北京市2009屆高三數學期末試題分類匯總――函數

1、（2009崇文區）函數            C

（A）                  （B）

（C）                  （D）  

2、（2009石景山區）函數的反函數是（　　）C

A．

B．

C．

D．

3、（2009石景山區）設函數，若，，則關于的方程的解的個數為（　�。〤

A．1

B．2

C．3

D．4

4、（2009東城區）已已知函數f(x)=-在區間上的反函數是其本身，則可以是     （   ）B

A．[-2，-1]       B [-2，0]        C．[0，2]         D．

5、（2009海淀區）已知定義域為R的函數

，那么等于  （    ）D

       A．1                          B．62                     C．64                      D．83

6、（2009西城區）已知函數，那么函數的反函數的定義域為（  ）B

A.                            B.   

C.                      D.  R

7、（2009崇文區）下列命題中：

①若函數的定義域為R，則一定是偶函數；

②若是定義域為R的奇函數,對于任意的R都有,則函數的圖象關于直線對稱；

③已知,是函數定義域內的兩個值，且，若，則是減函數；

④若f (x)是定義在R上的奇函數，且f (x+2)也為奇函數，則f (x)是以4為周期的周期函數.

其中正確的命題序號是________．①④

8、（2009豐臺區）函數f ( x ) = 2^?x ( 0＜x≤3 )的反函數的定義域為____________________

9、（2009昌平區）函數的圖象過點（２，３），則　　　，＝　　　　　．  4,10

10、（2009宣武區）設函數 則=_________

11、（2009崇文區）已知函數，是的一個極值點．

（Ⅰ）求的單調遞增區間；

（Ⅱ）若當時，恒成立，求的取值范圍．

解：（Ⅰ）.      --------------------------------------------------------------1分

∵是的一個極值點，

∴是方程的一個根，解得.     ---------------------------3分

令，則，解得或.       ------------------------5分

∴函數的單調遞增區間為，.      -----------------------6分

（Ⅱ）∵當時，時，

∴在（1，2）上單調遞減，在（2，3）上單調遞增.           --------8分

∴是在區間[1，3]上的最小值，且 .       --------------10分

若當時，要使恒成立，只需，  ----12分

即，解得 .    ---------------------------------13分

12、（2009豐臺區）已知函數f ( x ) =。

       （Ⅰ）求函數f ( x )在點處的切線方程；

（Ⅱ）求函數f ( x )的極大值和極小值。

解：（Ⅰ）由已知  得f′( x ) = ………………………………… 3分

              又f′( ? 1 ) =   所求切線方程是    9x ? 4y + 27 = 0 ……………… 5分

       （Ⅱ）因為    f′( x ) = f′( x ) = 0 x₁ = 0 , x₂ = 2 ………6分

              又函數f ( x )的定義域是x≠1的所有實數，則x變化時，f′( x )的變化情況如下表：

x

(－∞,0)

0

( 0 , 1 ) , (1 , 2 )

2

( 2 , +∞ )

f′( x )

+

0

?

0

+

                                                            ………… 9分

       所以當x = 0時，函數f ( x )取得極大值為6；當x = 2時，函數f ( x )取得極小值為18。

                                                               ………… 13分

13．（2009豐臺區）     已知函數f ( x ) = 3^x , f ( a + 2 ) = 18 , g ( x ) =? 3^ax ? 4^x的義域為[0，1]。

       （Ⅰ）求a的值；

（Ⅱ）若函數g ( x )在區間[0，1]上是單調遞減函數，求實數的取值范圍。

解法一：（Ⅰ）由已知得     3^a+2 = 183^a = 2a = log₃2 …………… 3分

              （Ⅱ）此時    g ( x ) =? 2^x ? 4^x               ……………………………… 6分

              設0x₁＜x₂1，因為g ( x )在區間[0，1]上是單調減函數

              所以       g ( x₁ ) = g ( x₂ ) =0成立 … 10分

              即    +恒成立           由于+＞2⁰ + 2⁰ = 2

              所以       實數的取值范圍是2  ……………………………… 13分

       解法二：（Ⅰ）由已知得     3^a+2 = 183^a = 2a = log₃2 …………… 3分

              （Ⅱ）此時    g ( x ) =? 2^x ? 4^x               ……………………………… 6分

              因為g ( x )在區間[0，1]上是單調減函數

              所以有    g ( x )′=ln2 ? 2^x ? ln 4 ? 4^x = ln 2[2 ? (2^x)² + ? 2^x ] 0成立…10分

              設2^x = u∈[ 1 , 2 ]        ## 式成立等價于  ? 2u² +u0 恒成立。

              因為u∈[ 1 , 2 ]    只須       2u 恒成立，………………………… 13分

              所以實數的取值范圍是2

14、（2009石景山區）已知函數的圖象過點.

（Ⅰ）若函數在處的切線斜率為，求函數的解析式；

（Ⅱ）若，求函數的單調區間.

解：（Ⅰ）．                        ………………………2分

由題意知，得  ．    …………………5分

        ∴ ．                     ……………………6分

（Ⅱ）．

        ∵ ，

∴ ．

由解得或，

由解得．  ……………10分∴ 的單調增區間為：和；

的單調減區間為： ．……12分

15、（2009西城區）已知f (x)、g(x)都是定義在R上的函數，如果存在實數m、n使得h (x) = m f(x)+ng(x)，那么稱h (x)為f (x)、g(x)在R上生成的一個函數.

設f (x)=x²+ax，g(x)=x+b(R)，l(x)= 2x²+3x-1，h (x)為f (x)、g(x)在R上生成的一個二次函數.

（Ⅰ）設，若h (x)為偶函數，求；

（Ⅱ）設，若h (x)同時也是g(x)、l(x) 在R上生成的一個函數，求a+b的最小值；

（Ⅲ）試判斷h(x)能否為任意的一個二次函數，并證明你的結論.

（Ⅰ）解：設h(x) = m f(x)+ng(x)，則

,

因為為一個二次函數，且為偶函數,

所以二次函數的對稱軸為y軸，即，所以，則，

則；                                           

（Ⅱ）解：由題意, 設 (R, 且)

     由h (x)同時也是g(x)、l(x) 在R上生成的一個函數,

     知存在使得,

     所以函數,

     則,                                    

消去, 得,

    因為, 所以,           -----------7分

    因為b>0,

    所以  （當且僅當時取等號）,

    故a+b的最小值為.                                ---------------9分

（Ⅲ）結論：函數h(x)不能為任意的一個二次函數.

      以下給出證明過程.

      證明：假設函數h(x)能為任意的一個二次函數,

      那么存在m₁, n₁使得h(x)為二次函數y=x², 記為,

即；1

      同理，存在m₂, n₂使得h(x)為二次函數,記為,

即              2

      由2-1，得函數,

      令，化簡得對R恒成立,

      即對R恒成立,

      所以, 即，

      顯然，與矛盾,

      所以，假設是錯誤的，

故函數h(x)不能為任意的一個二次函數.                   ---------------14分

      注：第（Ⅲ）問還可以舉其他反例.

16、（2009宣武區）已知：函數f(x)=ax+bx－c (其中a,b,c都是常數，xR). 當x=1時，函數f(x)的極植為－3－c.

 （1）試確定a,b的值；

  (2) 討論函數f(x)的單調區間；

 （3）若對于任意x>0,不等式f(x)－2c恒成立，求c的取值范圍。

解:（1）由，得，

當x=1時，的極值為，

，得，

 ……………………………………………………… 4分

（2），

     ，

     令 ，則，得x=0或x=1

     當x變化時，，的變化情況列表如下

x

0

1

+

0

-

0

+

遞增

極大值

-c

遞減

極小值

-3-c

遞增

函數的單調遞增區間是 和 ，單調遞減區間是。 ……… 8分

（3） 對任意恒成立，

     對任意恒成立，

     當x=1時，

     ，得，

     或 ………………………………………………………………… 14分

17、（2009東城區）已知函數.

（Ⅰ）設曲線在點處的切線為，若與圓相切，求 的值；

（Ⅱ）當時,求函數的單調區間.

解: （Ⅰ）依題意有，.                            ┄┄┄┄┄3分

        因此過點的直線的斜率為，又

       所以，過點的直線方程為.  ……………………….4分

又已知圓的圓心為，半徑為，依題意，，

       解得.                                                ┄………6分

（Ⅱ） .         

因為，所以，又由已知 .                    ……………….9分

令，解得，令，解得.       ┄┄┄┄11分

所以,的單調增區間是,的單調減區間是.  …………13分