湖北省襄樊市2009年3月高三調研統一測試數學命題人:襄樊市教研室郭仁俊審定人:襄樊四中尹春明本試卷共4頁.全卷滿分150分．考試時間120分鐘.★�？荚図樌镒⒁馐马�:1．答卷前.考生務——青夏教育精英家教網——

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試題

湖北省襄樊市2009年3月高三調研統一測試

數學(理科)

命題人：襄樊市教研室郭仁俊　　審定人：襄樊四中　尹春明

本試卷共4頁，全卷滿分150分．考試時間120分鐘。

★祝考試順利★

注意事項：

1．答卷前，考生務必將自己的學校、班級、姓名、考號填寫在答題卷密封線內，將考號最后兩位填在答題卷右下方座位號內，同時把機讀卡上的項目填涂清楚，并認真閱讀答題卷和機讀卡上的注意事項。

2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把機讀卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。答在試題卷上無效。

3．將填空題和解答題用0.5毫米黑色墨水簽字筆或黑色墨水鋼筆直接答在答題卷上每題對應的答題區域內，答在試題卷上無效。

4．考試結束后，請將機讀卡和答題卷一并上交．

一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。)

1. 設a、b、c、d∈R，則復數為實數的充要條件是
A．ad－bc = 0 B．ac－bd = 0 C．ac＋bd = 0 D．ad＋bc = 0

2. 的值為
A．0 B．1 C． D．

3.     將函數的反函數的圖象按向量a = (1，1)平移后得到函數g (x)的圖象，則g (x)的表達式為
A．                                       B．
C．                                         D．

4.     已知函數的最小正周期為，則該函數圖象
A．關于直線對稱                                   B．關于點(，0)對稱
C．關于點(，0)對稱                                    D．關于直線對稱

5. 兩個正方體M₁、M₂，棱長分別a、b，則對于正方體M₁、M₂有：棱長的比為a∶b，表面積的比為a²∶b²，體積比為a³∶b³．我們把滿足類似條件的幾何體稱為“相似體”，下列給出的幾何體中是“相似體”的是
A．兩個球 B．兩個長方體 C．兩個圓柱 D．兩個圓錐

6.     設奇函數在(0，＋∞)上為增函數，且，則不等式的解集為
                                      A．(－1，0)∪(1，＋∞)                               B．(－∞，－1)∪(0，1)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)                             D．(－1，0)∪(0，1)

7. 袋中有40個小球，其中紅色球16個，藍色球12個，白色球8個，黃色球4個，從中隨機抽取10個球作成一個樣本，則這個樣本恰好是按分層抽樣方法得到的概率為
A． B． C． D．

8.     如圖，直線MN與雙曲線的左右兩支分別交于M、N兩點，與雙曲線的右準線交于P點，F為右焦點，若|FM| = 2|FN|，，則實數的取值為
A．                            B．1
C．2                              D．

9. 設P表示平面圖形，m(P)是P表示的圖形面積．已知，，且，則下列恒成立的是
A． B． C． D．

10. 函數的圖象大致是

二．填空題(本大題共5小題，每小題5分，共25分。將答案填在答題卷相應位置上。)

11. 過點A(2，－3)，且與向量m = (4，－3)垂直的直線方程是　　．

12. 從1到100的正整數中刪去所有2的倍數及3的倍數后，剩下數有　　個．

13. 頂點在同一球面上的正四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁中，AB = 1，AA₁ = ，則A、C兩點間的球面距離為　　．

14. 假設甲、乙、丙三鎮兩兩之間的距離皆為20公里，兩條筆直的公路交于丁鎮，其中一條通過甲、乙兩鎮，另一條通過丙鎮．現在一比例精確的地圖上量得兩公路的夾角為45°，則丙、丁兩鎮間的距離為　　公里．

15. 研究問題：“已知關于x的不等式的解集為(1，2)，解關于x的不等式”，有如下解法：
解：由，令，則，1)，
所以不等式的解集為(，1)．
參考上述解法，已知關于x的不等式的解集為(－2，－1)∪(2，3)，則關于x的不等式的解集為　　．

三．解答題(本大題共6小題，滿分75分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。)

16. (本大題滿分12分)
已知A、B、C的坐標分別為A(3，0)、B(0，3)、C()，．
(1)若，求角的值；
(2)若，求的值．

17. (本大題滿分12分)
在如圖所示的四面體ABCD中，AB、BC、CD兩兩互相垂直，且BC = CD = 1．
(1)求證：平面ACD⊥平面ABC；
(2)求二面角C－AB－D的大��；
(3)若直線BD與平面ACD所成的角為，求的取值范圍．

18. (本大題滿分12分)
某商場舉行周末有獎促銷活動，凡在商場一次性購物滿500元的顧客可獲得一次抽獎機會．抽獎規則：自箱中一次摸出兩個球，確定顏色后放回，獎金數如下表．

球的顏色

一紅一藍

兩藍

兩紅

獎金數

100元

150元

200元

19. (本大題滿分12分)
已知點A(－1，0)、B(1，0)和動點M滿足：，且，動點M的軌跡為曲線C，過點B的直線交C于P、Q兩點．
(1)求曲線C的方程；
(2)求△APQ面積的最大值．

20. (本大題滿分13分)
若存在常數k和b (k、b∈R)，使得函數和對其定義域上的任意實數x分別滿足：和，則稱直線l：為和的“隔離直線”．已知， (其中e為自然對數的底數)．
(1)求的極值；
(2)函數和是否存在隔離直線？若存在，求出此隔離直線方程；若不存在，請說明理由．

21. (本大題滿分14分)
已知數列{a_n}的前n項和S_n是二項式展開式中含x奇次冪的系數和．
(1)求數列{a_n}的通項公式；
(2)設，求；
(3)證明：．

一．選擇題：DCBBA DACCA

二．填空題：11．4x－3y－17 = 0　　12．33　　13．
　　　　　　14．　　15．

三．解答題：

16．(1)解：∵，                                  2分
∴由得：，即              4分
又∵，∴                                                                                    6分

(2)解：                                    8分
由得：，即          10分
兩邊平方得：，∴                                          12分

17．方法一

(1)證：∵CD⊥AB，CD⊥BC，∴CD⊥平面ABC 2分
又∵CDÌ平面ACD，∴平面ACD⊥平面ABC　　 4分

(2)解：∵AB⊥BC，AB⊥CD，∴AB⊥平面BCD，故AB⊥BD
∴∠CBD是二面角C－AB－D的平面角 6分
∵在Rt△BCD中，BC = CD，∴∠CBD = 45°
即二面角C－AB－D的大小為45° 8分

(3)解：過點B作BH⊥AC，垂足為H，連結DH
∵平面ACD⊥平面ABC，∴BH⊥平面ACD，
∴∠BDH為BD與平面ACD所成的角 10分
設AB = a，在Rt△BHD中，，
∴
又，∴ 12分

方法二
(1)同方法一                                                                                                               4分
(2)解：設以過B點且∥CD的向量為x軸，為y軸和z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，設AB = a，則A(0，0，a)，C(0，1，0)，D(1，1，0)， = (1，1，0)， = (0，0，a)
平面ABC的法向量 = (1，0，0)
設平面ABD的一個法向量為n = (x，y，z)，則

取n = (1，－1，0)                           6分

∴二面角C－AB－D的大小為45°                                                                           8分

(3)解： = (0，1，－a)， = (1，0，0)， = (1，1，0)
設平面ACD的一個法向量是m = (x，y，z)，則
∴可取m = (0，a，1)，設直線BD與平面ACD所成角為，則向量、m的夾角為
故 10分
即
又，∴ 12分

18．解：該商場應在箱中至少放入x個其它顏色的球，獲得獎金數為，
則= 0，100，150，200
，，
， 8分
∴的分布列為

0

100

150

200

P

19．(1)解：設M (x，y)，在△MAB中，| AB | = 2，
∴
即 2分
因此點M的軌跡是以A、B為焦點的橢圓，a = 2，c = 1
∴曲線C的方程為． 4分

(2)解法一：設直線PQ方程為 (∈R)
由得：                                                            6分
顯然，方程①的，設P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，則有

                                                           8分
令，則t≥3，                                                             10分
由于函數在[3，＋∞)上是增函數，∴
故，即S≤3
∴△APQ的最大值為3                                                                                              12分

解法二：設P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，則
當直線PQ的斜率不存在時，易知S = 3
設直線PQ方程為
由得： ①                                         6分
顯然，方程①的△＞0，則
∴                                    8分
                                10分
　　　　
令，則，即S＜3

∴△APQ的最大值為3 12分

20．(1)解：∵，
∴ 2分
當時，
∵當時，，此時函數遞減；
當時，，此時函數遞增；
∴當時，F(x)取極小值，其極小值為0． 4分

(2)解：由(1)可知函數和的圖象在處有公共點，
因此若存在和的隔離直線，則該直線過這個公共點．
設隔離直線的斜率為k，則直線方程為，即              6分
由，可得當時恒成立
由得：                                                                              8分
下面證明當時恒成立．
令，
則，                                                                           10分
當時，．
∵當時，，此時函數遞增；
當時，，此時函數遞減；
∴當時，取極大值，其極大值為0．                                                        12分
從而，即恒成立．
∴函數和存在唯一的隔離直線．                                              13分

21．(1)解：記
令x = 1得：
令x =－1得：
兩式相減得：
∴ 2分
當n≥2時，
當n = 1時，，適合上式
∴ 4分

(2)解：
注意到 6分
令，
則
∴
故，即 8分

(3)解：
　　　 (n≥2)                                                                        10分
∴
　        12分
∵
∴                                                       14分

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