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2008~2009學年度第一學期高三期中聯考
數學試題
本試卷滿分160分，考試時間120分鐘．解答直接做在答題紙上．
一、
YCY
1．已知集合，，則__ ▲ ．
2．復數在復平面上對應的點位于第 __ ▲ 象限．
3．根據表格中的數據，可以判定方程的一個零點所在的區間為，則的值為__ ▲ ．
x
－1
0
1
2
3
0.37
2.72
7.39
20.09
4
5
4. 若x, y滿足條件的最大值等于 ▲ ．
5．設則tan的值等于__ ▲ ．
6．設是定義在上的奇函數，且當時，，則__▲___．
7．在△ABC中，BC=1，，當△ABC的面積等于時，__ ▲ ．
8．若曲線在點P處的切線平行于直線3x－y＝0，則點P的坐標為 ▲ ．
9．設是一次函數，，且成等比數列，則…_ ▲ ．
10．函數的圖象恒過定點，若點在一次函數的圖象上，其中，則的最小值為__ ▲ ．
11．設O是△ABC內部一點，且的面積之比為__▲ ．
12．若函數是定義在（0，+）上的增函數，且對一切x>0,y>0滿足，則不等式的解集為__ ▲ ．
13.第29屆奧運會在北京舉行.設數列=，定義使為整數的實數k為奧運吉祥數，則在區間[1，2008]內的所有奧運吉祥數之和為____▲____．
14．給出定義：若（其中為整數），則叫做離實數 最近的整數，記作，即 . 在此基礎上給出下列關于函數的四個命題： ①函數的定義域是R，值域是[0，]；
②函數的圖像關于直線(k∈Z)對稱；
③函數是周期函數，最小正周期是1；
④ 函數在上是增函數；
則其中真命題是__ ▲ ．
二、解答題：本大題共6小題，共90分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15．（本題滿分14分）已知向量，，函數．
試題詳情
（1）求的最大值及相應的的值；
（2）若，求的值．
16．(本題滿分14分) 已知mÎR，設P：不等式；Q：函數在(－¥,+¥)上有極值．求使P正確且Q正確的m的取值范圍．
17．(本題滿分14分)已知函數的圖象關于原點對稱．
(1) 求m的值；
(2)判斷函數在區間上的單調性并加以證明；
(3)當的值域是，求與的值.
18．（本小題滿分16分）設數列的前項和為，且；數列為等差數列，且，.
(1)求數列的通項公式；
(2)若，為數列的前項和. 求證：.
19．(本題滿分16分) 徐州、蘇州兩地相距500千米，一輛貨車從徐州勻速行駛到蘇州，規定速度不得超過100千米/小時．已知貨車每小時的運輸成本（以元為單位）由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度v(千米/時)的平方成正比，比例系數為0.01；固定部分為a元(a>0)．
（1）把全程運輸成本y（元）表示為速度v（千米/時）的函數，并指出這個函數的定義域；
（2）為了使全程運輸成本最小，汽車應以多大速度行駛？
20．（本題滿分16分）已知．
(1) 求函數在上的最小值；
(2) 對一切，恒成立，求實數a的取值范圍；
(3) 證明: 對一切，都有成立．
一、填空題：
1. 2. 三 3. 1 4. 25 5. 6. -1 7. 8. (1,0)
9. 10. 8 11. 1 12. （0，2） 13. 2026 14. ①②③
二、解答題：
15. 解：（1）因為，，所以
…………………………4分
……………………………………………………..6分
因此，當，即（）時，取得最大值；…8分
（2）由及得，兩邊平方得
，即．……………………………………………12分
因此，．……………………………14分
16.解：由已知不等式得
�、�
或 ②
不等式①的解為
不等式②的解為或…………………………………………………4分
因為，對或或時，P是正確的………………………..6分
對函數求導…8分
令，即
當且僅當D>0時，函數f()在(－¥,+¥)上有極值
由得或，
因為，當或時，Q是正確的………………………………………………12分
綜上，使P正確且Q正確時，實數m的取值范圍為(-¥,-1)È……….14分
17.解：（1）因為函數的圖象關于原點對稱，所以即，
，得或……………………………………….2分
當時，舍去；
當時，，令，解得或.
所以符合條件的m值為-1 …………………………………………………………………4分
（2）由（1）得，任取，
……………………6分
∴，
∴………………………………………………………………….8分
∴當時，即，此時為增函數；
當時，即，此時為減函數…10分
（3）由（2）知，當時在上為減函數；同理在上也為減函數
當時，與已知矛盾，舍去；………………12分
當時，因為函數的值域為
∴且，解得，……………………………………14分
18.解：（1）由，令，則，又，所以.
，則. …………………………………………………………………………………….2分
當時，由，可得. 即..6分
所以是以為首項，為公比的等比數列，于是. ……8分
（2）數列為等差數列，公差,可得. ….10分
從而. ……………………………………………..12分
∴……….16分
19.解：（1）依題意知汽車從甲地勻速行駛到乙地所用時間為，全程運輸成本為 ……………………………………….4分
故所求函數及其定義域為 ………………………….6分
(2)依題意知a，v都為正數，故有
當且僅當．即時上式中等號成立………………………...8分
（1）若，即時則當時，全程運輸成本y最小.10分
（2）若，即時，則當時，有
.
。也即當v=100時，全程運輸成本y最�。�.14分
綜上知，為使全程運輸成本y最小，當時行駛速度應為千米/時；
當時行駛速度應為v=100千米/時。………………………………………………16分
20．解： (1) ，當，，單調遞減，當，，單調遞增．………………………………………………………………..2分
① ，t無解；
② ，即時，；
③ ，即時，在上單調遞增，；
所以．…………………………………………………………..6分
(2) ，則，………………………………………..8分
設，則，，，單調遞減，，，單調遞增，所以……………………….10分
因為對一切，恒成立，所以；………………..12分
（3） 問題等價于證明，由⑴可知的最小值是，當且僅當時取到………………………………………………………….14分
設，則，易得，當且僅當時取到，從而對一切，都有成立．……………………………..16分
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，
，則
__ ▲ ．
在復平面上對應的點位于第 __ ▲ 象限．
的一個零點所在的區間為
，則
的值為__ ▲ ．
的最大值等于 ▲ ．
則tan
的值等于__ ▲ ．
是定義在
上的奇函數，且當
時，
，則
__▲___．
，當△ABC的面積等于
時，
__ ▲ ．
在點P處的切線平行于直線3x－y＝0，則點P的坐標為 ▲ ．
是一次函數，
，且
成等比數列，則
…
_ ▲ ．
的圖象恒過定點
，若點
的圖象上，其中
，則
的最小值為__ ▲
．
的面積之比為__▲ ．
）上的增函數，且對一切x>0,y>0滿足
，則不等式
的解集為__ ▲ ．
=
，定義使
為整數的實數k為奧運吉祥數，則在區間[1，2008]內的所有奧運吉祥數之和為____▲____．
（其中
為整數），則
最近的整數，記作
，即 
. 在此基礎上給出下列關于函數
的四個命題：
的定義域是R，值域是[0，
]；
(k∈Z)對稱；
在
上是增函數；
，
，函數
．
的最大值及相應的
的值；
，求
的值．
；Q：函數
在(－¥,+¥)上有極值．求使P正確且Q正確的m的取值范圍．
的圖象關于原點對稱． 
在區間
上的單調性并加以證明；
的值域是
，求
與
的值.
的前
項和為
，且
；數列
為等差數列，且
，
.
，
為數列
的前
.
．
上的最小值；
，
恒成立，求實數a的取值范圍；
成立．
2. 三 3. 1 4. 25 5. 
6. -1 7. 
8. (1,0) 
10. 8 11. 1 12. （0，2） 13. 2026 14. ①②③
，
，所以
…………………………4分
……………………………………………………..6分
，即
（
）時，
取得最大值
；…8分
及
得
，兩邊平方得
，即
．……………………………………………12分
．……………………………14分
�、�
②
或
求導
…8分
，即
得
或
，
的圖象關于原點對稱，所以
即
，
，得
或
……………………………………….2分
時，
舍去；
，令
，解得
或
.
，任取
，
……………………6分
∴
，
………………………………………………………………….8分
時，
即
，此時
時，
即
，此時
上為減函數；同理在
上也為減函數
時，
與已知矛盾，舍去；………………12分
時，因為函數
且
，解得
，
……………………………………14分
，令
，則
，又
，所以
.
，則
. …………………………………………………………………………………….2分
時，由
. 即
..6分 
是以
為公比的等比數列，于是
. ……8分
為等差數列，公差
,可得
. ….10分
. ……………………………………………..12分
……….16分
，全程運輸成本為
……………………………………….4分
………………………….6分
．即
時上式中等號成立………………………...8分
，即
時則當
，即
時，則當
時，有
.
。也即當v=100時，全程運輸成本y最�。�.14分
，當
，
，
，
，
，t無解；
，即
時，
；
，即
時，
上單調遞增，
；
．…………………………………………………………..6分
，則
，………………………………………..8分
，則
，
，
，
單調遞減，
，
，
……………………….10分
，
恒成立，所以
；………………..12分
，由⑴可知
的最小值是
，當且僅當
時取到………………………………………………………….14分
，則
，易得
，當且僅當
時取到，從而對一切
成立．……………………………..16分