江蘇省前黃高級中學2008屆高三調研數學試卷
命題人：孫東升 審核人：張國良
注意：本試卷分必考和選考兩部分.必考內容滿分160分，答卷時間120分鐘；選考內容滿分40分，答卷時間30分鐘.
第Ⅰ部分 必考內容
（滿分160分，答卷時間120分鐘）
一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在相應位置上．
1.設集合
，
，若
，則
等于____________.
2.若橢圓的焦距長等于它的短軸長，則橢圓的離心率等于__________.
3.擲一個骰子的試驗，事件
表示“小于5的偶數點出現”，事件
表示“小于5的點數出現”，則事件
發生的概率為 .
4.已知x, y的取值如下表：
x
0
1
3
4
y
2.2
4.3
4.8
6.7
從散點圖分析，y與x線性相關，且回歸方程為
，則
．
5.若
且
_________.
6.已知某個幾何體的三視圖如圖（主視圖的弧線是半圓），根據圖中標出的尺寸（單位：cm），可得這個幾何體的體積是
．
7.首項為-24的等差數列，從第10項起開始為正數，則公差d的取值范圍是 ．
8.已知
是兩條不重合的直線，
是三個兩兩不重合的平面，給出下列四個命題：
①若
，
，則
；
②若
；
③若
； ④若
.
其中正確命題的序號有________.
9.已知實數x，y滿足條件
（
為虛數單位），則
的最小值是 ．
10.已知
點
在
內，且
，設
，其中
，則
等于__________.
11.某同學準備用反證法證明如下一個問題：函數
在
上有意義,且
,如果對于不同的
,都有
，求證：
.那么他的反設應該是___________.
12.無論
取何值時，方程
的相異實根個數總是2，則
的取值范圍為
_______.
13.過拋物線
的焦點
的直線交拋物線于點
，交其準線于點（
在
之間），且
，
，則
的值為
．
14.設
，
是大于
的常數，
的最小值是16，則的值等于_____．
二、解答題：本大題共6小題，共90分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15.（本小題滿分12分）在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是BB1、CD的中點．
（1）求證：AE⊥D1F；
（2）證明平面AED⊥平面A1FD1．
16.（本小題滿分12分）下面的莖葉圖是某班在一次測驗時的成績，偽代碼用來同時統計女生、男生及全班成績的平均分.試回答下列問題：
(1) 在偽代碼中，“k=0”的含義是什么？橫線①處應填什么？
(2) 執行偽代碼，輸出S，T，A的值分別是多少？
(3) 請分析該班男、女生的學習情況．
17.（本小題滿分12分）已知函數
，
相鄰兩對稱軸間的距離大于等于
(1)求
的取值范圍；
(2)在
的面積.
18.（本小題滿分16分）已知直線
與橢圓
相交于A、B兩點，且線段AB的中點在直線
：
上.
（1）求此橢圓的離心率；
（2）若橢圓的右焦點關于直線
的對稱點在圓
上，求此橢圓的方程.
19.（本小題滿分18分）設三次函數
在
處取得極值，其圖象在
處的切線的斜率為
.
(1)求證：
；
(2)若函數
在區間
上單調遞增，求
的取值范圍；
(3)問是否存在實數（是與
無關的常數），當
時，恒有
恒成立？若存在，試求出的最小值；若不存在，請說明理由.
20.（本小題滿分20分）設數列
滿足：
，且當
時，
.
(1) 比較
與
的大小，并證明你的結論；
(2) 若
，其中
，求證：
第Ⅱ部分 加試內容
（滿分40分，答卷時間30分鐘）
一、解答題：本大題共2小題，每小題10分，共20分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
1.在一次數學考試中, 第14題和第15題為選做題.規定每位考生必須且只須在其中選做一題.設4名考生選做這兩題的可能性均為
.
(1)其中甲、乙2名學生選做同一道題的概率；
(2)設這4名考生中選做第15題的學生數為
，求的分布列及數學期望.
2.如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，已知AB= 4， AD =3， AA1= 2．E、F分別是線段AB、BC上的點，且EB= FB=1．
（1）求直線EC1與FD1所成角的余弦值；
（2）求二面角C-DE-C1的平面角的正切值．
二、解答題：本大題共2小題，每小題10分，共20分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
3.已知二階矩陣M有特征值
及對應的一個特征向量
，并且矩陣M對應的變換將點
變換成
.
（1）求矩陣M；
（2）求矩陣M的另一個特征值，及對應的一個特征向量e2的坐標之間的關系；
（3）求直線：
在矩陣M作用下所得到的直線
的方程．
4.在平面直角坐標系
中，直線與拋物線
相交于不同的兩點.
（1）如果直線過拋物線的焦點，求
的值；
（2）如果
證明直線必過一定點，并求出該定點.
江蘇省前黃高級中學2008屆高三調研
必做部分
1.
2.
3.
4.2.6 5.
6.640+80π 7.
8.①④ 9. 10.
11.“
,使得
且
” 12.
13.6 14.9
(12.圖13.作
則
因
,故
,
)
15.（1）取AB的中點G，則易證得A1G∥D1F．
又正方形A1ABB1中，E、G分別是相應邊的中點，
∴A1G⊥AE，∴D1F⊥AE．
（2）由正方體可知：A1 D1⊥面A1ABB1，∴A1D1⊥AE ．
又由（1）已證：D1F⊥AE．
∵A1D1∩D1F= D1，∴AE⊥平面A1FD1 ．
又
平面AED，∴平面AED⊥平面A1FD1 ．
16.（1）全班32名學生中，有15名女生，17名男生．在偽代碼中，根據“S←S/15，T←T/17”可以推知，“k=1”和“k=0”分別代表男生和女生；S，T，A分別代表女生、男生及全班成績的平均分；橫線①處應填“（S+T）/32”．
（2）女生、男生及全班成績的平均分分別為S=78，T=76.88，A≈77.4.
（3）15名女生成績的平均分為78，17名男生成績的平均分為77.88．從中可以看出女生成績比較集中，整體水平稍高于男生；男生中的高分段比女生高，低分段比女生多，相比較男生兩極分化比較嚴重．
17.（1）
.
，
由題意可知
解得
.
（2）由（Ⅰ）可知
的最大值為1，
.
，
. 而
，
.
由余弦定理知
，
，聯立解得
.
18.（1）設A、B兩點的坐標分別為
得
, 根據韋達定理，得
∴線段AB的中點坐標為(
).
由已知得
故橢圓的離心率為
.
（2）由（1）知
從而橢圓的右焦點坐標為
設
關于直線
：
的對稱點為
解得
.由已知得 
，故所求的橢圓方程為
.
19.(1)方法一：
.由題設，得
, ①
.
②
∵
，∴
，∴
.
由①代入②得
，∴
，
得
∴
或
.
③
將
代入
中，得
. ④
由③、④得
；
方法二：∵，∴，∴.
同上可得
將（1）變為
代入（2）可得 
，所以
，則.
方法三：同上可得將（1）變為代入（2）可得
，顯然
，所以
.
因為圖象的開口向下，且有一根為x1=1,
由韋達定理得
,
.
,所以
，即
，則
，
由得 
,所以 .
(2)由（1）知，的判別式Δ=
∴方程
有兩個不等的實根
，
又,∴
，
∴當
或
時，
；當
時，
.
∴函數
的單調增區間是
， 
.
由知
.
∵函數在區間
上單調遞增，∴
，
∴
，即
的取值范圍是
.
(3)由
，即
，∵
，
，∴
，∴
或
.(自注：視為
的一次函數)
由題意，得
，∴
.
∴存在實數
滿足條件，即的最小值為
.
20.（1）由于
，則
，
∴
，∴
.
（2）由于
，由（1），則
，
，
而
，則
，∴
；
又
,
∴
.
,
∴
.
而，且
，故
, ∴
，因此
.
從而
選做部分
1. (1)設事件
表示“甲選做14題”,事件
表示“乙選做14題”,則甲、乙2名學生選做同一道題的事件為“
”,且事件、相互獨立.
∴ 
=
.
(2)隨機變量
的可能取值為0,1,2,3,4.且
.
∴ 
.
所以變量的分布列為：
0
1
2
3
4
. (或
)
2.以A為原點，
分別為x軸，y軸，z軸的正向建立空間直角坐標系A-xyz，則有
D(0，3，0)、D1(0，3，2)、E(3，0，0)、F(4，1，0)、C1(4，3，2)．
于是 
,
．
（1）設EC1與FD1所成角為b，則
．
（2）設向量
與平面C1DE垂直，則有
．
∴
其中z＞0．
取n0=(-1，-1，2)，則n0是一個與平面C1DE垂直的向量．
∵向量
=（0，0，2）與平面CDE垂直，
∴n0與所成的角θ為二面角C-DE-C1的平面角．
∵
，∴
．
3.（1）設M=
，則
=8=
，故
=
，故
聯立以上兩方程組解得a=6，b=2，c=4，d=4，故M=
．
（2）由（1）知，矩陣M的特征多項式為
，故其另一個特征值為
.設矩陣M的另一個特征向量是e2
，則M e2=
，解得
.
（3）設點
是直線上的任一點，其在矩陣M的變換下對應的點的坐標為
，則
=
，即
，
代入直線的方程后并化簡得
,即
.
4.（1）拋物線焦點為（1，0）.
設
：
消去x得
,
則
,
=
.
（2）設：
消去x，得
.
,則y1+y2=4t ,y1y2=－4b.
=
.
令
，∴直線l過定點(2，0).
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