高三數學中檔題專項訓練（2）

1、【江蘇?泰州】已知向量a＝（3sinα，cosα），b＝(2sinα, 5sinα－4cosα)，α∈（），且a⊥b． （1）求tanα的值；（2）求cos()的值．

2、【江蘇?南通】（本小題14分）

如圖，在正三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，點D在邊BC上，AD⊥C₁D．

（1）求證：AD⊥平面BC C₁ B₁；

（2）設E是B₁C₁上的一點，當的值為多少時，

A₁E∥平面ADC₁？請給出證明．

3、(本題滿分16分)有如下結論：“圓上一點處

的切線方程為”，類比也有結論：“橢圓

處的切線方程為”，過橢圓C：

的右準線l上任意一點M引橢圓C的兩條切線，切點為 A、B.

（1）求證：直線AB恒過一定點；（2）當點M在的縱坐標為1時，求△ABM的面積

4、【江蘇?淮、徐、宿、連】(本題滿分16分)

已知函數f(x)=alnx+x²(a為實常數).(1)若a=－2，求證：函數f(x)在(1，+．∞)上是增函數；

(2)求函數f(x)在[1，e]上的最小值及相應的x值；

(3)若存在x∈[1，e]，使得f(x)≤(a+2)x成立，求實數a的取值范圍.

1、【解】（1）∵a⊥b，∴a?b＝0．而a＝（3sinα，cosα），b＝(2sinα, 5sinα－4cosα)，

故a?b＝6sin²α＋5sinαcosα－4cos²α＝0．……………………………………2分

由于cosα≠0，∴6tan²α＋5tanα－4 ＝0．解之，得tanα＝－，或tanα＝．……6分

∵α∈（），tanα＜0，故tanα＝（舍去）．∴tanα＝－．…………7分

（2）∵α∈（），∴．

由tanα＝－，求得，＝2（舍去）．

∴，………………………………………12分

cos()＝

              ＝ ＝． ………………………14分

2、解: （1）在正三棱柱中，C C₁⊥平面ABC，AD平面ABC，

∴ AD⊥C C₁．………………………2分

又AD⊥C₁D，C C₁交C₁D于C₁，且C C₁和C₁D都在面BC C₁ B₁內，

              ∴ AD⊥面BC C₁ B₁．   ……………………………………………5分

（2）由（1），得AD⊥BC．在正三角形ABC中，D是BC的中點．…………7分

當，即E為B₁C₁的中點時，A₁E∥平面ADC₁．…………………8分

事實上，正三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，四邊形BC C₁ B₁是矩形，且D、E分別是BC、B₁C₁的中點，所以B₁B∥DE，B₁B= DE． ……………………10分

又B₁B∥AA₁，且B₁B=AA₁，

∴DE∥AA₁，且DE=AA₁．  …………………………………………12分

所以四邊形ADE A₁為平行四邊形，所以E A₁∥AD．

而E A₁面AD C₁內，故A₁E∥平面AD C₁． …………………………14分

3、【解】（1）設M

∵點M在MA上∴  ①……………………3分

同理可得②…………………………5分

由①②知AB的方程為…………6分

易知右焦點F（）滿足③式，故AB恒過橢圓C的右焦點F（）……8分

（2）把AB的方程

∴……………………12分

又M到AB的距離

∴△ABM的面積……………………15分

4、【解】（1）當時，，當，，

故函數在上是增函數．………………………………………………4分

（2），當，．

若，在上非負（僅當，x=1時，），故函數在上是增函數，此時．　……………………………………6分

若，當時，；當時，，此時

是減函數； 當時，，此時是增函數．故

．

若，在上非正（僅當，x=e時，），故函數在上是減函數，此時．…………………………………8分

綜上可知，當時，的最小值為1，相應的x值為1；當時，

的最小值為，相應的x值為；當時，的最小值為，

相應的x值為．…………………………………………………………………10分

（3）不等式，  可化為．

∵, ∴且等號不能同時取，所以，即，

因而（）…………………………………………………………12分

令（），又，………………14分

當時，，，

從而（僅當x=1時取等號），所以在上為增函數，

故的最小值為，所以a的取值范圍是． ……………………16分