1．  組合數公式的兩種形式是什么：

2．  利用組合數的公式的第二種形式計算   ，根據學生的回答，教師板書如下：

（1）       組合數公式：

     } (n,m∈N,且m≤N)

二、新課講授：

1．  通過具體的實例，豐富學生對性質1的感性認識，并加以證明，再講它的應用。

（1）       利用組合數的公式，考察：

 與，   與，       與

的關系，并能發現什么規律？（可以逐個叫學生回答，板書）

∵，

又，

∴=；

∵

又

∴；

∵

又

∴=。

由不完全歸納可得：從n個不同的元素中取出m 個元素的組合數，等于從n個不同的元素中取出n-m個元素的組合數。即

   定理1：=，(n,m∈N,且m≤N)

(2)定理1的證明。要證明這個等式成立，即證明兩個量相等。那么，證明兩個量相等有聲么方法呢？（指明學生回答）

方法一：“若兩個數都等于第三個數，則這兩個數相等 ”。

我們知道，

，

顯然，等于。于是可得下面的證明。

證明：∵，

又，

∴=。

（3）性質1的另一種解釋：從n個不同的元素中取出m個元素，并成一組，那么，剩下的n-m個元素也成一組；反之，從n個不同的元素中取出n-m個元素并組成一組，那么剩下的m個元素也成一組。所以，它們的組合是一一對應的，故有從n個不同的元素中取出m個的組合數是等于從 n個不同的元素中取出n-m個元素的組合數，即=。

（4）當  時，利用這個公式，可是的計算簡化。如：

，

。

（5） 注意：當m=n時，公式=變形為

             ，

又=1，所以規定：=1即 0！=1

（6）在這樣的一組組合數：

，，……，，

中，性質1還說明了：與兩端等距離的兩個組合數相等。如：

=，=，=，……。

2．  用計算的方法驗證下列各式成立，并加以證明。

（1） （1）用計算的方法考察組合數：

與，  與

的關系，你能由此發現什么規律嗎？（可指明學生回答，板書）

∵

∴=

∵

∴=

規律：若n、,m是自然數，m≤n，則

，（或 ）

定理2    (n,m∈N,且m≤N)

（2）       定理2的證明。要證明這個等式，只要根據組合數的公式變形即可。

證明：∵ 

∴

（3）對于定理2，還可以這樣解釋：從， ，….，這n+1個不同的元素中取出m個元素的組合數，這些組合可以分成兩類：一類含，一類不含。含的組合是從，….，這n個不同的元素中取出m-1個元素的組合數為，不含的組合是從，….，這n個不同的元素中取出m個元素的組合數為。再由加法原理，得：

。

（3）定理2還說明了，把從n+1個不同的元素中取出m個元素的組合數，等于從n個不同的元素中取出m個元素的組合數與從n個不同的元素中取出m-1個元素的組合數的和。這體現了組合數的可分解性，或組合數的可加性。

1．  計算與；

2．  求；

3．  利用定理2證明：

證明：

          ……

又證：將原式左邊的各項寫成：

，  ，   ， ……

，，

將上述的等式兩邊相加，得：