甘 肅 省2009年高三年級第二次高考診斷

數 學 試 題

 

考生注意

       本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分為150分，考試時間120分鐘。

       所有試題均在答題卡上作答，其中，選擇題用2B鉛筆填涂，其余題詠0.5毫米黑色墨水簽字筆作答。

參考公式：

如果事件A、B互斥，那么             P(A+B)=P(A)+P(B)                        

如果事件A、B相互獨立，那么         P(A?B)=P(A)?P(B)                   

如果事件A在一次試驗中發生的概率是P，那么n次獨立重復試驗中恰好發生k次的概率         

球的表面積公式      其中R表示球的半徑

球的體積公式         其中R表示球的半徑

 

第Ⅰ卷 （選擇題， 共60分）

 

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一

1．設全集U為實數集R，集合，則

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                                                                                                    （    ）

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       A．         B．  C． D．

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2．的展開式中的常數項是                                                                      （    ）

       A．-15                     B．15                      C．-30                     D．30

 

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3．（理科）設隨機變量的值為

                                                                                                                              （    ）

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       A．                   B．                 C．                D．

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  （文科）若的值是                                           （    ）

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       A．                   B．                      C．                      D．

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4．若實數滿足條件，則的取值范圍是                               （    ）

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       A．               B．                 C．               D．

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5．（理科）若函數，則此函數圖象在點（1，f（1））處的切線的傾斜角為（    ）

       A．0                        B．銳角                   C．直角                   D．鈍角

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  （文科）若函數，則此函數圖象在點（1，f（1））處的切線的傾斜角為

                                                                                                                              （    ）

       A．0                        B．銳角                   C．直角                   D．鈍角

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6．等差數列{an}的公差d＜0，且，則數列{an}前n項和為Sn取最大值時n=（    ）

       A．6                        B．5                        C．5或6                 D．6或7

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7．在邊長為2的等邊△ABC中，O為△ABC的中點，則=                       （    ）

       A．-2                       B．2                        C．1                        D．-4

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8．若為銳角，則下列各式中可能成立的是                                                         （    ）

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       A．                             B．

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       C．                             D．

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9．正四面體ABCD的棱長為1，G是底面△ABC的中點，M在線段DG上且使

   ∠AMB=90°。則GM的長等于                                                                         （    ）

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       A．                      B．                   C．                   D．

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10．已知F1、F2是橢圓的兩個焦點，滿足MF1⊥MF2的點M總在橢圓內部，則橢圓離心率

       的取值范圍是                                                                                                  （    ）

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       A．                B．                C．             D．

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11．（理科）來自中國、英國、瑞典的乒乓球裁判員各兩名，執行世錦賽的一號、二號和三號場地的乒乓球裁判工作，每個場地由兩名來自不同國家的裁判組成，則不同的安排方案共有                                          （    ）

       A．48種                  B．24種                  C．36種                  D．96種

   （文科）5人排成一行，其中甲、乙不相鄰的排法有                                         （    ）

       A．12種                  B．48種                  C．72種                  D．120種

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12．定義在R上的函數、，其中是奇函數，且和都有反函數，

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       若的圖像關于直線對稱，g（3）=1000，則f（-7）=（    ）

       A．1002                   B．-1002                  C．998                     D．-998

    橫線上。

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二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在答題卡中對應題號后的

13．設地球半徑為R，甲、乙兩地在同一條經線上，且甲地位于北緯60°，乙地位于赤道上，

       則甲乙兩地的球面距離為              。

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14．定義一種新運算“+”為x+y=ax+by，（a、b為常數）。若1+2=5，2+3=8，那么

       3+4=            。

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15．（理科）4個相同的白球和3個相同的黑球，隨機地排成一行，不同的排法有m種，其

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       中有且僅有2個黑球相鄰的排法為n種，則               。（用數字作答）

20090504

       上標以數2，將這個小正方體拋擲2次，則向上的數之積為0的概率為        。

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16．右圖是楊輝三角的一部分，下列關于楊輝三角

試題詳情

       的幾個判斷（其中）

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       ①第k行的第r個數為；

       ②第k行的所有數之和是第k-1行所有數之和的

      2倍；

       ③前k行所有數之和是2k；

       ④從第k行起，將每行的第r-1個數與r個數作比，

           把這些比值順次排列，可構成等差數列。

       其中正確結論的編號是           （寫出所有正確的編號）

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三、解答題：本大題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17．（本小題滿分10分）

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       在△ABC中，內角A、B、C的對邊長分別是a、b、c，已知c邊長為2，角C為

   （1）求△ABC面積的最大值；

   （2）若sinB=2sinA，求△ABC的周長。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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18．某學校舉行了一次課外文學知識競賽，其中一道題是連線題。要求將4名不同的作家與他們所著的4本不同的著作一對一連線，每連對一條得3分，連錯得-1分，有一位參賽者隨記用4條線把作家與著作一對一全部連接起來。

   （1）球該參賽者恰好連對一條的概率。

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   （2）（理科做）設為該參賽者此題的得分，求的分布列及數學期望。

       （文科做）求該參賽者此題得分為非負數的概率。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

試題詳情

19．（本小題滿分12分）

       如圖，在幾何體ABCDE中，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，BE=CD都垂直于平面ABC，且BE=AB=2，CD=1，點F是AE的中點。

   （1）求證DF∥平面ABC；

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   （2）求AB與平面BDF所成角的大小。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

試題詳情

20．（本小題滿分12分）

試題詳情

       已知各項均為整數的數列{an}滿足且的等差中

       項。

   （1）求數列{an}的通項公式；

20090504

        正整數n的最小值。

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       （文科做）若求數列{bn}的前n項和為Sn。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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21．（本小題滿分12分）

試題詳情

       無論m為任何實數，直線與雙曲線恒有公共點。

   （1）求雙曲線C的離心率e的取值范圍；

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   （2）若直線l經過雙曲線C的右焦點F與雙曲線C交于P、Q兩點，并滿足，

        求雙曲線C的方程。

 

 

 

 

 

 

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22．（本小題滿分12分）

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   （理科做）已知函數處取得極值0.

試題詳情

   （1）求實數的值；

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   （2）若關于x的方程在區間[0，2]上恰有兩個不同的實數根，求實數m

        的取值范圍。

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   （3）證明：對任意的正整數n＞1，不等式都成立。

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   （文科做）設x1、x2（x1≠x2）是函數的兩個極值點。

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   （1）若x1=-1，x2=2，求函數的解析式；

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   （2）若，求b的最大值。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

試題詳情

 

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

D

B

理C

文B

C

理D

文B

C

A

B

D

C

理A

文C

B

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分

13．                        14．11                     15．（理）（文）16．②④

三、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步

    驟。

17．本小題滿分10分

       解：（1）由余弦定理及已知條件得，                                  1分

       ∵                          3分

       ∴                                               5分

   （2）由正弦定理及已知條件得，b=2a                                                               7分

       聯立方程組                                   9分

       ∴△ABC的周長為                                          10分

18．本小題滿分12分

       解：（1）記“該參賽者恰好連對一條線”為事件A。

       則                                                            （理）4分（文）6分

   （2）（理科）的所有可能取值為-4、0、4、12                                              5分

      

                                                                                           9分

       的分布列為

-4

0

4

12

3/8

1/3

1/4

1/24

       E=                                                       12分

   （文科）該參賽者所有可能得分為-4、0、4、12.                                               7分

       得0分的概率為                                                                    8分

       得4分的概率為                                                                     9分

       得12分的概率為                                                                     10分

       ∴該參賽者得分為非負數的概率為          12分

19．本小題滿分12分

       解：（1）取AB的中點G，連接CG，FG，

       則FG∥BE，且FG=BE，

       ∴FG∥CD，且FG=CD，2分

       ∴四邊形FGCD是平行四邊形，

       ∴DF∥CG，

       又∵CF平面ABC，

       ∴DF∥平面ABC,     6分

   （2）解法一：設A到平面BDF的距離為h，

       由                                                         8分

       在△BDF中，

       且CB=2,∴                                                                                            10分

       設AB于平面BDF所成的角為，則

       故AB與平面BDF所成的角為                                                           12分

       解法二：以點B為原點，BA、BC、BE所在的直線分別為x、y、z軸，建立空間直角

       坐標系，則

       B（0，0，0），A（2，0，0），C（0，2，0），D（0，2，1）E（0，0，2），

       F（1，0，1）�！�       8分

       ∴ =（0，2，1），=（1，-2，0）……………………………………………       8分

       設平面BDF的一個法向量為n=（2，a，b），

       ∵ n⊥，n⊥，∴

即解得

       ∴ n=（2，1，-2）……………………………10分

       又設AB與平面BDF所成的角為，則法線n與所成的角為，

       ∴cos()===,

       即sin,故AB與平面BDF所成的角為arcsin.…………………………… 12分

20．本小題滿分12分

       解：（1）∵-=0,因為（）（）=0，

       ∵數列的各項均為正數，∴>0，∴=0，

       即所以數列是以2為公比的等比數列…………………………………3分

       ∴是的等差中項，∴，∴

       ∴數列的通項公式………………………………………………  6分

   （2）由（1）及log得，，…………………………………   8分

       ∵…

       ∴-…-                                ①

       ∴-…-                          ②

       ②-①得，+…+

       =………………………  （理）10分（文）12分

       要使>50成立，只需 >50成立，即>52，n

       ∴使>50成立的正整數n的最小值為5�！ɡ恚�12分

21．本小題滿分12分

       解：（1）由得（）………………1分

       當時直線與雙曲線無交點，這和直線與雙曲線恒有公共點矛盾，

       ∴≠2，e≠…………………………………………………………………………2分

       當≠2時，=恒成立，

       即恒成立，

       ∵>0，∴，∴，……………………………………3分

       ∵

       ∵（）=2，∴ ∴

       綜上知………………………………………………………………………6分

   （Ⅱ）設F（c,0）,則l:y=x-c,將x=y+c代入雙曲線方程，得

      

       整理得…………………………………………7分

       設兩交點為P（），Q，則

       ∵=∴……………………………………………………………8分

       ∴消去得

       ………………………………………………………………10分

       ∴>0且∴∴

       ∴所求雙曲線C的方程為………………………………………………12分

22．本小題滿分12分

   （理科）解：（1）……………………………………………2分

       ∵x=0時，取極值0，∴………………………………………………3分

       解得a=1,b=0.經檢驗a=1,b=0符合題意�！�4分

   （2）由a=1,b=0知由

       得

       令則在上恰有兩個不同的實數

       根等價于在上恰有兩個不同實數根。

    當時，<0，于是在（0，1）上單調遞減；

       當時，>0，于是在（1，2）上單調遞增�！�7分

       依題意有<0，∴…………………8分

   （3）的定義域為>，

       由（1）知

當單調遞減。

       當x＞0時，＞0，單調遞增。

       ∴f（0）為在（-1，+∞）上的最小值，∴≥f（0）

       又f（0）=0，故（當且僅當x=0，等號成立）                     10分

       對任意正整數n，取

       故

       =                                                                              12分

   （文科）解：（1）∵       1分

       依題意有                                       3分

       解得                                                                                                  4分

       ∴                                                                             5分

   （2）∵，依題意x1、x2是方程=0的兩個根，

       由∴                               7分

       設

       由                                                  9分

       即函數在區間（0，4）上是增函數，在區間（4，6）上是減函數

       當時，有極大值為96，∴在（0，6）上的最大值是96          10分

       ∴b的最大值為4                 12分

 

 


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