，那么k等于（ ）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
A．14 B．
2
設a>0，b>0，則以下不等式中不恒成立的是 （ ）
A．(a＋b)(＋)≥4
B．a3＋b3≥2ab
3．已知A，B，C，D，E，F，G七個元素排成一排，要求A排在正中間，且B，C相鄰，則不同的排法有（ ）
A．48種 B．96種 C．192種 D．240種
4．設f(x)是定義在R上單調遞減的奇函數．若x1＋x2＞0，x2＋x3＞0，x3＋x1＞0，則（ ）
A．f(x1)＋f(x2)＋f(x3)＜0 B．f(x1)＋f(x2)＋f(x3)＞0
C．f(x1)＋f(x2)＋f(x3)＝0 D．f(x1)＋f(x2)＞f(x3)
5．已知函數
，則使得f（x）≥1的自變量x的取值范圍為（ ）
A．（－∞，－2]
[0，10] B．（－∞，－2][0，1]
C．（－∞，－2][1，10] D．[－2，0][1，10]
6．在△ABC中，tanA＝，cosB＝．若最長邊為1，則最短邊的長為 （ ）
A． B． C． D．
7．設 
，那么 
的最小值是（ ）
A．2
B．
8．已知拋物線y2＝8x，O是坐標原點，F是焦點，P是拋物線上的點，使得△POF是直角三角形，則這樣的P點共有 （ ）
A．0個 B．2個 C．4個 D．6個
9．某同學做了10道選擇題，每道題四個選擇項中有且只有一項是正確的，他每道題都隨意地從中選了一個答案．記該同學至少答對9道題的概率為p，則下列數據中與p最接近的是（ ）
A．
B．
C．
D．
*10．6件產品中有4件合格品， 2件次品．為找出2件次品，每次任取一個檢驗，檢驗后不再放回，恰好經過4次檢驗找出2件次品的概率為（ ）
A．
B．
C．
D．
*11．設四棱錐
的底面不是平行四邊形，用平面 
去
截此四棱錐，使得截面四邊形是平行四邊形，則這樣的平面（ ）
A．不存在 B．只有1個 C．恰有4個 D．有無數多個
*12．設函數y=f (x)滿足f (x+1)=f (x)+1，則方程f (x)=x的根的個數
是 （ ）
A．無窮個 B．沒有或者有限個 C．有限個 D．沒有或者無窮個
第Ⅱ卷（非選擇題 共90分）
二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分．在答題卡上的相應題目的答題區域內作答．
13． 
R) 的最小值是
．
*14．設集合A＝{x|log(3－x)≥－2}，B＝{x|≥1}，若A∩B＝Æ，則實數a的取值范圍是_______．
*15．已知函數
，若
，則實數a=
．
*16．函數f(x)＝xn＋(1－x)n，x∈(0，1)，n∈N*．記y＝f(x)的最小值為an，則a1＋a2＋…＋a6＝___．
三、解答題：本大題共6小題，共74分，解答題應寫出文字說明，證明過程或演算步驟，在答題卡上相應題目的答題區域內作答.
17．（12分）已知△ABC中，A，B，C的對邊分別為a，b，c，且()2＝?＋?＋?．
（Ⅰ）判斷△ABC的形狀，并求sinA＋sinB的取值范圍；
*（Ⅱ）若不等式a2(b＋c)＋b2(c＋a)＋c2(a＋b)≥kabc，對任意的滿足題意的a，b，c都成立，求k的取值范圍．
18．（12分）一個口袋中裝有
個紅球（
且
N）和5個白球，一次摸獎從中摸兩個球，兩個球顏色不同則為中獎．
（Ⅰ）試用表示一次摸獎中獎的概率
；
（Ⅱ）若
，求三次摸獎（每次摸獎后放回）恰有一次中獎的概率；
（Ⅲ) 記三次摸獎（每次摸獎后放回）恰有一次中獎的概率為
．當取多少時，最大？
19．（12分）定義域均為R的奇函數f(x)與偶函數g(x)滿足f(x)＋g(x)＝10x．
（Ⅰ）求函數f(x)與g(x)的解析式；
（Ⅱ）求函數f(x)的反函數；
（Ⅲ）證明：g(x1)＋g(x2)≥
*（Ⅳ）試用f(x1)，f(x2)，g(x1)，g(x2)表示f(x1－x2)與g(x1＋x2)．
20．（12分）某工廠有一個容量為300噸的水塔，每天從早上6時起到晚上10時止供應該廠的生產和生活用水，已知該廠生活用水為每小時10噸，工業用水量W（噸）與時間t（小時，且規定早上6時t＝0）的函數關系為W＝100
．水塔的進水量分為10級，第一級每小時進水10噸，以后每提高一級，每小時進水量就增加10噸．若某天水塔原有水100噸，在開始供水的同時打開進水管，問進水量選擇為第幾級時，既能保證該廠的用水（水塔中水不空）又不會使水溢出?
21．（12分）設O為坐標原點，A(－，0)，點M在定直線x＝－p（p＞0）上移動，點N在線段MO的延長線上，且滿足＝．
（Ⅰ）求動點N的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線？
（Ⅱ）若|AN|的最大值≤，求p的取值范圍．
22．（14分）已知等差數列
的首項為a，公差為b；等比數列
的首項為b，公比為a，其中a，
，且
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若對于任意
N*，總存在
N*，使
，求b的值；
（Ⅲ)甲說：一定存在
使得
對N*恒成立；乙說：一定存在使得
對N*恒成立．你認為他們的說法是否正確？為什么？
2009年廈門市高三質量檢查測試二
一、選擇題：（本大題12個小題，每小題5分，共60分）
1．B．2．B．3．C．4．A．5．A．6．D．7．C．8．B．9．B．10．C．11．D．12．D．
二、填空題：（本大題4個小題，每小題4分，共16分）
13．； 14．(－∞，－1]∪[3，＋∞)∪{0}； 15．1，－1，2，－2； 16．
三、解答題：（本大題6個小題，共74分）
17．（12分）
解：（Ⅰ）∵()2＝?＋?＋?，∴ ()2＝?(＋)＋? ，
即()2＝?＋?，即?＝0．∴△ABC 是以C為直角頂點的直角三角形．
∴sinA＋sinB＝sinA＋cosA＝sin(A＋)，A∈(0，) ，
∴sinA＋sinB的取值范圍為
．
（Ⅱ）在直角△ABC中， a＝csinA，b＝ccosA．
若a2(b＋c)＋b2(c＋a)＋c2(a＋b)≥kabc，對任意的滿足題意的a、b、c都成立，
則有≥k，對任意的滿足題意的a、b、c都成立，
∵
＝[c2sin
＝[ sin2AcosA＋cos
令t＝sinA＋cosA，t∈，
設f(t)＝＝t＋＝t＋＝t－1＋＋1．
f(t)＝t－1＋＋1，當t－1∈
時
f(t)為單調遞減函數，
∴當t＝時取得最小值，最小值為2＋3，即k≤2＋3．
∴k的取值范圍為（－∞，2＋3]．
命題意圖：本題是平面向量與三角函數相結合的問題，運用平面向量的運算的意義轉化為三角函數的邊角關系，進而運用三角函數的圖象與性質求值域．第Ⅱ小題將不等式恒成立的問題轉化為求三角函數的最值，其中運用了換元法．
18．（12分）
解：（Ⅰ）一次摸獎從
個球中任選兩個，有
種，它們等可能，其中兩球不同色有
種，一次摸獎中獎的概率
．
（Ⅱ）若
，一次摸獎中獎的概率
，三次摸獎是獨立重復試驗，三次摸獎（每次摸獎后放回）恰有一次中獎的概率是
．
(Ⅲ)設每次摸獎中獎的概率為
，則三次摸獎（每次摸獎后放回）恰有一次中獎的概率為
，
，
，知在
上
為增函數，在
上為減函數，當
時取得最大值．又
，解得
．
答：當時，三次摸獎（每次摸獎后放回）恰有一次中獎的概率最大．
命題意圖：本題是一個在等可能性事件基礎上的獨立重復試驗問題，體現了不同概型的綜合．第Ⅲ小題中的函數是三次函數，運用了導數求三次函數的最值．如果學生直接用
代替，函數將比較煩瑣，這時需要運用換元的方法，將看成一個整體，再求最值．
19．（12分）
（Ⅰ）解：∵f(x)＋g(x)＝10x ①，∴f(－x)＋g(－x)＝10－x，∵f(x)為奇函數，g(x)為偶函數，∴f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，∴－f(x)＋g(x)＝10－x ②，由①，②解得f(x)＝(10x－)，g(x)＝(10x＋)．
（Ⅱ）由y＝(10x－)得，(10x)2－2y×10x－1＝0，解得10x＝y±，
∵10x＞0，∴10x＝y＋，x＝lg(y＋)，∴f(x)的反函數為f－1(x)＝lg(x＋)．x∈R．
（Ⅲ）解法一：g(x1)＋g(x2)＝(10＋)＋(10＋)＝(10＋10)＋(＋)
≥×2＋×2＝10＋＝
解法二：[g(x1)＋g(x2)]－
＝－＝
＝≥＝0．
（Ⅳ）f(x1－x2)＝f(x1)g(x2)－g(x1)f(x2)，g(x1＋x2)＝g(x1)g(x2)－f(x1)f(x2)．
命題意圖：考查函數的函數解析式，奇函數，單調性，反函數等常規問題的處理方法，第（Ⅲ）問，第（Ⅳ）問把函數與不等式的證明，函數與指對式的化簡變形結合起來，考查學生綜合應用知識的能力．
20．（12分）
解：設進水量選第x級，則t小時后水塔中水的剩余量為：
y＝100＋10xt－10t－100
，且0≤t≤16．
根據題意0＜y≤300，∴0＜100＋10xt－10t－100≤300．?
當t＝0時，結論成立．
當t＞0時，由左邊得x＞1＋10(
)
令m=
，由0＜t≤16，m ≥
，
記f(t)=1＋10（）=1＋），
則f¢(t)=
．
∵當≤m ＜時，f¢(t)＞0；當m ＞時，f¢(t)＜0，
∴所以m =時(此時t =
)，f(t)最大值=1＋10（）2－10（）3=
≈2.48．
當t＝時，1＋10（）有最大值2.48．∴x＞2.48，即x≥3．
由右邊得x≤
＋1，
當t＝16時，＋1有最小值
＋1=
∈(3，4)．即x≤3．
21．（12分）
（Ⅰ）解：設N(x0，y0)，（x0＞0），則直線ON方程為y＝x，與直線x＝－p交于點M(－p，－)，代入＝得，＝，
或＝．
化簡得(p2－1)x02＋p2y02＝p2－1．
把x0，y0換成x，y得點N的軌跡方程為(p2－1)x2＋p2y2＝p2－1．(x＞0)
（1）當0＜p＜1時，方程化為x2－＝1表示焦點在x軸上的雙曲線的右支；
（2）當p＝1時，方程化為y＝0，表示一條射線（不含端點）；
（3）當p＞1時，方程化為x2＋＝1表示焦點在x軸上的橢圓的右半部分．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知|AN|＝＝
＝＝x0＋1．
當0＜p＜1時，因x0∈[1，＋∞)，故|AN|無最大值，不合題意．
當p＝1，因x0∈(0，＋∞)，故|AN|無最大值，不合題意．
當p＞1時，x0∈(0，1]，故當x0＝1時，|AN|有最大值＋1，由題意得＋1≤，
解得p≥2．所以p的取值范圍為[2，＋∞)．
命題意圖：通過用設點，代換，化簡，檢驗等步驟求曲線方程，考查解析幾何中已知曲線求方程的能力，并結合含參數的方程表示的曲線類型的討論考查學生的分類討論思想的應用．
22．（14分）
解：（Ⅰ）∵ 
，a，
N*，
∴ 
∴ 
∴ 
∴ 
∴ a＝2或a＝3．
∵當a＝3時，由
得
，即
，與
矛盾，故a＝3不合題意．
∴a＝3舍去， ∴a＝2．
（Ⅱ）
，
，由
可得
．
∴
．∴
是5的約數，又
，∴ b＝5 ．
(Ⅲ)若甲正確，則存在（）使
，即
對
N*恒成立，
當
時，
，無解，所以甲所說不正確．
若乙正確，則存在（）使
，即
對N*恒成立，
當
時，
，只有在
時成立，
而當
時
不成立，所以乙所說也不成立．
命題意圖：本題首先考查等差數列、等比數列的基本量、通項，結合含兩個變量的不等式的處理問題，用兩邊夾的方法確定整數參數．第Ⅲ小題對數學思維的要求比較高，要求學生理解“存在”、“恒成立”，以及運用一般與特殊的關系進行否定，本題有一定的探索性．
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