已知等差數列前三項為a，4，3a，前n項的和為S_n，S_k=2550．

（Ⅰ）求a及k的值；

（Ⅱ）求

（18）（本小題滿分12分）

    設計一幅宣傳畫，要求畫面面積為4840cm²，畫面的寬與高的比為，畫面的上、下各有8cm空白，左、右各有5cm空白，怎樣確定畫面的高與寬尺寸，能使宣傳畫所用紙張的面積最�。�

（19）（本小題滿分12分）

如圖，用A、B、C三類不同的無件連接成兩個系統N₁、N₂．當元件A、B、C都正常工作時，系統N₁正常工作；當元件A正常工作且元件B、C至少有一個正常工作時，系統N₂正常工作．已知元件A、B、C正常工作的概率依次為0.80,0.90,0.90．分別求系統N₁、N₂正常工作的概率P₁、P₂．    

― A ― B ― C ―

                                                   ― A ―

注意：考生在（20甲）、（20乙）兩題中選一題作答，如果兩題都答，只以（20甲）計分．

（20甲）（本小題滿分12分）如圖，以正四棱錐V―ABCD底面中心O為坐標原點建立空

        間直角坐標系O―xyz，其中Ox//BC，Oy//AB．E為VC中點，正四棱錐底面邊長

        為2a，高為h．

        （Ⅰ）求

              二面角α―VC―β的平面角，求cos∠BED的值．

（20乙）(本小題滿分12分)如圖，在底面是直角梯形的四棱錐S―ABCD中，

        面ABCD，   

        SA=AB=BC=1，AD=

   （Ⅰ）求四棱錐S―ABCD的體積；

   （Ⅱ）求面SCD與面SBA所成的二面角的正切值.

（21）（本小題滿分12分）

已知函數在點x=1處有極小值-1．試確定a、b的值．并求出

f（x）的單調區間．

（22）（本小題滿分14分）

設曲線有4個不同的交點．

（Ⅰ）求θ的取值范圍；

（Ⅱ）證明這4個交點共圓，并求圓半徑的取值范圍．

參  考  答  案

（1）B （2）B （3）C （4）A （5）D （6）A  （7）A （8）C （9）A （10）B （11）D （12）D

（13）2  （14）16  （15）②  （16）1

（17）本小題主要考查數列求和以及極限的基本概念和運算，考查綜合分析的能力．

解：（I）設該等差數列為{a_n}， 則

        由已知有解得首項公差

        代入公式得

        即解得k=50，k=－51（舍去） 

   （II）由

（18）本小題考查建立函數關系式，求函數最小值的方法和運用數學知識解決問題的能力．

      解：設畫面高為xcm，寬為λxcm，則

          設紙張面積為S，有

          將代入上式得

          當即時，S取得最小值．

          此時，高：寬：

      答：畫面高為88cm，寬為55cm時，能使所用紙張面積最�。�

（19）本小題考查相互獨立事件同時發生或互斥事件有一個發生的概率的計算方法，考查運用概率知識解

     決實際問題的能力．

解：分別記元件A、B、C正常工作為事件A、B、C，由已知條件

    P（A）=0.80, P(B)=0.90,  P(C)=0.90.

    （I）因為事件A、B、C是相互獨立的，所以，系統N₁正常工作的概率

         P₁=P（A?B?C）=P（A）?P（B）?P（C）=0.80×0.90×0.90=0.648.

    故系統N₁正常工作的概率為0.648.

    （II）系統N₂正常工作的概率

     故系統N₂正常工作的概率為0.792.

（20甲）本小題主要考查空間直角坐標的概念、空間點和向量的坐標表示以及兩個向量夾角的計算方法；

        考查運用向量研究空間圖形的數學思想方法．

解：（I）由題意知B（a，a，0），C（?a，a，0），D（?a，?a，0），E

        由此得

        由向量的數量積公式有

    （II）若∠BED是二面角α―VC―β的平面角，則，即有=0．

         又由C（－a，a，0），V（0，0，h），有且

         即這時有

（20乙）本小題考查線面關系和棱錐體積計算，考查空間想象能力和邏輯推理能力，滿分12分．

       解：(Ⅰ)直角梯形ABCD的面積是

               M_底面=                                                               

       ∴四棱錐S―ABCD的體積是

               V= =.

（Ⅱ）延長BA、CD相交于點E，連結SE，則SE是所求二面角的棱．

           ∵AD∥BC, BC=2AD,          ∴EA=AB=SA, ∴SE⊥SB，

     ∴  SA⊥面ABCD，得面SEB⊥面EBC，EB是交線，又BC⊥EB，∴BC⊥面SEB，故SE是CS在

         面SEB上的射影，∴ CS⊥SE，所以∠BSC是所求二面角的平面角.                            

∵ 

       即所求二面角的正切值為

（21）本小題考查函數和函數極值概念，考查運用導數研究函數性質的方法，以及分析和解決數學問題的

      能力．

      解：由已知，可得

                   ①

           又

                 ②

          由①、②，可解得

          故函數的解析式為

          由此得

          根據二次函數的性質，當或x＞1時，

          當時，  因此，在區間和上，函數f（x）為增函數；在區間內，函數f（x）為減函數．

（22）本小題主要考查坐標法、曲線的交點和三角函數性質等基礎知識，以及邏輯推理能力和運算能力．

解：（I）兩曲線的交點坐標（x，y）滿足方程組

          即

有4個不同交點等價于且即

又因為所以得的取值范圍為（0，

（II）由（I）的推理知4個交點的坐標（x，y）滿足方程

即得4個交點共圓，該圓的圓心在原點，半徑為

因為在上是減函數，所以由知r的取值范圍是