鎮江市2009屆高三解析幾何專項練習

1．在平面直角坐標系xOy中，平行于x軸且過點A的入射光線l1被直線l：反射，反射光線l2交y軸于B點．圓C過點A且與l1、l2相切．

（1）求l2所在的直線的方程和圓C的方程；

（2）設P、Q分別是直線l和圓C上的動點，求PB+PQ的最小值及此時點P的坐標．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

解：

1．（Ⅰ）直線設．

 的傾斜角為，

反射光線所在的直線方程為

．   即．

已知圓C與

圓心C在過點D且與垂直的直線上，  ①

又圓心C在過點A且與垂直的直線上，�、�，由①②得，

圓C的半徑r=3．

故所求圓C的方程為．  

 

（Ⅱ）設點關于的對稱點，

則            

得．固定點Q可發現，當共線時，最小，

故的最小值為為．              

，得最小值．

 

 

 

 

 

2．(本小題滿分15分)

如圖，平面直角坐標系中，和為兩等腰直角三角形，，C(a,0)(a>0)．設和的外接圓圓心分別為,．

（Ⅰ）若⊙M與直線CD相切，求直線CD的方程；

（Ⅱ）若直線AB截⊙N所得弦長為4，求⊙N的標準方程；

（Ⅲ）是否存在這樣的⊙N，使得⊙N上有且只有三個點到直線AB的距離為，若存在，求此時⊙N的標準方程；若不存在，說明理由．

 

2 ．解：（Ⅰ）圓心．

∴圓方程為，

直線CD方程為．           

∵⊙M與直線CD相切,

∴圓心M到直線CD的距離d=,         

化簡得： （舍去負值）．

∴直線CD的方程為．          

（Ⅱ）直線AB方程為：，圓心N ．

  ∴圓心N到直線AB距離為．  

∵直線AB截⊙N的所得弦長為4，

∴．

∴a=±(舍去負值) ．                      

∴⊙N的標準方程為．   

（Ⅲ）存在．

由（Ⅱ）知，圓心N到直線AB距離為(定值)，且AB⊥CD始終成立，

∴當且僅當圓N半徑,即a=4時，⊙N上有且只有三個點到直線AB的距離為 ．       

此時， ⊙N的標準方程為．       

 

3.(本題滿分16分)

  設曲線Ｃ：的離心率為，右準線與兩漸近線交于Ｐ，Ｑ兩點，其右焦點為Ｆ，且△PQF為等邊三角形。

 （1）求雙曲線C的離心率；

 （2）若雙曲線C被直線截得弦長為，求雙曲線方程；

   （3）設雙曲線C經過，以F為左焦點，為左準線的橢圓的短軸端點為B，求BF 中點的軌跡N方程。

 

3. 解：⑴如圖：易得P                           

設右準線與軸的交點為M，

∵△PQF為等邊三角形

∴|MF|=|PM|                                   

∴

化簡得：                                       

∴

∴            

 ⑵ 由⑴知：

∴雙曲線方程可化為：，即   

聯列方程：

消去得：

由題意：    （*）                           

設兩交點A，B

則

∴|AB|==

化簡得：，即

解得：或，均滿足（*）式              

∴  或

∴所求雙曲線方程為：或   

  ⑶由⑴知雙曲線C可設為：

∵其過點A      ∴

∴雙曲線C為：                          

∴其右焦點F，右準線：

設BF的中點N，則B               

由橢圓定義得：（其中為點B到的距離）

∴

化簡得：

∵點B是橢圓的短軸端點，故

∴BF的中點的軌跡方程是：（或）

 

 

4.（本小題滿分12分）已知函數的圖象經過點M（1,4），曲線在點M處的切線恰好與直線垂直。

（1）求實數a、b的值；

（2）若函數在區間上單調遞增，求m的取值范圍。

 

 

解得a=1,b=3

（2）

 

 

6.（本小題滿分12分）

已知直線相交于A、B兩點，M是線段AB上的一點，，且點M在直線上.

   （Ⅰ）求橢圓的離心率；

   （Ⅱ）若橢圓的焦點關于直線的對稱點在單位圓上，求橢圓的方程.

6.解：（Ⅰ）由知M是AB的中點，

設A、B兩點的坐標分別為

由

，

∴M點的坐標為                                

又M點的直線l上：

      

   （Ⅱ）由（Ⅰ）知，不妨設橢圓的一個焦點坐標為關于直線l：

上的對稱點為，

則有                      

由已知

，∴所求的橢圓的方程為                      

7.已知橢圓的方程為，雙曲線的左、右焦點分別是的左、右頂點，

而的左、右頂點分別是的左、右焦點。

（1）求雙曲線的方程；

（2）若直線與雙曲線C2恒有兩個不同的交點A和B，且（其

中O為原點），求的范圍

7．解：（1）設雙曲線的方程為 

則，再由得，

故的方程為    

（2）將代入

得  

由直線與雙曲線C2交于不同的兩點得：

 

且①            

設，則

 

又，得

即，解得：②        

由①、②得：

故k的取值范圍為 

8．（本小題滿分13分）

已知拋物線C的一個焦點為F（，0），對應于這個焦點的準線方程為x=-.

（1）寫出拋物線C的方程；

（2）過F點的直線與曲線C交于A、B兩點，O點為坐標原點，求△AOB重心G的軌跡方程；

（3）點P是拋物線C上的動點，過點P作圓（x-3）2+y2=2的切線，切點分別是M，N.當P點在何處時，|MN|的值最��？求出|MN|的最小值.

解：（1）拋物線方程為：y2=2x.                                       

（2）①當直線不垂直于x軸時，設方程為y=k(x-)，代入y2=2x，

得：k2x2-(k2+2)x+.

設A（x1，y1），B(x2，y2)，則x1+x2=，y1+y2=k(x1+x2-1)=.

設△AOB的重心為G（x，y）則，

消去k得y2=為所求，                                  

②當直線垂直于x軸時，A（，1），B（，-1），                

△AOB的重心G（，0）也滿足上述方程.

綜合①②得，所求的軌跡方程為y2=，                      

（3）設已知圓的圓心為Q（3，0），半徑r=，

根據圓的性質有：|MN|=2.    

當|PQ|2最小時，|MN|取最小值，

設P點坐標為(x0，y0)，則y=2x0.

|PQ|2=（x0-3）2+ y= x-4x0+9=(x0-2)2+5，

∴當x0=2，y0=±2時，|PQ|2取最小值5，

故當P點坐標為（2，±2）時，|MN|取最小值.                     

9．（本題滿分14分）已知圓，直線 ，與圓交與兩點，點

。

（1）當時，求的值；   （2）當時，求的取值范圍。

9.解：（1）圓的方程可化為，故圓心為，半徑

當時，點在圓上，又，故直線過圓心，∴……

  從而所求直線的方程為                     

（2）設由得

             即

∴            ①        

聯立得方程組，化簡，整理得

            ………….(*)

由判別式得且有。。

代入 ①式整理得,從而，又

∴可得k的取值范圍是。。

 

10．（本小題滿分14分）已知△ABC三頂點分別為A（－3，0），B（3，0），C（x，y）.

   （1）當BC邊上的高所在直線過點D（0，2）時，求點C的軌跡方程；

   （2）△ABC的周長為16時，點C在以A，B為焦點的橢圓上，求橢圓方程；

   （3）若斜率為k的直線與（2）中的橢圓交于不同的兩點M，N，求證：當直線平行移動時MN的中點恒在一條過原點的直線上.

解：10．（1）A（－3，0），B（3，0），D（0，2），C（x，y）

    則＝（3，2），=（x－3，y）

    由得3（x－3）+2y=0

    ∴C點的軌跡方程為3x+2y－9=0

   （2）三角形周長等于16，則|AC|+|BC|=2a=10

    a=5，c=3，b=4，橢圓

   （3）設斜率為k的直線方程為y=kx+m，

    則由得（16+25k2）x2+50km+25m2－400=0

    △>0時設M（x1，y1），N（x2，y2），MN中點G（x，y）

    由有x1+x2=

    y 1+y2=k（x1+x2）+2b=

    ∴（k為常數，m為參數）

    ∴G點軌跡方程為

    即y=－， 當k=0時，G點的軌跡為y軸所在的線段；

    當k≠0時，G點軌跡方程y=－

    即當直線平行移動時，MN的中點恒在一條過原點的直線上。


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