2009年云南省曲靖一中高考沖刺卷理科數學
（五）
本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分150分，考試時間120分鐘．
第Ⅰ卷（選擇題，共60分）
一、選擇題：本大題共12小題．每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只
有一項是符合題目要求的．
1．復數
，則
在復平面內對應的點位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知函數
是定義在
上的奇函數，當
時，
，那么
的值
為
A．2 B．
C．0 D．
3．函數
在
上恒有
，則實數
的取值范圍是
A．（1，2） B．
C．
D．
4．已知直線
與橢圓
總有交點，則m的取值范圍為
A．（1，2] B．[1，2）
C．
D．
5．從5名羽毛球隊員中選3人參加團體比賽，其中甲在乙之前出場的概率為
A．
B．
C．
D．
6．已知
，則
A．1 B．
C．
D．2
7．已知
的展開式前三項的系數成等差數列，則展開式中有理項的個數是
A．1 B．
有關
8．使函數
是奇函數，且在
上是減函數的
的
一個值是
A．
B．
C．
D．
9．已知
表示的平面區域包含點（0，0）和（，1），則
的取值范圍是
A．（
，6） B．（0，6） C．（0，3） D．（，3）
10．已知雙曲線
的左準線為
，左、右焦點分別為
、
，拋物線
的準 線為，焦點是，若
與的一個交點為
，則
的值等于
A．40 B．
11．某娛樂中心有如下摸獎活動：拿8個白球和8個黑球放在一盒中，規定：凡摸獎者，每 人每次交費1元，每次從盒中摸出5個球，中獎情況為：摸出5個白球中20元，摸出 4個白球1個黑球中2元，摸出3個白球2個黑球中價值為0．5元的紀念品1件，其 他情況無任何獎勵。若有1560人次摸獎，不計其他支出，用概率估計該中心收入錢數 為
A．120元 B．480元 C．980元 D．148元
12．如圖甲所示，四邊形
中，
，將
沿
折起，使平面
平面
，構成三棱錐
，如圖乙所示，則二面角 
的正切值為
A． B．
C．
D．
第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中橫線上．
13．不等式
的解集是
．
14．已知過球面上
、
、
三點的截面和球心的距離是球直徑的
，且
， 則球面的面積為
．
15．設直線
與圓
的交點為
，當
、
取最小值 時，實數的值為
．
16．給出下面四個命題，其中正確命題的序號是
（填出所有正確命題的序號）．
① 若
，則
；
② 函數
的值域為；
③ 數列
一定為等比數列；
④ 兩個非零向量
，若
，則
．
三、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17．（本小題滿分10分）
在
中，、
、
分別是角、、的對邊，且
、
、
，若
，試判斷三角形的形狀．
18．（本小題滿分12分）
某城市甲、乙、丙3個旅游景點，一位客人游覽3個景點的概率分別是0．4、0．5、0．6，且客人是否游覽哪個景點互不影響．設
表示客人離開該城市時游覽過的景點數與沒有游覽的景點數之差的絕對值．
（1）求的分布列及數學期望；
（2）記“函數
在區間
上單調遞增”為事件，求事件的
概率，
19．（本小題滿分12分）
設數列
滿足：
．
（1）令
，求數列
的通項公式；
（2）求數列
的前項和
．
20．（本小題滿分12分）
如圖所示，已知正四棱柱
的底面邊長為1，點
在棱
上，
平面
，截面的面積為
．
（1）求
與底面所成角的大�。�
（2）若
與的交點為
，點
在
上，且
，求
的長．
21．（本小題滿分12分）
如圖所示，已知橢圓的方程為
，點
的坐標滿足
．過點的直線橢圓交于、兩點，點
為線段
的中點．求：
（1）點的軌跡方程；
（2）點的軌跡與坐標軸的交點的個數．
22．（本小題滿分12分）
已知函數
（為常數），直線與函數、
的圖象都相切，且與函數圖象的切點的橫坐標為1．
（1）求直線的方程及的值；
（2）若
（注：
是的導函數），求
的單調遞增區間；
（3）當
時，試討論方程
的解的個數．
1．A 2．C 3．B 4，C 5．B 6．B 7．C 8．B 9．C 10．B 
11．B 12．D
1．
，在復平面對應的點在第一象限．
3．當
時，函數
在
上，
恒成立即
在上恒成立，可得
當
時，函數在上，恒成立
即
在上恒成立
可得
，對于任意
恒成立
所以
，綜上得
．
4．解法一：聯立
，得
．
方程總有解，需
恒成立
即
恒成立，得
恒成立
；又
的取值范圍為
．
解法二：數形結合，因為直線
恒過定點（0，1），欲直線與橢圓
總有交點，當且僅當點（0，1）在橢圓上或橢圓內，即
又
的取值范圍為
．
5．
6．（略）
7．展開式前二項的系數滿足
可解得
，或
（舍去）．從而可知有理項為
．
8．
，欲使
為奇函數，須使
，觀察可知，
、
不符合要求，若
，則
，其在
上是減函數，故B正確
當
時，
，其在上是增函數，不符合要求．
9．
等價于
畫圖可知
，故
．
10．如圖甲所示．設
，點
到直線
的距離為
則由拋物線定義得
，由點在雙曲線上，及雙曲線第一定義得
，又由雙曲線第二定義得
，解之得
．
11．由巳知中獎20元的概率
；中獎2元的概率
，中獎5元的概率
，由上面知娛樂中心收費為1560元．付出
元，收入
元，估計該中心收入480元．
12．設
中點為
，連
．由已知得
平面
，作
，交
的延長線于
，蓮
．則
為所求，設
，則
，在
中可求出
，則
．
二、
13．
．提示：可以用換元法，原不等式為
也可以用數形結合法．
令
，在同一坐標系內分別畫出這兩個函數的圖象，由圖直觀得解集．
14．12
．提示：經判斷，
為截面圓的直徑，再由巳知可求出球的半徑為
．
15．
．提示：由于
得
解得
，又
所以，當
時，
取得最小值．
16．①②④
三、
17．懈：
，由正弦定理得，
又
，
，化簡得
為等邊三角形．
說明；本題是向量和三角相結合的題目，既考查了向量的基本知識，又考查了三角的有關知識，三角形的形狀既可由角確定。也可由邊確定，因此既可從角入手，把邊化為角；也可從邊入手，把角化為邊來判斷三角形的形狀．
18．解：（1）分別記“客人游覽甲景點”、“客人游覽乙景點”、 “客人游覽丙景點”為事件
、
、
．由已知、、相互獨立，
，客人游覽的景點數的可能取值為0，1，2．3，相應地客人沒有游覽的景點的可能取值為3，2，1，0，
的取值為1，3，且
的分布列為
1
3
0．76
0．24
．
（2）解法一：
在
上單凋遞增，要使在上單調遞增，
當且僅當
，即
．從而
．
解法二：當
時，
在單調遞增當
時，
在不單調遞增，
．
19．解：（1）因
故
是公比為
的等比數列，且
故
．
（2）由
得
注意到
，可得
，即
記數列
的前
項和為
，則
兩式相減得：
故
從而
．
20．解：（1）如圖所示，連接
因為
平面
，平面
平面
，平面平面所以
；又
為
的中點，故為
的中點
底面
為
與底面所成的角
在
中，
所以與底面所成的角為45°．
（2）解琺一；如圖建立直角坐標系
則
， 
設
點的坐標為
故
點的坐標為
故
．
解法二：
平面
，又
平面
在正方形中，
．
21．解：（1）設點、
的坐標分別為
、
點
的坐標為
當
時，設直線的斜率為
直線過點
的方程為
又已知
①
②
③
④
∴式①一式②得
⑤
③式+④式得
⑥
∴由式⑤、式⑥及
得點的坐標滿足方程
⑦
當
時，不存在，此時平行于
軸，因此的中點一定落在
軸上，即的坐標為
,顯然點(
，0）滿足方程⑦
綜上所述，點的坐標滿足方程
設方程⑦所表示的曲線為
則由
,
得
因為
，又已知
，
所以當
時．
，曲線與橢圓有且只有一個交點，
當
時，
，曲線與橢圓沒有交點，因為（0，0）在橢圓內，又在曲線上，所以曲線在橢圓內，故點的軌跡方程為
（2）由
解得曲線與軸交于點（0，0），（0，
）
由
解得曲線與軸交于點（0，0）．（，0）
當
，即點為原點時，（，0）、（0，）與（0．0）重合，曲線與坐標軸只有一個交點（0，0）．
當
，且
，即點不在橢圓外且在除去原點的軸上時，曲線與坐標軸有兩個交點（0，）與（0，0），同理，當
且
時，曲線與坐標軸有兩個交點（，0）、（0，0）．
當，且時，即點不在橢圓外，且不在坐標軸上時，曲線與坐標軸有三個交點（，0）、（0，）與（0，0）．
22．解：（1）由
故直線的斜率為1．切點為
，即（1，0），故的方程為：
，
∴直線與
的圖象相切．等價于方程組
，只有一解，
即方程
有兩個相等實根．
．
（2）
，由
，
，當
時，
是增函數。即
的單調遞增區間為（
，0）．
（3）由（1）知，
，令
由
令
，則
當變化時，
的變化關系如下表：
（
）
ㄊ
0
極大植ln2
（，0）
ㄋ
0
0
極小植
（0，1）
ㄊ
1
0
極大值ln2
（1，
）
ㄋ
據此可知，當
時，方程有三解
當
，方程有四解
當
或
時，方程有兩解
當
時，方程無解．
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