北京市朝陽區2005-2006學年綜合練習（三）

高三數學綜合練習(理科)

          

(考試時間120分鐘, 滿分150分)

題號

一

二

三

總分

15

16

17

18

19

20

分數

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

第Ⅰ卷 (選擇題共40分)

參考公式：

如果事件A、B互斥,那么                      球的表面積公式

P(A+B)=P(A)+P(B)                          S＝4πR2

如果事件A、B相互獨立,那么                  其中R表示球的半徑

P(A?B)=P(A)?P(B)                         

 如果事件A在一次試驗中發生的               球的體積公式

 概率是P,那么n次獨立重復試驗                 V = πR3

中恰好發生k次的概率                        其中R表示球的半徑

.

 

得分

評卷人

 

 

 

一、選擇題:本大題共8小題，每小題5分，共40分. 在每小題的

4個選項中,只有一項是符合題目要求的.

 

(1) 若復數z滿足z(1-2i)=3+4i，則z等于

（A）-1+2i                              （B）2+4i 

（C）2+i                                （D）-1+4i

 (2) 已知直線及平面，下列命題中的假命題是

     （A）若，，則        （B）若，，則

     （C）若，，則       （D）若，，則

(3) 給定性質：①最小正周期為，②圖象關于直線對稱，則下列函數中同時具有性質①、②的是

       (A)                      (B)  

 (C)                           (D)  

 

 

 

 

 

 

(4) 設函數f(x)在定義域內可導，y= f(x)的圖象如右圖所示，

則導函數y= f′(x)的圖象可能為

 

 

 

 

 

 

 

(5) 從4名男生和3名女生中選出4人參加某個座談會，若這4人中必須既有男生又有女生，則不同的選法共有

（A）140種        （B）120種          （C）35種         （D）34種

(6) 以橢圓的右焦點為圓心，且與雙曲線的漸近線相切的圓的方程是

（A）                 （B）

（C）                 （D）

(7) 已知O、A、M、B為平面上四點，且，，則

(A) 點M在線段AB上　　　　　    　　(B) 點B在線段AM上

(C) 點A在線段BM上　　　　　　    　(D) O、A、M、B四點一定共線

(8) 已知函數y=f (x)（0≤x≤1）的圖象是如圖所示的一段圓弧，

若，則                     （      ）

（A）      （B）

（C）       （D）與的大小關系不確定

第II卷（非選擇題  共110分）

 

得分

評卷人

 

 

二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分.將答案填在題中

(10)點M (1，2) 到圓A：的圓心距離是      ，過點M的直線將圓A分成兩段弧，其中劣弧最短時，的方程為                  .

試題詳情

(11)已知二項式展開式的第4項與第5項之和為零，那么x等于        ．

(12)設地球的半徑為R，P和Q是地球上兩地，P在北緯45o，東經20o，Q在北緯45o，

東經110o，則P、Q 兩地的直線距離是       ，兩地的球面距離是            ．

試題詳情

(13)已知f(x)是定義在R上的奇函數，且當x<0時，f(x)=2x，則的值為       .

試題詳情

(14)在等比數列中，若，則有等式，

試題詳情

成立. 類比上述性質，相應的在等差數列中，若，則有等式            

                                                               成立.

 

得分

評卷人

 

 

 

 

 

(15)（本小題滿分13分）

 

試題詳情

三、解答題:本大題共6小題,共80分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

在中 ，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，，.

試題詳情

（Ⅰ）求cosC，的值；    

試題詳情

（Ⅱ）若，求邊AC的長.

 

 

 

 

 

 

 

 

得分

評卷人

 

 

 

(16)（本小題滿分13分）

 

試題詳情

{an}是公差為1的等差數列，{bn}是公比為2的等比數列，Pn，Qn分別是{an}，{bn}的前n項和，且a6=b3, P10=Q4+45.

  （I）求{an}的通項公式；

  （II）若Pn> b6，求n的取值范圍.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

得分

評卷人

 

 

 

(17)（本小題滿分13分）

 

甲、乙兩人參加一項智力測試.已知在備選的10道題中，甲能答對其中的6道題，乙能答對其中的8道題. 規定每位參賽者都從備選題中隨機抽出3道題進行測試，至少答對2道題才算通過.

試題詳情

（I）求甲答對試題數的概率分布及數學期望；

（II）求甲、乙兩人至少有一人通過測試的概率.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

得分

評卷人

 

 

 

(18)（本小題滿分13分）

  

   已知：在正三棱柱ABC―A1B1C1中，AB = a，AA1 = 2a ， D、E分別是側棱BB1和AC1的中點.

試題詳情

（Ⅰ）求異面直線AD與A1C1所成角的余弦值；

（Ⅱ）求證：ED⊥平面ACC1A1；

（Ⅲ）求平面ADC1與平面ABC所成二面角的大小.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

得分

評卷人

 

 

 

(19)（本小題滿分14分）

 

試題詳情

設函數.

試題詳情

（Ⅰ）求的導函數，并證明有兩個不同的極值點x1、x2；

試題詳情

（Ⅱ）若對于（Ⅰ）中的x1、x2，不等式 成立，求a的取值范圍.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

得分

評卷人

 

 

 

(20)（本小題滿分14分）

 

試題詳情

    在平面直角坐標系中，已知向量，

試題詳情

|(a為常數，且a>c，t∈R). 動點P同時滿足下列三個條件：（1）；  ； (3) 動點P的軌跡C經過點B(0，-1).

（Ⅰ）求曲線C的方程；

（Ⅱ）是否存在方向向量為m = (1，k) (k ≠ 0) 的直線l，l與曲線C相交于M、N兩點，

試題詳情

使|60°？若存在，求出k值，并寫出直線l的方程；若不存在，請說明理由.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

試題詳情

一.選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）

                                                                

（1）A            （2）D            （3） B           （4） D

（5）D            （6）A            （7） B           （8） C

 

二.填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）

   （9） (1，-1)     （10），   （11） 2     （12）R ，R

（13） 2          （14） 

三.解答題（本大題共6小題，共80分）

15. 解：（Ⅰ）.      ………………………………3分

又，cosC=>0，

故在中，、是銳角.  ∴，.

∴.    ……………………7分

（Ⅱ） .           ……………………10分

由正弦定理 .      解得，c=6.

∴.     ∴，即AC=5 .     ……………………13分

 

16. 解：（I）依條件得 ，     ……………………2分

解得.                       …………………………………………4分

所以an=3+(n-1)=n+2.                 …………………………………………6分

  （II）Pn=， b6=2×26-1=64，

     由>64得n2+5n-128>0.                 ………………………………9分

所以n(n+5)>128.

因為n是正整數，且n=9時，n(n+5)=126，且n(n+5)是遞增的，

所以當n≥10時，n(n+5)>128.

即n≥10時，Pn> b6.           …………………………………………………13分

 

 

17. 解：（I）甲答對試題數的可能取值為0、1、2、3.

∵，，

，，      …………………………4分

∴ 甲答對試題數的概率分布如下：

0

1

2

3

P

故甲答對試題數的數學期望為

.            …………………………7分

（II）設甲、乙兩人通過測試的事件分別為A、B，則

，

.              …………………………………………9分

、B相互獨立，

∵甲、乙兩人都未通過測試的概率為

.    ……………………………11分

∴甲、乙兩人至少有一個通過測試的概率為

.          ………………………………………13分

 

18. （Ⅰ）解：∵正三棱柱中AC∥A1C1，

∴∠CAD是異面直線AD與A1C1所成的角.             …………………………2分

 連結CD，易知AD=CD=a，AC= a，

在△ACD中易求出cos∠CAD=.

因此異面直線AD與A1C1所成的角的余弦值為.      …………………………4分

（Ⅱ）證明：

∵D是B1B的中點，

∴△C1B1D≌△ABD.

∴AD= C1D.

于是△ADC1是等腰三角形.

∵E是AC1的中點，

∴DE⊥AC1.    ……………………6分

設AC的中點為G，

∴EG∥C1C∥DB，EG=C1C= DB.

∴四邊形EGBD是平行四邊形.

∴ED∥GB.

∵G是AC的中點，且AB=BC，

∴GB⊥AC.

∴ED⊥AC.

∵AC∩AC1=A，

∴ED⊥平面ACC1A1.           …………………………………………………8分

（或證ED∥GB，GB⊥平面ACC1A1得到ED⊥平面ACC1A1.）

 

（Ⅲ）解：∵C1D，CB共面，

故C1D，CB必相交，設交點為F，連結AF.

∴平面ADC1與平面ABC所成二面角是C-AF-C1.      ………………………………10分

∵DB=C1C ，DB∥C1C，

∴B是CF的中點.

∴AC=CB=BF= a.

在△ACF中，由余弦定理可求出AF=a.

∴易判斷出△ACF是直角三角形，即AC⊥AF.

∵C1C⊥面ACF ，

∴AC1⊥AF.

∴∠C1AC是所求二面角的平面角.           …………………………………………12分

∵tan∠C1AC==2，

∴平面ADC1與平面ABC所成二面角的大小是arctan2（或arccos）. …………13分

 

19. 解：（Ⅰ）∵，

∴.                   ……………………………………3分

令得，=0.

，

∴方程有兩個不同的實根、.

令，由可知：

當時，；

當；

當；

∴是極大值點，是極小值點.             ……………………………………7分

（Ⅱ），

所以得不等式.

即.  ………10分

又由（Ⅰ）知，

代入前面的不等式，兩邊除以（1+a），

并化簡得，解之得：，或（舍去）.

所以當時，不等式成立.           …………………………14分

 

20. 解：(Ⅰ)∵|

∴.           …………………………………………………2分

由， .

由（1）、（2）可知點P到直線x=，

再由橢圓的第二定義可知，點P的軌跡C是橢圓.        …………………………4分

設橢圓C的方程為：， 

由（3）可知b =1，∴a2=b2+c2=1+2=3.

  ∴橢圓C的方程為: .                 …………………………………5分

（Ⅱ）假設存在符合條件的直線l，并設l的方程為:y=kx+m，M(x1，y1)、N(x2，y2)，

     .

   則x1+x2= -.  ………………7分

   Δ=36 k2m2-12(m2-1)(1+3k2)=12[3k2-m2+1]＞0     ①

 

 設線段MN的中點G(x0，y0)，　

   x0=，

線段MN的垂直平分線的方程為：y -.

∵|， ∴線段MN的垂直平分線過B（0，-1）點.

∴-1-.     ∴m=.      ②     ………9分

②代入①，得3k2 -(.   ③

∵|的夾角為60°，∴△BMN為等邊三角形.

∴點B到直線MN的距離d=.                …………………………10分

∵,

又∵|MN|=

=

=,

∴.              …………………………13分

解得k2=，滿足③式.  代入②，得m=.

直線l的方程為：y=.      ……………………………………………14分


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