1．與方程有關的問題

例1

    A. 1個      B. 2個      C. 3個      D. 1個或2個或3個

    解析：

出兩個函數圖象，易知兩圖象只有兩個交點，故方程有2個實根，選（B）。

點撥:對于一些不規則方程判斷根的個數問題,用解方程的方法求出解來,再說有幾個根是不可能的,而借助數形結合,將根的個數問題轉化為圖像的交點個數問題.

2、與不等式有關的問題

例2

解析:

.

點撥: 數形結合,將不等式問題轉化為兩函數圖象的高低關系,進而轉化為解方程,求交點的橫坐標.

例3 設f(x)=x²?2ax+2,當x∈［?1,+∞)時，f(x)＞a恒成立，求a的取值范圍 

解法一  由f(x)＞a，在［?1,+∞)上恒成立

x²?2ax+2?a＞0在［?1,+∞)上恒成立 

考查函數g(x)=x²?2ax+2?a的圖象在［?1,+∞］時位于x軸上方 

如圖兩種情況 

不等式的成立條件是 

(1)Δ=4a²?4(2?a)＜0a∈(?2,1)

(2)a∈(?3,?2，

綜上所述a∈(?3,1)   

解法二  由f(x)＞ax²+2＞a(2x+1)

令y₁=x²+2,y₂=a(2x+1),在同一坐標系中作出兩個函數的圖象  

如圖滿足條件的直線l位于l₁與l₂之間，而直線l₁、l₂對應的a值（即直線的斜率）分別為1，?3，

故直線l對應的a∈(?3,1) 

反思:不等式f(x)>g(x)恒成立,就是保證函數f(x)的圖象在g(x)圖象的上方,借助圖象的高低來比較量的大小.

3．與函數有關的問題

例4 設A={x｜?2≤x≤a}，B={y｜y=2x+3，且x∈A}，C={z｜z=x²，且x∈A }，若CB，求實數a的取值范圍 

 分析: 解決本題的關鍵是依靠一元二次函數在區間上的值域求法確定集合C  進而將CB用不等式這一數學語言加以轉化 

解  ∵y=2x+3在［?2, a］上是增函數

∴?1≤y≤2a+3，即B={y｜?1≤y≤2a+3}

作出z=x²的圖象，該函數定義域右端點x=a有三種不同的位置情況如下 

①當?2≤a≤0時，a²≤z≤4即C={z｜a²≤z≤4}

要使CB,必須且只須2a+3≥4得a≥與?2≤a＜0矛盾 

②當0≤a≤2時，0≤z≤4即C={z｜0≤z≤4}，要使CB，由圖可知 

必須且只需,解得≤a≤2

③當a＞2時，0≤z≤a²，即C={z｜0≤z≤a²}，

要使CB必須且只需

,解得2＜a≤3

④當a＜?2時，A=此時B=C=，則CB成立 

綜上所述，a的取值范圍是(?∞,?2)∪［,3］ 

點撥: 解決集合問題首先看清元素究竟是什么，然后再把集合語言“翻譯”為一般的數學語言，進而分析條件與結論特點，再將其轉化為圖形語言，利用數形結合的思想來解決 

求一元二次函數在定區間上的值域或最值,要根據對稱軸與該區間的關系,充分借助相應區間上二次函數的圖象求解.

4、與幾何有關的問題

    例5若直線與曲線有兩個不同的交點，則實數m的取值范圍是___________。

解析：y=x－m表示傾斜角為45°，縱截距為－m的直線，而則表示以（0，0）為圓心，以1為半徑的圓在x軸上方的部分（包括圓與x軸的交點），如圖所示，顯然，欲使直線與半圓有兩個不同交點，只需直線的縱截距，即.

點撥:明確方程的幾何意義,在同一坐標系中畫出相應的幾何圖形,根據直線系的特點,由圖形研究直線與半圓的位置關系.

例6 。

    解析:

截距。

    ∴

反思:對于形如y－3x的二元一次函數求最值,如果限制條件是表示的是幾何區域或曲線,常采用借助直線的截距來求.

數形結合思想是解答數學試題的的一種常用方法與技巧，不僅在解決選擇題、填空題時發揮著奇特功效，而且在解決一些抽象問題中常起到事半功倍的效果，在運用過程中要特別注意以下問題：

【例1】方程lgx = sinx的實根的個數為 （     ）   

A. 1個          B. 2個       C. 3個         D. 4個

錯解：畫出y = lgx和y = sinx在同一坐標系中的圖象，如圖所示，

兩圖象有1個交點，選A.

錯因分析：函數y = sinx，而lg10=1，且＜10，函數y = lgx的圖象有誤。

正解：畫出y = lgx和y = sinx在同一坐標系中的圖象，如圖所示，

兩函數圖象有3個交點，選C.

點評：一些判斷方程根的個數問題，可以轉化為考察兩函數圖象的交點個數，但要注意“數”的精確性，準確作圖，從而得出正確結論。

【例2】函數y = a|x|與y = x + a的圖象恰有兩個公共點，則實數a的取值范圍是（    ）

A．(1，+∞)                      B．(- 1，1)

C．(- ∞，- 1]∪[1，+∞)         D．(- ∞，- 1)∪(1，+∞)

錯解：在同一坐標系中畫出y = a|x|與y = x + a的圖象，

所以a > 1，選A。

錯因分析：畫函數y = a|x|的圖象時，忽略了討論系數a的正負。

正解：畫出y = a|x|與y = x + a的圖象，兩圖象有兩個交點的情形如下：

點評：有些數學問題所對應的圖形是不唯一的，必須根據不同情況準確作圖，再進行討論求解。

二、“數”與“形”轉化的等價性

【例3】若關于x的方程x ² + 2kx + 3k = 0的兩根都在-1和3之間，求k的取值范圍。

誤解：令f (x) = x ² + 2kx + 3k，其圖象與x軸交點的橫坐標就是方程f (x) = 0的解。

由y = f (x)的圖象可知，要使兩根都在-1和3之間，只需

，∴k∈

錯因分析：所列不等式組與滿足條件的圖象不等價。比如下圖，滿足此不等式組，但不滿足方程根的分布情況。

正解：由圖象列出滿足條件的不等式組為 ，∴k∈(- 1，0].

點評：此類題存在著兩個等價轉化：一是將方程根的分布情況轉化為拋物線與x軸的交點情況，進而畫出函數草圖；二是由草圖列出與之等價的不等式組。

五、規律總結

數形結合的思想，就是把問題的數量關系和幾何圖形結合起來的思想方法，即根據解決問題的需要，可以把數量關系的問題轉化為圖形的性質和特征去研究（即“以形助數”）；或者把圖形的性質問題轉化為數量關系的問題去研究（即“以數助形”）。

1.數形結合思想解決的問題常有以下幾種：

（1）函數與方程、函數與不等式的內在聯系①構建函數模型并結合其圖象求參數的范圍；②構建函數模型并結合其圖象研究方程根的個數；③構建函數模型并結合其圖象研究量與量之間的大小關系。

（2）構建解析幾何中的斜率、截距、距離等模型研究代數式的取值范圍問題。

（3）研究幾何圖形的形狀、形狀、圖形間的位置關系。

2.“以形助數”常用的有：借助數軸；借助函數圖象、借助單位；借助數式的結構特征；借助解析幾何方法。

3.“以數助形”常用的有：借助于幾何軌跡所遵循的數量關系；借助于運算結果與幾何定理的結合。

六、能力突破

華羅庚先生曾指出：“數缺形時少直觀，形少數時難入微；數形結合百般好，隔裂分家萬事非�！睌敌谓Y合的思想可以使某些抽象的數學問題直觀化、生動化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數學問題的本質。

【例1】設A=，B=，C=，若，求實數a的取值范圍。

分析：解決本題的關鍵是依靠一元二次函數在區間上的值域求法確定集合C，進而用不等式將這一集合語言加以轉化。

解：∵y=2x＋3在[－2，a]上是增函數，∴B=。

作出函數z=x²的圖象，其定義域右端點x=a有三種不同的位置關系：

①當時，如圖1，，即｛z|｝。

要使，必須且只需，解得，與矛盾。

②當時，如圖2，，即｛z|｝.

要使，必須且只需，解得。

③當時，如圖3，，即｛z|｝。

要使，必須且只需，解得。

④當a＜－2時，A=，此時B=C=，成立。

綜上所述，a的取值范圍是。

反思：解決集合問題首先要看清元素究竟是什么，然后再把集合語言“翻譯”為數學語言，進而分析條件與結論的特點，再將其轉化為圖形語言，利用數形結合的思想來解決。

對于二次函數在閉區間上的最值問題，應抓住對稱軸與所給區間的相對位置關系，借助圖象的直觀形象，達到解決問題的目的。

【例2】已知實數x、y滿足x²＋y²=3（），求（1），（2）b=2x+y的取值范圍。

分析：m可以看作過兩點的斜率，而b是直線的截距。

解：（1）將m看作半圓x²＋y²=3（）上的點M（x，y）和定點A（－3，－1）的直線的斜率。

由圖1可知，（k₁、k₂分別表示直線AM₁、AM₂的斜率），

且。

直線AM₂的方程是，有。

所以，。

（2）將b看作斜率為－2，過半圓x²＋y²=3（）上的點P（x，y）的直線在y軸上的截距。

由圖2 可知，（n₁、n₂分別表示直線BP₁、CP₂的截距）。

直線BP₁的方程是，則n₁= 。

設直線BP₂的方程是2x＋y＋c=0，有。

所以，。

反思：根據所給代數式的特點，由解析幾何中的斜率、截距、距離的概念研究最值問題，是數形結合思想的一個重要體現。

形如2x+y的代數式求最值，如果限制條件表示的是幾何區域或曲線，常借助直線截距來求；而形如的代數式，根據其幾何意義為斜率求解。

從上面所舉的兩個例子中可以看出：數形結合思想的“數”與“形”結合，相互滲透，把代數式的精確刻畫與幾何圖形的直觀描述相結合，充分考查數學問題的條件和結論之間的內在聯系，既分析其代數意義又揭示其幾何意義，使代數問題、幾何問題相互轉化，使抽象思維和形象思維有機結合，從而尋找到解題思路，使問題得到解決。

七、高考風向標

數形結合思想是解答數學試題的一種常用方法與技巧，歷年來一直是高考考查的重點之一，主要涉及：

集合及其運算問題――韋恩圖與數軸；

用函數圖象解決有關問題（如方程、不等式等）；

運用向量解決有關問題；

三角函數圖象及其應用；

數學概念及數學表達式幾何意義的應用；

解析幾何中的數形結合。

靈活運用數形結合的思想方法，可以有效提升思維品質和數學技能，復習中要以熟練技能、方法為目標，加強這方面的訓練，以提高解題能力和速度。

【例1】（07年高考浙江卷理10）設是二次函數，若的值域是，則的值域是（   ）

A．       B．

C．                 D．

解析：C 因為是二次函數，值域不會是A、B，畫出函數的圖像（圖1）易知，當值域是時，的值域是。

點評：本題主要考查分段函數、復合函數、二次函數的圖象和性質，通過函數的圖象確定解題思路，直觀、清晰，體現了數形結合的優越性。

熟悉各類函數的圖象，借助圖象研究函數的性質（如定義域、值域、單調性、奇偶性、周期性以及對稱性），結合函數圖象的幾何特征與數量特征有助于理解題意，探求解題思路，檢驗解題結果。如：

（08年高考福建卷理12）已知函數y=f(x),y=g(x)的導函數的圖象如下圖，那么y=f(x),y=g(x)的圖象可能是（      ）

解析：D由導函數的圖象可知，在（0，＋）單調減，說明函數y=f(x)的圖象上任意一點切線的斜率為單調減，排除A、C。又由圖象知兩導函數在x=x₀處相交，說明兩函數y=f(x),y=g(x)的圖象在x=x₀處的切線斜率相等，排除B。

【例2】（08年高考浙江卷理5文7）在同一平面直角坐標系中，函數的圖象和直線的交點個數是（    ）

（A）0        （B）1         （C）2          （D）4

解析：C 圖象如圖所示，直線與該函數圖象有兩個交點。

點評：本題考查了誘導公式以及三角函數的圖象等知識，考查學生的數形結合的能力。

在解決三角函數的有關問題時，若把三角函數的性質融于函數的圖象之中，將數（量）與圖形結合起來進行分析、研究，使抽象復雜的數量關系通過幾何圖形直觀地表現出來，這是解決三角函數問題的一種思維策略。

另一方面，用圖象法討論方程（特別是含參數的方程）解的個數是一種行之有效的方法。如：

（08年高考湖北卷文13）方程的實數解的個數為          。

解析：2  如圖，在同一坐標系內分別畫出和的圖象

由圖可知，兩函數圖象有兩個交點，即方程有兩個根。

【例3】（08年高考湖南卷理3）已知變量x、y滿足條件則的最大值是(     )

A.2         B.5         C.6         D.8

解析：C如圖所示，可行域為圖中陰影部分（包括邊界線），則z=在A點處取得最大值，由得A（3，3），故最大值為3＋3=6.

點評：本題主要考查線性規劃知識。

二元一次方程組與二元函數的對應實質上是簡單線性規劃問題，利用可行域可以求目標函數的最值，屬于典型的數形結合的案例。值得注意的是，目標函數對應的直線與邊界直線斜率的大小關系用于確定最優解的正確位置應仔細觀察各直線的傾斜程度，準確判定可行域內的最優解。

此類題目在各地高考試題中均有考查，主要以選擇、填空的形式出現。

【例4】（08年高考海南寧夏卷理11）已知點P在拋物線y² = 4x上，那么點P到點Q（2，－1）的距離與點P到拋物線焦點距離之和取得最小值時，點P的坐標為（    ）

A. （，－1）          B. （，1）        C. （1，2）         D. （1，－2）

解析：A  定點在拋物線內部，由拋物線的定義，動點到拋物線焦點的距離等于它到準線的距離，問題轉化為當點到點和拋物線的準線距離之和最小時，求點的坐標，顯然點是直線和拋物線的交點，解得這個點的坐標是。

【點評】本題考查拋物線的定義和數形結合解決問題的思想方法。類似的題目在過去的高考中。

【易錯指導】不能通過草圖和簡單的計算確定點和拋物線的位置關系，不能將拋物線上的點到焦點的距離轉化為其到準線的距離，是解錯本題或不能解答本題的原因。

在解析幾何中，曲線是軌跡的幾何形式，具有直觀形象的優點；方程是軌跡的代數形式，便于運算，具有可操作性的優點。曲線和方程是同一軌跡的兩種表示形式，在不同形式下各有所長，把二者緊密結合起來，能揚長避短，各得其所，因此充分利用平面直角坐標系，使屬性緊密結合起來，以便發揮各自的優勢。

在各地高考試題對解析幾何的考查中，通過選擇、填空、解答題的形式均有體現。

八、沙場練兵

1、（08濰坊模擬）已知0 < a < 1，則方程a ^|x| = |log _a x|的實數根的個數為    （    ）

A. 1個  B. 2個  C. 3個  D. 1個或2個或3個

2、如果實數x、y滿足(x ? 2) ² + y ² = 3，則的最大值為（   ）

A．     B．      C．      D．

3、（08濟寧模擬）設集合，，則等于（   ）

A．               B．     C．            D．

4、設是函數的導函數，將和的圖象畫在同一個直角坐標系中，不可能正確的是（   ）

5、（08黃岡模擬）若對任意，不等式恒成立，則實數的取值范圍是（   ）

A．       B．       C．       D．

6、則|z|的最大值為（     ）

A.         B.2        C.3         D.4

7、（08臨沂模擬）函數的部分函數圖象如圖所示，則函數表達式為（     ）

A.              B.

C.               D.

8、方程的根分別是a，b，則a與b的大小關系是（    ）

A.a＞b        B. a＜b         C. a=b         D.不確定

9、對于任意的實數x，設f（x）是4x＋1，x＋2和－2x＋4三者中的最小者，則f（x）的最大值為（    ）

A.      B.3        C.          D.

10、設變量滿足約束條件，則目標函數的最大值為（   ）

    A.2   　　　　B.3  　　　　 C.4  　　　　D.5

11、在上定義的函數是偶函數，且，若在區間上是減函數，則       （   ）

Ａ．在區間上是增函數，在區間上是增函數

Ｂ．在區間上是增函數，在區間上是減函數

Ｃ．在區間上是減函數，在區間上是增函數

Ｄ．在區間上是減函數，在區間上是減函數

12、

MF₁的中點，O表示原點，則|ON|=（    ）

13、若f (x) = x ² + bx + c對任意實數t，都有f (2 + t) = f (2 ? t)，則f (1)、f (- 3)、f (4)由小到大依次為___________。

14、若關于x的方程x ² ? 4|x| + 5 = m有四個不相等的實根，則實數m的取值范圍為____.

15、若直線y = x ? m與曲線y = 有兩個不同的交點，則實數m的取值范圍是_____.

16、（08福州模擬）是         。